Затменные переменные

22

В. А. Бронштэн

При изучении Вселенной астроно-
мам не раз приходилось убеждаться
в том, что правильный анализ на-
блюдаемого явления почти всегда
позволяет получить множество данных об изучаемом небесном теле или группе тел. Прекрасным примером этого являются так называемые затменные переменные звезды.

В 1669 г. итальянский математик и астроном Дж. Монтанари обнаружил, что звезда Алголь (β Персея) периодически меняет свой блеск. (Возможно, что переменность блеска этой звезды была известна еще древним арабам, которые и назвали ее позетому Рас Аль-Гуль — «голова дьявола». Это арабское название превращалось потом в Алголь.) О работах Монтанари мы знаем мало, так как многое его сочинения не дошли до нас. Известно лишь, что он открыл переменность блеска не одного Алголя, а около эта звезд. Но каких именно, мы не знаем: каталог Монтанари погиб.

Сто с лишним лет спустя наблюдениями Алголя занялся английским любительством астрономии, восемнадцатлетний глухонемой юноша Джон Гудрайк. Из своих наблюдений за 1782—1783 гг. он установил, что Алголь, который обычно светит как звезда 2-й величины, примерно раз в трое суток ослабает до 3—4 величины.

В астрономии блеск звезд приято выражать в звездных величинах — единицах, пропорциональных логарифму освещности, создаваемой звездой на плоскости, перепендикулярной к ее лучам. Блеск звезды зависит только от ее силы света и расстояния от Земли, и не зависит от того, наблюдаем ли мы звезду простым глазом или в телескоп, поскольку освещность сразу глаза и объектива telescopа светом звезды, естественно, одна и та же. Блеск в астрономии приято обозначать буквой L (luminosity), звездную величины — буквой m.

Разность в 1 звездную величины соответствует отношению блеска в 2,512 раза *). Разность двух звездных величины величин m₁ и m₂ равна

$$m_2 - m_1 = 2.5 \log \frac{L_1}{L_2},$$

где L₁ и L₂ — блеск звезд.

Наблюдая Алголь, Гудрайк заметил, что уменьшение его блеска до минимума и обратный рост до «нормального» значения продолжаются по 4,5 часа, после чего в течение 2 суток 12 часов звезда сохраняет постоянный блеск, а затем весы цикл повторяется снова. Гудрайк весы точно определял период изменения блеска звезды — 2 суток 20 часов 49 минут, что лишь на 3 минуты отличается от современного значения. Но самое главное состояние в том, что Гудрайк правильно наблюдает наблюдение им явление: он предположил, что здесь происходит затмение одной звезды (яркой) другой (темной), обращающийся вокруг первой. Звезды типа Алголя получили название затменных переменных.

Гипотеза Гудрайка подтвердилась спустя сто лет.

*) См. статью Л. Д. Марленского «Возможности оптических telescopов» («Квант» № 8, 1972).

24

Рис. 2.

= 1,27) у Алголя через полерiodа наступает вторичный минимум, когда его блеск падает лишь на $\Delta m_2 = 0,06$ звездной величины (рис. 2, а). Это означает, что спутник в системе Алголя не совсем темный, а излучает немного света, и когда его частично закрывается главная звезда, блеск системы несколько ослабевает. Поскольку геометрическая картина обихзатмений совершенно симметрина относительно центра главной звезда независямо от угла наклона орбиты к лучу зрения, очевидно, что закрываемая площадь диска спутника в точности равна закрываемой в главном минимуме площади диска главной звезда (см. рис. 2, б). Но тогда по соответствию амплитуд потери блеска в главном и вторичном минимуме ($\Delta m_1$ и $\Delta m_2$) и соответствующих им значений блеска ($l_1$ и $l_2$) можно найти относение поверхности яркости обихзезд ($B_1$, $B_2$). Примем для простоты блеск системы вне затмения за единицу ($L_0=1$); тогда из (1) будем иметь:
$$\Delta m_1 = -2,5 \log l_1; \Delta m_2 = -2,5 \log l_2; \log l_1 = -0,4 \Delta m_1; \log l_2 = -0,4 \Delta m_2;$$
$$l_1 = 10^{-0,4 \Delta m_1}; l_2 = 10^{-0,4 \Delta m_2}.$$
Потери блеска в главном и вторичном минимах будут равны $(1-l_2)$ и $(1-l_2)$ соответственно (мы ведь положили $L_0=1$). Но так как закрытые при затмениях площади дисков обихзезд равны, поверхности яркости закрываемых звезд относится как потери блеска в соответствующих минимах:
$$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1-l_1}{1-l_2} = \frac{1-10^{-0,4 \Delta m_1}}{1-10^{-0,4 \Delta m_2}}.$$

6

Подставив $\Delta m_1 = 1,27$ и $\Delta m_2 = 0,06$, найдем для Алголя $B_1/B_2 = 12,7$, то есть поверхность главной звезды почти в 13 раз ярче, чем поверхность спутника.

Зная относение яркости главной звезды и звезды-спутника, можно найти относение температур обихзезд. Экспериментально было установлено, что излучение с единицей поверхности светашихся тел порционально четвертой степени их температуры *). В нашем случае излучение с единицей поверхности — это поверхность яркости звезд. Следовательно, мы можем записать:
$$B_1 = \sigma T_1^4, \quad B_2 = \sigma T_2^4,$$
(5)

где $B_1$, $B_2$ и $T_1$, $T_2$ — поверхность ярости и абсолотные температуры главной звезды и звезды-спутника, $\sigma$ — постоянная величины. Из соответствия (5) следует, что
$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt[4]{\frac{B_1}{B_2}}.$$

Для эксперимента Алголя
$$T_1: T_2 = \sqrt[4]{12,7} \approx 1,89.$$
Температуру главной звезды можно определить, изучая ее спектр, а точнее — распределение ярости вдоль спектра. Было установлено, что положение максимума энергии излучения, соответствующего длине волны $\lambda_{\max}$, меняется при изменении температуры светашегося тела. При

*) Строго говора, такое соответствие между излучаемой энергией и температурой справедливо для абсолотного черного тела. Однако без большой ошибки его можно применять и для излучения packленных металлов, Солнца, звезд.

25

увеличении температуры тела максимум излучения смещается все дальше в области коротких волн. Таким образом,

$$\lambda_{\max} \cdot T = b,$$

где $T$ — абсолотная температура тела, $b$ — постоянная величины. Определив из наблюдаемой спектра звезды $\lambda_{\max}$ и знач $b$, мы можем найти абсолотную температуру светашего тела $T$. Для главной звезды системы Алголя $T \approx 12\ 800^\circ$; зная эту величину, можно найти абсолотную температуру звезды-спутника. Она равна $6800^\circ$. (Спектр излучения звезды-спутника очень слабый и к тому же накладывается на спектр главной звезды.)

Мы уже говорили о том, что в спектре Алголя было обнаружено смещение линейной то к филолетовому, то к красному концу спектра с периодом $T$, равным периоду $P$ изменения блеска звезды. Это значит, что звезда то приближается к нам, то удаляется от нас, образясь по орбите вокруг центра масс системы с периодом $T = P$.

Согласно принципу Доплера скорость набольшшего приближения или удаления главной звезды $\Delta v$,лина волны линей спектра $\lambda$ и ее смещение $\Delta \lambda$ связаны соотношением

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta v}{c},$$

где $c$ — скорость света. Определив из наблюдаемой спектра звезды изменение длины волны при смещении линейки, можно найти по формуле (7) скорость движения главной звезды по орбите. Для Алголя было найдено, что $\Delta v \approx 46\ \text{km/c}$. Эта величина равна орбitalной скорости $v$.

Теперь, зная период $T = P \approx 68\ u$ 52 мин, можно определить радиус звезды:

$$R_1 = \frac{T \cdot v}{2\pi} \approx 1,86\ (\text{мин. }\ \text{км}).$$

Радиус орбиты Алголя почти в 5 раз больше радиуса орбиты Луны.

Если в спектре звезды видны спектральные линии не только ярко, но и слабого компонента (звезды спутника), то можно таким же точно путем найти радиус орбиты спутника $R_2$. Для спутника Алголя (Алголь В) было найдено $R_2 = 8,54\ \text{мин. }\ \text{км}$. Таким образом, радиус относительной орбиты, то есть орбиты спутника относительной главной звезды равен $R = R_1 + R_2 = 10,4\ \text{мин. }\ \text{км}$.

Зная радиус относительной орбиты и период обращения, мы можем по третьему закону Кеплера определить сумму масс обихз звезд. В обобщенной форме (выведенной Ньютоном) третий закон Кеплера имеет такой вид:

$$\frac{T_1^2 (M_1 + M_2)}{T_2^2 (M_3 + M_4)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}.$$

Здесь $T_1$, $T_2$ — периоды обращения вокруг масс в первой и второй системы тел, $a_1$, $a_2$ — большие полуоси орбит, $M_1, M_2$ — массы тел первой системы, $M_3$, $M_4$ — массы тел второй системы. Прием за первую системы — системы Алголя, за вторую — системы «Солнце — Земля», за единицу массы, как это приятно в физике звезд, примем массу Солнца (т. е. положим $M_3=1$), а масс Земли пренебрежем ($M_4=0$); большие полуоси заменим радиусами круговых орбит. Тогда получим:

$$M_1 + M_2 = \left(\frac{R}{R'}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2.$$

Подставляя $T_1=2,87$ суток, $T_2=365,24$ суток, $R'=149,6\ \text{мин. }\ \text{км}$ и найденное выше значение $R = 10,4\ \text{мин. }\ \text{км}$, получим $M_1 + M_2 = 5,4$, то есть сумма масс обихз звезд системы Алголя в 5,4 раза превышает массу Солнца.

Чтобы определить массу каждой звезды в отдельности, вспомним, что расстояния двух тел от центра их масс обратно пропорциональны массам. Значит,

$$\frac{M_1}{M_2} = \frac{R_2}{R_1}.$$

26

В случае системы Алгоря $M_1/M_2 = 8,54 : 1,86 = 4,6$. По сумме и относительной масс находим $M_1=4,55, M_2=0,95$. Итак, звездаспутник имеет массу, почти равную солнечной, а главная звезда — массу примерно в 4,5 раза больше солнечной.

Аналіз кривой блеска позволяет не только найти радиусы орбит звездд, но и определить элементы орбиты: ее наклон к лучу зрения, эксцентриситет, положение плоскости орбиты в пространстве. Метод определения элементов орбиты затменной переменной звезды по кривой ее блеска был разработан в 1912 г. американским астрономом Г. РесSELOM *). Вот основы этого весы острумного метода.

Предположим, что мы наблюдаем затмение звезды (рис. 3, б). Пока главная звезда закрыта целиком, блеск системы изменяется не будет. В этом случае главный минимум на кривой блеска (рис. 3, а) будет плоским. Во вторичном минимуме произойдет колъеобразное затмение (рис. 3, б; малая звезда впереди) и он тоже плоским. Обозначим блеск звезды в любой момент затмения, пока оно не полное (или не колъеобразное), через $l$, блеск в главном минимуме — через $l'$, блеск во вторичном минимуме — через $l''$. Блеск звезды вне затмения примем за единицу. Тогда потери блеска будут равны соответствию $1-l, 1-l'$ и $1-l''$.

Положение спутника на орбите относительно направления на Землю в каждой момент времени $t$ определяется углом фазы $\theta$ (см. рис. 4), который равен

$$\theta = \frac{360^\circ}{P} (t - t_0),$$

где $t_0$ — момент времени, соответствующей середине главного минимума на кривой блеска (рис. 3, а), $P$ — период обращения спутника, равный период изменения блеска. В момент $t=t_0$ угол фазы $\theta=0$. Для упрощения расчетов положим $t_0=0$, то есть время будем вести от середины главного минимума. Прием радиус относительной орбиты за единицу ($R=1$) и обозначим относение радиуса меньшей звезды к радиусу большей через $k (k=r_2:r_1)$. Пусть орбита спутника наклонена

*) Первая общая теория затменных звезд и метод вычисления орбит были описаны в 1911 г. в Москве С. Н. Блажко в его докторской диссертации.

27

к картиной плоскости *) под углом $i$ (очевидно, что он близок к $90^\circ$, иначе мы не увидели бы затмения). Нам нужно определить три неизвестных: $r_1, r_2, i$.

Из кривой блеска мы можем для каждой момента времени определить формутрическую фазу затмения, равную отношению потери блеска в данной момент времени к потере блеска в главном минимуме:

$$\alpha = \frac{1 - l}{1 - l'}.$$

ИЗ определения $\alpha$ видно, что $\alpha$ есть функция угла фазы $\theta$. Именно по известной из наблюдаемой зависимости $\alpha(\theta)$ мы и определим величины $r_1, r_2, i$.

Легко видеть, что формутрическая фаза $\alpha$ однозначно зависит от трех величины: от расстояния $d$ между центрами дисков обежных звезд ($AB$ на рис. 5) и от их радиусов $r_1, r_2$ (или от одного из них, $r_1$, и их отношения $k$). Численное она равна относению плоскид двойного сегмента $CDEF$ к площади диска меньшей звезды, то есть к площади круга с центром в $A$ (рис. 5). Как же найти расстояние между центрами $d$?

Если бы плоскость орбиты проходила через луч зреня ($i=90^\circ$), то было бы $d = a \cdot \sin \theta$. Но так как орбита имеет наклон $i \neq 90^\circ$, величины $d$ будет функцией двух углов:

*) Картиной плоскостью называется плоскость, перpendикулярная лучу зреня.

Рис. 5.

$i$ и $\theta$, из которых нам известен только второй ($\theta$). Хотя формула, выражющая связь $d$ с $i$ и $\theta$, несложна, мы не будем здесь ее выводить, чтобы избежать громоздких выкладок, а запишем ее в нейвном виде:

$$d = f_1(i, \theta).$$

Кроме того, согласно сказанному выше,

$$d = f_2(\alpha, k, r_1).$$

Таким образом, мы имеем как будто лишь два уравнения с четырьмя неизвестными $d, i, k, r_1$. Исключив $d$, мы получим одно уравнение с третья неизвестными $i, k, r_1$.

Но в нашем распоряжении не одна точка на кривой блеска, а много. Выбрав три точки, мы получим систему из трех уравнений с третья неизвестными, которое можно решить и получить величины $i, r_1, k$ (значит, и $r_2 = kr_1$).

В метода Рессела две точки выбраются фиксированными (они соответствуют $\alpha=0,6$ и $\alpha=0,9$), а третья точка — «скольствия», то есть в качестве третьей точки по очереди выбраются многое точки на кривой блеска. Из получаемых 10—20 решений для неизвестных берутся средние значения. Таким образом, в решении участует как бы вся кривой блеска.

Зная радиуса обежных звезд в долях радиуса орбиты $R$ (мы полагали $R=1$), мы можем найти абсцилтовые радиуса, а по ним — объемы. Поделив массы звезд на их объемы, мы найдем средние плотности звезд.

Если затмение не полное, а частное, решение будет более сложным, но метод Рессела позволяет достичь успеха и в этом случае.

Для выбранного нами примера — системы Алгола — $r_1=2,0$ мл. $km, r_2=2,0$ мл. $km$. Зная размеры и массы, мы легко найти средние плотности обежных звезд $\rho_1=0,1 \ e/cm^3, \rho_2=0,06 \ e/cm^3$.

Итак, из анализа кривой блеска затменной переменной звезды Алголь