Задачи на комбинаторику

38

М165.* На окружности расположено множество $F$ точек, состоящее из 100 дуг. Известно, что при юбом поворете $R$ окружности множество $R(F)$ имеет общую точку $c$. (Другими словами, для любого $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ в множестве $F$ можно указать две точки, отстоящие друг от друга на $\alpha$.) Какую наименьшую сумму длины могут иметь 100 дуг, образующих множество $F$? Каков будет ответ, если дуг не 100, а $n$?

Ю. П. Лысов

Ф163. В однородно заряженной сфере радиуса $R$ имеется сферическая полость радиуса $r$, центр которого находится на расстоянии $a$ от центра сферы (рис. 1). Найти направенно

Рис. 2.

электрического поля в различных точках полости, если плотность заряда равна $\sigma$.

В. Д. Кривценков

Ф164. Найти теплоемкость идеального газа в процессе, при котором температура газа а) пропорциональная квадрату его объема; 6) обратно пропорциональная его объему.

И. Ш. Слободецкий

Ф165. Оцените время упругого столкновения двух стальных или двух резиновых шаров с одинаковыми радиусами $R=1$ см. Для стали модуль Юнга $E_c=2,1\cdot 10^{11}$ н/м², плотность стали $\rho_c=7,8\cdot 10^3$ ке/м³. Модуль Юнга резины $E_p\approx 10^6$ н/м², ее плотность $\rho_p\approx 10^3$ ке/м³. Шарки движутся навстречу друг друг со скоростями $v=1$ м/c.

Какова средняя сила взаимодействия шариков?

Г. Л. Комкин

Ф166. Почему легче проткнуть шлом дыру, если шило врашает? Почему нужно вращать гвоздь, чтобы вытащить его из стены? Почему, когда вырежете хлеб или мясо, вы дивгаете нож взад-вперед, а когдарежете сыр, то только давите на нож?

А. Г. Косоуров

Ф167. Частота колбанный струны зависит от ее длины, натяжения и от погонной плотности — массы единиц длины струны. Определите вид этих зависимостей.

И. А. Зайцев

ЗАДАЧИ НА КОМБИНАТОРИКУ

1. В классе присутствуют 36 учашихся. Сколько существует варянтов выбора одного предметателя и одного секретаря для проведения классного собрания?

2. Автомобиль «Волга» имеет номер MMO-6057. Сколько всего машин может оказаться с индексом MMO?

3. Телефонные номера в Ленинграде состояят из шести цифр. Сколько всего телефонных номеров может быть в Ленинграде?

4. Во время обеда в столовой посетитель выбирает себе одну столовую, одну чайную ложки и одну вилку. Сколько всего существует выборов выбора, если в столовой имеется 20 столовых, 10 чайных ложек и 15 вилок?

5. В совершеннях по футбольной принимал участке 20 команда. Сколько встреч будет проведено между ними, если совершенняна проводятся в один круг?

6. В совершеннях по шахматам принимает участке 30 человек. Сколько будет сырно между ними, если совершенняна проводятся в один круг?

7. В раздичные дни для патрулирования выделено 50 офисеров и 100 солдат. Нужно их разбить на групы по три человека в каждой (один офисер и два солдата). Сколько существует варянтов составления патрулей?

Х. Ш. Шихалев