Об экстремальных точках

35

Об экстремальных мочках
Ж.Б.Пинковский

Экстремальная точка — это точка, для которой неокоторая функция достигает наиболее или наиболее значения. Легко доказать, что точка пересечения медиан треугольника обладает следующим свойством: для нее сумма квадратов расстояний до вершин треугольника минимальная. В этой статье мы изложим в полне элементарное доказательство обобщения этого факта.

Пусть на плоскости данных $n$ точек. Введем на плоскости декартову систему координат с осями $Ox$, $Oy$ и обозначим эти точки так: $A_1(x_1, y_1)$, $A_2(x_2, y_2)$, …, $A_n(x_n, y_n)$ (рис. 1). Возьмем любую точку $M(x, y)$ на плоскости. Квадрат расстояния от точки $M$ до точки $A_i$ легко найти по теореме Пифагора (рис. 2): $d_i^2 = (x - x_i)^2 + (y - y_i)^2$. Сумма квадратов расстояний от $M$ до точки $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ выглядит так:

$$D = d_1^2 + d_2^2 + \dots + d_n^2 = (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + \dots + (x - x_n)^2 + (y - y_n)^2.$$

Раскроем скобки и представим $D$ в виде суммы многочленов от $x$ и $y$:

$$D = nx^2 - 2x(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2) + ny^2 - 2y(y_1 + y_2 + \dots + y_n) + (y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2).$$

Получалась сумма двух многочленов, один зависит только от $x$:

$$P(x) = nx^2 - 2x(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2),$$

второй зависит только $y$:

$$Q(y) = ny^2 - 2y(y_1 + y_2 + \dots + y_n) + (y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2)$$

и $D = P(x) + Q(y)$. Заметаем, что $x$ и $y$ независными, поэтому $D$ достигает наиболее значения при таком $x$, при котором $P(x)$ наименьшее, и при таком $y$, при котором $Q(y)$ наименьшее. Но $P(x)$ и $Q(y)$ — это многочлены второго порядка (с несколько длинно записанными коэффициентами). Графиком функции $P(x)$ будет парабола (рис. 3), ветви которой направлены вверх ($n > 0$), наименьшее значение $u = P(x)$ достигается при $x$, равном абсциссе вершины парабола. Отсюда легко найти значение $x$, при котором $P(x)$ минимальное: $x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$.

Аналогично находится координата $y$ (из $Q(y)$): $y = \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_n}{n}$.

Представляем читателю решить следующие задачи.

1. Доказать, что координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами $A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2), A_3(x_3, y_3)$ таковы:

$$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}.$$

2. Точкой Торричелли называется точка треугольника, сумма расстояний от которой до вершины треугольника минимальная. Доказать, что из точки Торричелли стороны треугольника видны под углами $120^\circ$.