Интеграл

2

В этой статье расссказывается об одном из важнейших математических понятий — интеграл. Используя это понятие, можно решать разнообразные геометрические и физические задачи.

Заметим, что по новой программе интегральное исчисление будет изучаться в курсе средней школы.

Подробнее с интегральным исчислением можно познакомиться по книге Б. Е. Вейцца, И. Т. Демидава «Алгебра и начала анализа» (пробный учебник для 10 класса под редакцией академика А. Н. Колмогорова). Однако изложение там ведется с нескольких позиций.

Когда вы до сих пор встречались с понятем функции, то чаще всего предложалось, что область определения функции состоит из чисел.

Например, функция $x \rightarrow \frac{\sqrt{x+2}}{x-3}$ определяна на множество чисел, удовлетворяющих $x \geq -2$ и $x \neq 3$, а функция $x \rightarrow \sqrt{1g\cos 2\pi x}$ определяна на множество целых чисел.

Однако не менее значение имеет функция, область определения которых состоит не из чисел, а из множества, лежащих на прямой, в плоскости или в пространстве. Например, площадь можно рассматривать как функцию, которая определяна на множество плоских функур. Примогольнику со стороны $a$ и $b$ эта функция ставит в соответствие число $ab$, а кругу радиуса $R$ — число $\pi R^2$. Если задан какой-нибудь закон движения точки, то можно рассмотреть функцию, сопоставляющую каждому промежутку времени путь, проиденный за этот промежуток; область определения этой функции состоит из промежутков времени.

Обе рассмотренные функции можно жестста обладают свойством адитивности (от латинского addo — складаваю): если функция разбит на несколько частей, то площадь ее равна сумме площадей этих частей; если промежуток времени разбит на несколько частей, то сумма путей, проиденных за каждой из этих частей, оказывается равной путей, проиденному за весь промежуток.

Физика дает множество примеров адитивных функций.

Если задан движение материальной точки, произходящие под действием некоторой силы, то можно каждому отрезку траектории поставить в соответствии работы силы по перемещению точки, совершенню на этом отрезке. Это — адитивная функция.

Масса, загяд, энергия тела — также адитивные функции *).

Для изучения адитивных функций успешами великих ученых XVII—XVIII веков, прежде всего

*) Адитивность массы подробно обсуждалась в статье Я. А. Смородинского в «Кванте» № 3, 1972.

4

Рис. 2.

масса была распределена «почти равномерно», иначе говоря, плотность стержня в точках каждой такого отрезка должна мало отличаться от средней плотности стержня на этом отрезке.

Средняя плотность стержня на отрезке $[a, b]$ равна $\frac{m[a, b]}{b-a}$. Аналогичное понятие нетрудно ввести для произвольной функции промежутка. Средней плотностью функции промежутка $T$ на отрезке $[a, b]$ (при $a \neq b$) будет назвать число $\frac{T[a, b]}{b-a}$.

Дать определение плотности «в точке» значительное сложнее, и мы не будем его здесь приводить еще и потому, что нам понадобится лишь одно свойство этой «точечной» плотности. Чтобы формировать это свойство, удобно ввести некоторые обозначения. Если отрезок $[a, b]$ входит в область определения числовой функции $f$, то символами $\min f$ и $\max f$ мы будем обозначать соответственно наименьшее и наибольшее значения функции $f$ на этом отрезке. Интересующое на самом деле плотности состоит в следующем. Если числовая функция $f$ является плотностью функции промежутка $T$, то средняя плотность функции промежутка $T$ на каждом отрезке $[a, b]$ заключена между числами $\min f$ и $\max f$ (рис. 2), то есть выполено неравенство

$$\min f \leqslant \frac{T[a, b]}{b-a} \leqslant \max f,$$

(3)

которое можно переписать так:

$$(b-a) \min f \leqslant T[a, b] \leqslant \leqslant (b-a) \max f.$$

Предположим, что нам удалось для данной функции числа $f$ подбрать такую адитивную функцию промежутка $T$, что на каждом отрезке из области определения функции $T$ выполнен неравенство (3). Однако ли определена этим функция промежутка $T$? Можно придумать пример «плохой» числовой функции $f$, для которого адитивная функция промежутка $T$ неравенствами (3) однозначно не определяется. Однако пример приведен в упражнения 4. Но для любой, достаточно «хорошей» функции $f$, например, для любой многоотонной функции, найдется только одна адитивная функция промежутка $T$, значения которой на каждом отрезке $[a, b]$ удовлетворяют неравенству (3). То же утверждение справедливо и для кусочно-монотонных функций $f$, то есть для функции, обладается на отрезки монотонности. Кусочно-монотонными являются степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и многоге другие функции.

Мы подошли к определению интеграла.

О пределение. Пусть функция числа $f$ определена на отрезке $[A, B]$. Адитивная функция промежутка $T$, определенная на множество отрезков $[a, b]$, содержащихся в отрезке $[A, B]$, называется интегралом от функции $f$, если для каждой отрезка $[a, b]$ выполнен неравенство

$$(b-a) \min f \leqslant T[a, b] \leqslant \leqslant (b-a) \max f.$$

Таким образом, интеграл от числовой функции — это адитивная функция промежутка $T$ однозначно определено.

6

Этот интерраал равен 0,333. Точно назначение этого интеррала мы найдем в следующем параграфе. Как вы, может быть, договорась, оно равно $1/3$.

И в более общем случае удается, разбив отрезок $[a, b]$ на достаточно мелкие части, приблизить $\int \limits_a^b f(x) dx$ суммой вида
$$f(x_1)(a_1 - a) + f(x_2)(a_2 - a_1) + \dots + f(x_n)(b - a_{n-1})$$
где $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ — точки, разбиающее отрезок $[a, b]$ на части, $x_1, x_2, \dots, x_n$ — точки из этих частей. Такое приближение может быть сделано сколь угодно точным.

Написанную выше сумму называют интерральной. Obviously интерралом по определению называют предел, к которым стремится интерральная сумма, когда разбиение становится все более мелким. При нашем определении интеррала понятие предел не используется. От интерральных сумм производило и обозначение интеррала. Символ $\int \limits_a^b f(x) dx$ так: «интеррал от a до бэ эф от икс по де икс». Функция $f$ называется подинтерральной, числа $a$ и $b$ соответственно нижним и верхним пределам интеррирования. Следует иметь в виду, что так же, как $x \rightarrow x^2, t \rightarrow t^2, z \rightarrow z^2$ это одна и та же функция, символья $\int \limits_a^b f(x) dx, \int \limits_a^b f(t) dt, \int \limits_a^b f(z) dz$ обозначают одно и то же число — значение интеррала от функции $f$ на отрезке $[a, b]$.

§ 4. Формулы интегрирования

Вычисление интерралов с помощью интерральных сумм — занятие довольно хлопотное, да и результат получается приближенный. Вместо этого поступают так: вычисляют несколько стандартных, часто встречшихся интерралов, а прочие интерралы пытаются свести к ним. Мы вычислим два стандартных интеррала

$$\int \limits_a^b x_n dx \quad \int \limits_a^b \cos x dx \quad \text{и установим некоторые теоремы, позволяющие своить ряд интерралов к стандартным.}$$

1° Вычисление $\int \limits_a^b x^n dx$.

Рассмотрим функцию промежутка $T$, задаваемую формулой
$$T[a, b] = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}.$$

Эта функция адитивна:
$$T[a, b] + T[b, c] = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} + \frac{c^{n+1} - b^{n+1}}{n+1} = \frac{c^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} = T[a, c].$$

Докажем, что $T$ — интеррал от числовой функции $x \rightarrow x^n$. Для этого нужно установить, что на каждом отрезке $[a, b]$ выполняено неравенство $(b - a) \min x^n \leq T[a, b] \leq (b - a) \max x^n$. Проверим это неравенство для неотрицательных $a$ и $b$. В этом случае $\min x^n = a^n$, $\max x^n = b^n$, так что нужно доказать, что
$$(b - a) a^n \leq \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} \leq b^n (b - a)$$
или
$$(n + 1) a^n (b - a) \leq b^{n+1} - a^{n+1} \leq (n + 1) b^n (b - a).$$

Раскладывая $b^{n+1} - a^{n+1}$ на множество и сокращая на $b - a > 0$, последнее неравенство можно переписать в виде
$$a^n + a^n + \dots + a^n \leq b^n + b^n + \dots + b^n.$$

Это неравенство справедливо, так как слагаемые в его средней части не меньше слагаемых в левой части и не больше слагаемых в правой части.

Таким образом, адитивная функция промежутка $T$ является интеграла.