Hướng dẫn phương pháp luận cho phần “Bất bình đẳng”?

52

Hướng dẫn phương pháp luận cho phần “Bất bình đẳng”?

Hiện nay, nhiều nhà xuất bản ở nước ta xuất bản các tài liệu về toán dành cho đối tượng tuyển sinh vào các cơ sở giáo dục đại học. Những cuốn sách và tài liệu quảng cáo này chủ yếu theo đuổi hai mục tiêu - thuần túy là thông tin và phương pháp luận.

Từ một cuốn sách do viện này hoặc viện khác xuất bản, người nộp đơn tìm hiểu các lựa chọn cho công việc viết lách được cung cấp cho những người vào viện này và làm quen với các giải pháp cho bài toán điển hình. Điều này giúp anh ta định hướng chính xác hơn việc lựa chọn chuyên ngành tương lai của mình và đánh giá mức độ yêu cầu đối với người nộp đơn. Ngoài những tài liệu tham khảo này, những cuốn sách như vậy thường có những phần đề cập đến những vấn đề khó khăn nhất đối với người nộp đơn. Những phần này về cơ bản là hướng dẫn phương pháp cho những phần quan trọng nhất của chương trình thi tuyển sinh.

Và nếu yêu cầu duy nhất đối với tài liệu tham khảo chỉ có thể là độ chính xác của đáp số hoặc lời giải, thì các phần phương pháp luận phải đáp ứng những yêu cầu cao hơn nhiều.

Thật không may, không phải tất cả các nhà xuất bản đều xử lý những cuốn sách dành cho người nộp đơn một cách có trách nhiệm. Ở Châu Âu, các sổ tay hướng dẫn phương pháp luận do immi sản xuất có nhiều thiếu sót phía máy chủ. Trong khi đó, hoàn toàn rõ ràng rằng một lợi ích không thành công ít nhất có thể trở nên vô dụng.

Gần đây, Viện Kinh tế Saratov đã xuất bản một cuốn sách nhỏ nhằm kiểm tra sự bất bình đẳng, và tài liệu này, như tác giả đã nêu trong lời nói đầu, cho phép chúng tôi giới thiệu nó “như một hướng dẫn phương pháp luận cho phần “Bất bình đẳng””. Trong khi đó, làm quen với cuốn sách cho thấy không có trường hợp nào người ta có thể đồng tình với quan điểm này của tác giả - trong đó có quá nhiều cách diễn đạt cẩu thả, những khuyến nghị vô lý và những sai sót trắng trợn.

Có một “sự hiểu lầm cổ điển” nổi tiếng: nhiều người nộp đơn tin rằng trước khi giải một phương trình, người ta phải tìm phạm vi giá trị có thể chấp nhận được của nó. Tuy nhiên, người ta có thể dễ dàng đưa ra các ví dụ trong đó đẳng thức sơ bộ là không cần thiết theo quan điểm logic và, ngoài ra, đưa ra các giá trị $\frac{3x-1}{2-x} \geq 0$ và sau đó $\frac{3x-1}{2-x} > 1$, điều này ít nhất là không kinh tế. Điều rất kỳ lạ là ngay cả trong những trường hợp tác giả sử dụng sự tương đương của các đẳng thức, anh ta vẫn tìm ODZ mà không giải thích tại sao (xem trang 47-49).

Trong ví dụ 3 (tr. 65) tác giả tìm ODZ của đẳng thức lượng giác,

53

tuy nhiên (một sai lầm điển hình của người nộp đơn!) sau khi tìm thấy lời giải, anh ta không nói một lời nào về thực tế là tất cả lời giải nhận được đều được đưa vào ODZ, mặc dù trong ví dụ đang xem xét, đây là một điều cần thiết hợp lý.

Cuốn sách sử dụng một cách có hệ thống, ngoài khái niệm nổi tiếng về ODZ, một thuật ngữ khác, không hề dễ chịu chút nào, “vùng bất đẳng thức cho phép lời giải” mà tác giả không định nghĩa. Điều này làm phức tạp đáng kể việc hiểu chính xác văn bản, đặc biệt là vì, chẳng hạn, ở cuối lời giải của ví dụ 6 (tr. 54), thuật ngữ này có một nghĩa và tại lời giải của ví dụ 2 (tr. 51) - một nghĩa khác.

Một số quan điểm lý thuyết và khuyến nghị của cuốn sách không rõ ràng hoặc đơn giản là không chính xác. Ví dụ, liệt kê các tính chất chính của bất đẳng thức, tác giả đưa ra hệ thức sau: “nếu $a > b$ thì $1/a < 1/b$” (tr. 35); chúng ta. 39 người ta nói rằng các bất đẳng thức $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$ là “tương đương nhau, vì khi nhân với $-1$ chúng sẽ bị quy giản về nhau”, v.v. Chúng ta. 49-50 tác giả chứng minh định lý: “bất đẳng thức $f(x)/\varphi(x) \ge 0$ không tương đương với bất đẳng thức $f(x)\varphi(x) \ge 0$.” Nhưng trước hết, định lý trong công thức này không có giá trị (nên nói “nói chung là không tương đương”). Và thứ hai, định lý không âm để xây dựng bất đẳng thức vô hạn $f(x)\varphi(x) \ge 0$ trong ODZ của nó tương đương với bất đẳng thức $f(x)\varphi(x) \ge 0$.

Cần đặc biệt đề cập đến những điều được trích dẫn ở trang. 68 như một mẫu lý luận về một bất đẳng thức hàm mũ. Sau khi thu được lời giải $x > 0$ nhờ các phép biến đổi cần thiết, tác giả viết thêm: “Kiểm tra. Chúng tôi thay thế bất kỳ giá trị nào của $x > 0$, ví dụ: $x = 1$ …” và sau khi thực hiện các phép tính, chúng tôi đi đến bất đẳng thức số chính xác. Tuy nhiên, vẫn chưa rõ ý nghĩa và tầm quan trọng mà tác giả gán cho bài kiểm tra này.

Khi xem xét bất đẳng thức $\sqrt{f(x)} < g(x)$, người nộp đơn thường đưa ra suy luận sai lầm sau: vì $\sqrt{f(x)} \ge 0$ theo định nghĩa là một nghiệm và $g(x)$ lớn hơn $\sqrt{f(x)}$, nên do đó (?), $g(x) > 0$. Tác giả cũng thừa nhận một khiếm khuyết logic tương tự, khi giải bất đẳng thức $|x-a| < b$, ông viết: “số $b$ là dương, vì nó lớn hơn số không âm $|x-a|$” (tr. 38), ví dụ như bất đẳng thức $|x-3| < -1$ không tồn tại.

Mặc dù tác giả đưa ra sáu ví dụ trong đoạn về các bất đẳng thức vô tỷ (trang 50-54), người đọc khó có thể học được cách giải các bất đẳng thức đó một cách chính xác: trong ví dụ 1 và 3 thực sự không cần phải giải các bất đẳng thức, trong ví dụ 2 và 4 các bất đẳng thức đơn giản là không được giải, trong lời giải của ví dụ 5 không chỉ có tính toán và một lỗi logic được tạo ra, và trong ví dụ 6 có sự xung đột không rõ ràng và những phát biểu không chính xác khiến người ta khó hiểu được trọng lượng của nó. Khi xem xét các bất phương trình lượng giác, các phép tính đơn giản được sao chép một cách tỉ mỉ, nhưng không đưa ra gợi ý cho câu hỏi khó nhất đối với người nộp đơn - cách giải các bất phương trình lượng giác đơn giản -.

Sách còn mắc một số lỗi nhỏ đáng kể (chưa kể lỗi chính tả). Vì vậy, trên trang. 56 người đọc có thể biết rằng bất đẳng thức $2\sin^2x - 3\sin x - 2 \ge 0$ tương đương với bất đẳng thức $2 < \sin x < -1/2$; chúng ta. 61 báo cáo rằng “đầy hứa hẹn lời giải $0 \ge x \ge -2$ và $0 < x < 2$ sẽ là khu vực $-2 \leq x < 2$”; chúng ta. 31 người ta nói rằng sự bất bình đẳng