Методическое пособие по разделу «Неравенства»?

52

Методическое пособие по разделу «Неравенства»?

В настоящее время многие издательства нашей страны издают литературу по математике, предназначенную для поступающих в высшие учебные заведения. Эти книги и брошоры преследуют, в основном, две цели — чисто информационную и методическую.

Из книги, изданной тем или иным институтом, абитурент узнает варианты письменных работ, предлагаемые поступающих в этот институт, знакомится с решениями типичных задач. Это помогает ему болееправильно ориентировать в вопросе выбор своей будущей специальности, судить об уровне требований, предъявляемых к поступающим. Помимо этих материалов справочного характера, в таких книгах, как правило, имеются и разделы, в которых освещаются вопросы, наиболее трудные для поступающих. Эти разделы являются, по существу, методически пособиями по важнейшим разделам программы вступительных экзаменов.

И если единственным требованием к материалам справочного характера может быть, пожалуйста, только правильность ответов или решения, то методические разделы должны удовлетворять значительной большей высоким требованиям.

К сожалению, не все издательства относятся с должной ответственностью к книгам, предназначенным для поступающих. Иnorда выпускаемые имми методические пособия страдают весы серверными недостатками. Между тем совершенно ясно, что неудачное пособие может оказаться как минимум безполезным.

Недавно Саратовский экономический институт выпустил небольшую книгу, предназначенную рассмотрение наравенств, и этот материал, как указывает в предисловии автор, позволяет ее рекомендовать “как методическое пособие по разделу «Неравенства»”,.Mежду тем ознакомлене с книгой показывает, что с этим мнением автора ни в коем случае нельзя согласиться — столмого в ней неряшливых формулировок, неазумных рекомендаций и прямых ошибок.

Известно «классический недоразумение: очень много абитурентных считают, что прежде чем решить наравенств, надо найти его область допустимых значений. Однако можно легко привести примеры, где предварительное наравенство излише с логической точки зрения и вносит, кроме того, значения $\frac{3x-1}{2-x} \geq 0$, а затем $\frac{3x-1}{2-x} > 1$, что, по меньшей мере, неэкономно. Весьма страно, что даже в тех случаях, когда автор пользовется эквивалентностью наравенств, он все равно отыскивает ОДЗ, не объясняя, зачем (см. с. 47—49).

В примере 3 (с. 65) автор находит ОДЗ трионометрического наравенства,

53

однako (типичная ошибка абитурентов!) после отыскания решения он ни словом не обмоллился о том, что все полученные решения входят в ОДЗ, хотя как раз в рассматриваемом примере это логическая необходимо.

В книге систематически используется, помимо обшезвестного понятия ОДЗ, и иной, отнюдь не обшезприятный термин «область допустимых решений неравенства», который автор ниределяет. Это значительное затрудняет точное понимание текста, тем более, что, скажем, в конце решения примера 6 (с. 54) этот термин имеет один смысл, а при решении примера 2 (с. 51) — другой.

Некоторые теоретические положения и рекомендации книги либо не ясны, либо просто не верны. Например, перечисляя основные свойства неравенства, автор формулирует и следующее: «если $a > b$, то $1/a < 1/b$» (с. 35); на с. 39 утверждается, что неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$ «равноосильные, так как умножением на $-1$ приводятся друг к другу» и так далее. На с. 49—50 автор доказывает теорему: «неравенство $f(x)/\varphi(x) \ge 0$ не эквивалентно неравенству $f(x)\varphi(x) \ge 0$». Но, воервых, теорема в такой формулировке не справедлива (следовало бы сказать «вобобщение говоря, не эквивалентно»). А во-вторых, неагативная теорема для построения бесконечного неравенству $f(x)\varphi(x) \ge 0$ в своей ОДЗ эквивалентно неравенству $f(x)\varphi(x) \ge 0$.

Особа следует сказать о приводимых на с. 68 в качестве образца рассужdenях по поводу одного показательного неравенства. Получив в результате необходимых преобразований его решения $x > 0$, автор далее пишет: «Проверка. Подстаим любое значение $x > 0$, например, $x = 1$ …» и, проведя вычисления, приходит к верному числовому неравенству. Остается, однako, не ясным, какой смысл и какое значение придает автор этой проверке.

При рассмотренном неравенства $\sqrt{f(x)} < g(x)$ абитуренты часто проводят следующие ошибочные рассуждание: так как $\sqrt{f(x)} \ge 0$ по определению корня, а $g(x)$ больше, чем $\sqrt{f(x)}$, то следовательно (?), $g(x) > 0$. Подобный логический дефект допускает и автор, решая неравенство $|x-a| < b$, он пишет: «число $b$ положительное, так как оно больше неотрицательного числа $|x-a|$» (с. 38), как будет, например, неравенства $|x-3| < -1$ не существует.

Хотя автор приводит в параграфе об irrationalных неравенствах шестей примеров (с. 50—54), читатель вряд ли сможет научиться правильно решать такие неравенства: в примерах 1 и 3 фактически не нужно решать неравенства, в примерах 2 и 4 неравенства просто не решены, в решении примера 5 больше что занмают лишьные выкладки и допущена логическая ошибка, а в примере 6 столкно неясных и неточных утверждений, что понять его веса сложно. При рассмотренном trigonometрических неравенств скрупулезно воспроизведется простые выкладки, но никаких указаний по самому трудному для абитурентов вопросу — как решать простые trigonometрические неравенства — не дается.

В книге имеет и значительное число мелких погрешностей (не говоря об опечатках). Так, на с. 56 читатель может узнать, что неравенство $2\sin^2x - 3\sin x - 2 \ge 0$ равноосильно неравенству $2 < \sin x < -1/2$; на с. 61 сообщается, что «обещая решение $0 \ge x \ge -2$ и $0 < x < 2$ будет область $-2 \leq x < 2$»; на с. 31 утверждается, что неравенства