Свободное падение тел на вращающуюся Землю

18

А.К. КИКОИН
СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ
НА
ВРАЩАНОЩУЮСЯ ЗЕМЛНО

Иногда можно встреть утверждение о том, что из-за того, что Земля врашается вокруг своей оси, в разных местах на поверхности Земли различана сила мягкости, действующая на какое-нибудь тело. Говорят также, что в разных местах Земли различиен вес тела. И то, и другие связи с тем, что в различных местах на врашающее Земле различино ускорение свободного падения тела. Верно ли все это? В этой статье мы постараемся ответить на этот вопрос.

1. Механическое движение, как известно, относительно. Это значит, что, если пользоваться различными системами отчета, то относительно этих систем движение одного и того же тела оказывается различным. Если, например, связать систему координат с летящим с постоянной скоростью в горизонтальном направлении самолетом, то в этой системе координат сброшенный (вернее, выпавший) с самолета груз движется вниз по вертикальной прямой (рис. 1). Но в системе координат, связанной с какойибудь точкой на поверхности Земли, например, с точкой O (см. рис. 2), тот же груз движется по кривой, называемой параболей. Различны, следовательно, траектории движения. Различны и скорости движения. Если условно считать систему координат, связанную с Землей, неподвижной, то при скорости движения самолета (и связанной с ним системы координат) относительно Земли, равной $v_c$, скорость $v$ груза относительно Земли в любой момент времени равна

$$v = v_c + v_r,$$

(1)

где $v_r$ — скорость движения груза относительно самолета в расстоянии момент времени. Так как скорость $v_r$ — это скорость свободного падения, то

$$v_r = gt,$$

где $g$ — ускорение свободного падения, а $t$ — время, относительно от

Рис. 1.
Рис. 2.

20

Рис. 3.

Ныютона и закону всемирного тяготения абсолотное значение этого ускорения равно

$$g = \gamma \frac{M}{R^2},$$

где $\gamma$ — гравиатционная постоянная, $M$ — масса Земли и $R$ — ее радиус. Направлено это ускорение по полярному радиусу к центру Земли. Величина $g = \gamma \frac{M}{R^2}$ — значение ускорения свободного радия относительной неподвижной (инерцальной) системы отсчета.

А какое значение ускорения падающего тела будет получено при изменении на экваторе? Для этих изменений и здесь нужно установить линейку со шкалой (рис. 4). Koординантную ось мы и здесь направим к центру Земли вдоль экваторального радиуса. Разумеется, и на экваторе абсолотное значение ускорения, вызванного притяжением Земли, будет таким же, как и на полюсе. Вращение Земли не влияет на силу, с которой она притягивает тела *). Но изменение ускорения на экваторе производится относительно системы отсчета, которая сама движется с ускорением относительно выбранной

$$g = g' + \omega^2 R$$

(ускорение свободного падающего тела относительно неподвижной системы координат ($g$) равно сумме ускорения тела относительно подвижной системы ($g'$) и ускорения самой подвижной системы относительно неподвижной ($\omega^2 R$)).

Иначе говоря, ускорение $g'$ свободного падаения, измененное на экваторе, то есть относительное ускорение движущейся системы отсчета, не равно ускорению $g$, изменению на полюсе. Оно меньше $g$ на величины $\omega^2 R$:

$$g' = g - \omega^2 R.$$

21

3. Мы рассмотрели случай свободного падения тела на полюсе и на экваторе Земли. Расмотрим теперь свободное падение тела в произвольном месте (где-то между экватором и полосами Земли).

Из рисунка 5 видно, что теперь центростремительное ускорение, связанное с врашением Земли, направлено на экваторе, а к той точке на оси врашения Земли, которая является центром соответствующего параллельного круга. (Радиус этого круга на рисунке 5 сбозначен буквой r.) Повторя приведенные выше рассуждения, мы приdem к выводу, что ускорение свободного падения $g'$, измененное в любом месте, будет меньше, чем ускорение $g$, измененное на полюсе. Надо учеть центростремительное ускорение соответствующей точки земной поверхности. Но теперь направления ускорения $g$ и $\omega^2 r$, входящих в формулу (4), образуют угол $\varphi$, представляющий собой широту точки, в которой изменяется ускорение $g'$. Пользовь правильом сложения векторов, мы найдем, что вектор $g'$ направлен уже не к центру Земли, а несколько отклонен к экватору (см. рис. 5).

Понятно, что ускорение $\omega^2 r$ на широте $\varphi$ меньше, чем ускорение $\omega^2 R$ на экваторе. Легко видеть, что на любой широте $\varphi$ относение $r/R$

Рис. 5.

равно с ф, так что $r = R$ cos $\varphi$ и $\omega^2 r = \omega^2 R$ cos $\varphi$. Соответствие, $g' = g - \omega^2 R$ cos $\varphi$ *).

4. Посмотрим теперь, насолько численно отличается значение $g'$ для данного широты $\varphi$ от $g$. Для этого нужно, очевидно, только вычислить величины $\omega^2 R$.

Угловая скорость $\omega$ уращения Земли невелика, так как период врашения Земли равен одним суткам, то есть 86164 с. Следовательно,

$$\omega = \frac{2\pi}{86164} = 7.3 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с.}$$

Радиус Земли на экваторе равен 6378 км, или $\approx 6,38 \cdot 10^6$ м. Таким образом, на экваторе ($\varphi = 0$)

$$\omega^2 R = (7.3 \cdot 10^{-5})^2 \cdot 6.38 \cdot 10^6 = 3.4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2.$$

На столбко и отличяется ускорение свободного падения на экваторе от того ускорения, которое наблюдалось бы, если бы Земля не совершала своего суточного движения. В любом другом месте это различие еще меньше. Разница настоящего мала, что об этом не стоит бы и статью писать, если бы не принципальная важность самого вопроса о движении тел относительно ускорению движения системы координат. В проечем, стоит, может быть, добавить, что как ни мала разница между $g'$ и $g$, она иногда играет и существенно роль. Так, например, часы с магнитком (перiod колбаный магнитка зависит от ускорения свободного

*) Мы не учили, что в верхней точке траектории тела обладало линейной скоростью врашения вокруг земной оси, большей скорости врашения точки отсчета на Земле (поскольку угловая скорость суточного врашения одна и та же, а расстояние до центра врашения от начальной точки падения тела больше, чем от точки отсчета на Земле). Следовательно, уравнение тел окажется смесенным к востоку относительно осования линейки. Вследствие этого при падении тела в верхнего конца линейки на Землю появляется дополнительное ускорение — так называемое ускорение Корполиса, — которое мы и неучитыем.

22

ного padения) на экваторе от совершению таких же часов на полное большие, чем на 3 минуты за сутки. В большине же случаев разницей между $g'$ и $g$ можно пренебреть.

5. Теперь обсуждим вопрос о силе тяжестии, действующей на врашающее Земле, и о весе тел на ней.

Сила тяжестии, приложенная к какому-нибудь телу массой $m$ на поверхности Земли, — это сила всемирного тяготения между этим телом и Землей. Абсолютное значение этой силы равно

$$F = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

и направлена она к центру Земли. Ясно, что на эту силу врашение Земли никаким образом влиять не может.

По второму закону Ньютона эта сила равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой:

$$\gamma \frac{mM}{R^2} = mg.$$

Следовательно,

$$g = \gamma \frac{M}{R^2}.$$

Ускорение $g$, входяще в выражение для силей тяжестии, — это ускорение в «неподвижной», или, как говоря, в инерциальной системе отчета. Как известно, только для таких систем верны законы движения Ньютона, которые мы пользовались, записывая формулу (5). Иначе обстоит дело с величины, называемой весом тела.

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору, на которой оно помещено, или на подвес, к которой оно подвешено. Сила эта может быть любой, в зависимости от того, с каким ускорением относительно неподвижной системы координат движения опора или подвес вместе с телом.

Если опора или подвес покояется относительно неподвижной системы координат или движется относительно нее без ускорения, то вес тела просто равен силей тяжестии, действующей на него.

Но весы, при помощи которых измеряется вес тела в любом месте Земли, кроме полосов, движутся с ускорением (из-за врашения Земли). Поэтому веде, кроме полосов, вес меня не равен силе мяжести. Вес тела $P$, изменяемый весами, движущимся с ускорением $a$ относительно неподвижной Земли, равен

$$P = m(g - a).$$

В нашем случае роль ускорения $a$ играет ускорение $\omega^2 R \cos \varphi$. Поэтому

$$P = m(g - \omega^2 R \cos \varphi).$$

Так как ускорение $\omega^2 R \cos \varphi$ различно на разных шипотах, то различен и измененный на разных шипотах вес тела. Наименьшим вес тела будет на экваторе. Впрочем, величины веса тела на экваторе и на полное различие так же мало, как и величины ускорения свободного падения, измененные в этих точках.

Мы видим, таким образом, что когда мы пользовемся «неподвижной», то есть инерциальной системе координат, то для веса тела мы можем написать выражение

$$P = mg.$$

Но когда мы пользовемся неперинарной системе координат, то есть системой координат, движущимся с ускорением, то вторым законом Ньютона пользоваться нельзя. Нельзя, значит, пользоваться и формулой $P = mg'$, которая получается из второго закона Ньютона. Тем не менее, мы написали формулы (6) и (6a), которые как раз иозначают, что $P = mg'$, где $g'$ — ускорение относительно неперинарной системы координат. Но ведь это же «незаконно»? Да, незаконно. Но о том, почему также «незаконные» формулы пишутся, будет расссказано в другой стате.

Ураженяя

1. В сверном положении камень из-за врашения Земли следует в сторону экватора. Куда отклонится камень в южном положении?

2. С какой угловой скоростью должна была бы врашаться Земля, чтобы ускорение свободного падения тела на экваторе было равно нулю? Каков был бы в этом случае вес тела? Какая тяжестин действующей на него?