Bài toán M351—M355; F363—F367

30

Bài toán

M351—M355; F363—F367

M351. Dựng lại tam giác nếu ba điểm lệch nhau trên mặt phẳng: O là tâm của đường tròn ngoại tiếp, P là trọng tâm và H là đáy của một trong các đường cao của tam giác này.

M. M. Imershivili (học sinh lớp 9, Tbilisi)

M352 *. Đặt $n$ là một số nguyên mà
$$n < \left(45 + \sqrt{1975}\right)^{30} < n + 1.$$
Chứng minh rằng $n$ là số lẻ.

D. K. Faddeev

M353 *. Cho $ABCD$ là một tam giác tùy ý. Chứng minh rằng:
a) tổng các góc nhị diện của một tam giác có các cạnh $AB$, $BC$, $CD$ và $DA$ nhỏ hơn 2π;
b) tổng các góc nhị diện của một tam giác lớn hơn 2π nhưng nhỏ hơn 3π;
b) tổng cosin của tất cả các góc nhị diện của một tam giác là dương và không vượt quá 2, và tổng này bằng 2 khi và chỉ khi tất cả các mặt của tam giác đó;
d) nếu $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$ thì tổng các góc nhị diện có cạnh $AB$ và $CD$ bằng tổng các góc nhị diện có cạnh $BC$ và $AD$.

N. F. Sharynn

M354. Có thể sắp xếp các số 1, 2, 3, …, $4n + 2$ tại các đỉnh và trung điểm của một cạnh của $(2n + 1)$-giác đều sao cho tổng của ba số ở hai đầu và trung điểm mỗi cạnh bằng nhau không?

Hãy xem trường hợp $n = 3$, $n = 8$ làm ví dụ.

S. T. Berkolaiko

M355. $N$ các chàng trai ném $N$ quả bóng. Khi bắt đầu trò chơi, mỗi người ném quả bóng của mình vào một trong các hàng hóa của mình và tự mình bắt quả bóng kem được ném (anh ta có thể ném và thử quả bóng của chính mình) để mọi người lại có một quả bóng. Sau đó, các chàng trai lại ném quả bóng cho chính những người mà họ đã ném nó lần đầu tiên, v.v. Trò chơi dừng lại khi tất cả các quả bóng đã được xác minh

31

vội vàng đến gặp chủ nhân của chúng (rằng các âm trầm không bị lẫn lộn, chúng ta sẽ coi chúng có nhiều màu).
Chứng minh rằng
a) bóng sẽ trả lại cho mỗi người tham gia lần đầu tiên sau không quá $N$ lần ném;
b) trò chơi chắc chắn sẽ kết thúc;
b)) đối với 5, 10 và 15 người tham gia, trận đấu có thể kết thúc nhiều nhất trong một trận đấu có 6, 30 và 105 lần ném (và khả năng chơi tối đa đối với $N = 7$, $N = 8$, $N = 20$?);
d)) thời lượng của trò chơi luôn là ước số của số $N!=1\cdot 2\cdots N$;
d)*) thời lượng của trò chơi không được vượt quá $3N/3$.

E. G. Belaea

F363. Các sợi chỉ được quấn quanh hình trụ như hình 1. Hai đầu bên phải được kéo với tốc độ $v_1$, còn hai đầu bên trái được kéo với tốc độ $v_2$. Hình trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc bằng bao nhiêu? Bán kính của hình trụ là $R$.

F364. Hệ số ma sát $k$ của cao su trên mặt ngoài của hình nón có góc đỉnh $2\alpha$ phải là bao nhiêu để xe máy LIST có thể di chuyển dọc theo bề mặt hình nón dọc theo một đường tròn nằm ngang có bán kính $R$ với tốc độ $v$ (Hình 2)?

F365. Tìm điện dung của hệ tụ điện nối như hình 3.

V. E. Belonuchkin

F366. Bình cầu có dung tích $V = 1\lambda$ được bơm ra ngoài và đóng lại. Một lớp không khí đơn phân tử vẫn còn trên thành bình. Ước tính áp suất sẽ có trong một bình được làm nóng đến 300 $C$, nếu biết rằng ở nhiệt độ này, thành bình không chịu tải hoàn toàn.

A. V. Mitrofaon

F367. Tạo ảnh của một hình vuông cho bởi thấu kính hội tụ (xem Hình 4). Điểm giữa của cạnh hình vuông nằm trên trục quang chính của thấu kính nằm cách thấu kính một khoảng bằng tiêu cự.