Một điểm, một đường thẳng... - nó là gì?

Một điểm, một đường thẳng… - nó là gì?

Bạn đã bao giờ tự hỏi điểm và đường thẳng là gì chưa? Thoạt nhìn, mọi thứ đều rõ ràng ở đây: điểm là điểm, đường thẳng là đường thẳng, ở đây có gì khó hiểu? Vâng, nhưng vẫn còn, làm thế nào để giải thích điều này?
dành cho một người hoàn toàn không biết điều này và ngoài ra, còn hiểu rất rõ mọi thứ
theo đúng nghĩa đen? Nó thực sự đơn giản như vậy? Hóa ra không hề! Đó là những gì nó là
Một câu chuyện tuyệt vời đã xảy ra ở một trường học.

1. Nghiên cứu sao Hỏa về hình học “trái đất”

Một cậu bé sao Hỏa, Inko, đã bay đến một trong những trường học ở Moscow. Khi đến bài hình học, anh ấy không hiểu gì cả. Các chàng trai quyết định giúp anh ta, giải thích cái gì là cái gì. Vasya chịu trách nhiệm về việc này. Và anh ấy phải bắt đầu… từ một điểm. Nhẹ nhàng
chạm phấn vào bảng, Vasya nói:

• Đây chính là vấn đề. Và đây chính là vấn đề, và đây cũng là vấn đề,” anh ấy tiếp tục, rời đi.
  vết phấn nhỏ trên bảng đen. - Bạn hiểu không? Hơn nữa…

“Đợi đã, đợi đã,” người sao Hỏa nói. - Tôi cần phải nhìn rõ hơn
những điểm này. - Và anh ta lấy ra một chiếc kính hiển vi. - Vậy cái chấm là một đống màu trắng
chất. Hấp dẫn! Chúng tôi gọi nó theo cách khác… Và nếu chất này là
màu xanh lá cây - đây có phải là dấu chấm không? Và những đống này có thể có kích thước bao nhiêu?

Vasya nói: “Một điểm không có kích thước.

• Tại sao không? Chính bạn đã nói rằng đống chất trắng là những chấm! —
  Inko trả lời.

Các học sinh khác đưa những tờ giấy sao Hỏa có dấu vết chạm
bút chì, có lỗ ghim.

• Đây là những miếng than chì! Đó là một lỗ rách trên tờ giấy! - Inko trả lời
  nhìn qua kính hiển vi.

Vasya đang thua lỗ. Phần còn lại cũng vậy. “Rõ ràng” và “dễ hiểu” đã trở nên không rõ ràng
không chỉ dành cho người ngoài hành tinh đến từ hành tinh khác.

Sau đó Vasya lấy một cây thước và dùng nó để vẽ một đường.

• Nó thẳng! - anh ấy nói. - Nó bao gồm các dấu chấm.

Sau khi xem xét cẩn thận “đường thẳng”, người sao Hỏa nói:

— Đường thẳng là một đường gờ bằng phấn hoặc than chì. - Cả lớp xôn xao.
Phải làm gì?

• Chẳng lẽ Inko này là kẻ thua cuộc? - một số bạn đang nghĩ. Đừng vội kết luận! Người sao Hỏa cứu thế. - Khi ở trên sao Hỏa họ muốn
  để nói về một cái gì đó mới, họ gọi là thuộc tính của nó. Thuộc tính gì
  đường thẳng và điểm của bạn có?

— Những tính chất này được chỉ ra trong sách giáo khoa của chúng tôi! — học sinh lớp sáu sẽ trả lời câu hỏi này.—
Và họ gọi chúng là tiên đề!

— Cuối sách giáo khoa lớp 8 có liệt kê đầy đủ các tiên đề này! - sẽ thêm
học sinh lớp tám. - Hãy sử dụng chúng!

Còn lại gì để làm? Chúng ta phải đồng ý. Hãy bắt đầu đọc các tiên đề.

2. Tiên đề thuộc về

Tiên đề I₁. Mỗi đường thẳng là một tập hợp các điểm.

Tiên đề I₂. Đối với hai bất kỳ khác nhau
điểm có một và chỉ một dòng chứa chúng.

Tiên đề I₃. Có ít nhất một đường thẳng và mỗi đường thẳng
ít nhất một điểm thuộc về đường thẳng.

3. Điểm và đường được mô tả bằng tiên đề thuộc về

Sau khi đọc tiên đề I$_1$, Inko vui lên.

“Dừng lại,” anh nói. - Điểm và đường thẳng có thể có ý nghĩa gì nếu không có thuộc tính nào khác? Tiên đề này không nói điểm là gì. Có nghĩa. Bằng dấu chấm bạn có thể có nghĩa là bất cứ điều gì! Ví dụ, số
1, 2, 3. Khi đó chúng ta sẽ có những dòng nào? Chúng ta hãy cùng nhau tìm thấy chúng.

Chúng ta cùng nhau tìm thấy các đường thẳng $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1,2\}$,
$\{1,3\}$, $\{2,3\}$, $\{1,2,3\}$.

• Vậy còn có một đường thẳng nữa! - một bạn lên tiếng. Nó trống rỗng
  đặt - $\varnothing$! Xét cho cùng, tiên đề I$_1$ không nói rằng tập hợp các điểm là đường thẳng không thể rỗng.

Trong lớp có tiếng ồn ào. Những đường thẳng này là gì? Có vô số điểm trên một đường thẳng, nhưng ở đây có một, hai, ba và thậm chí không có điểm nào!

Người sao Hỏa bình tĩnh lắng nghe cuộc tranh luận. Rồi anh ấy nói:

— Bạn bối rối khi tôi gọi các số 1, 2, 3 chấm và những số được liệt kê
bộ, bao gồm cả bộ trống, thẳng? Và điều này không làm tôi ngạc nhiên chút nào.
Rõ ràng, thực tế là bạn cũng biết các tính chất khác của điểm và đường thẳng,
nhưng tôi không biết họ. Do đó, những “điểm” và “đường thẳng” được mô tả
một tiên đề duy nhất I$_1$, tôi sẽ gọi nó như sau: “điểm
một một”, “thẳng một một” và viết: chấm (I$_1$), thẳng
(Tôi$_1$). Những điều còn lại có đúng với điểm (I$_1$), đường (I$_1$) không
những tiên đề không làm tôi quan tâm. Hãy lấy thêm nhiều ví dụ về điểm (I$_1$)
và các đường thẳng (І$_1$), Inko gợi ý. Có sự im lặng. Dưới đây là một số ví dụ
đã nghĩ ra nó.

Misha. Dấu chấm (I$_1$): 1, $\bigstar$, $\bullet$, ?. Trực tiếp
(I$_1$): $\{1\}$, $\{{\bigstar}\}$, $\{{\bullet}\}$, $\{{?}\}$,
$\{1,{\bigstar}\}$, $\{1,{\bullet}\}$, $\{1,{\bigstar},{\bullet},{?}\}$.

Tanya. Điểm (I$_1$): $\triangle$, $\bigcirc$.

Lena. Tin rằng cô ấy không có điểm (I$_1$) nào cả.

Sasha. Anh ấy nói rằng anh ấy coi những lời nói thẳng thắn (I$_1$)
câu “Vika thực sự thích thành phố Kyiv” (nhiều lá thư,
có trong những từ này) và dấu chấm (I$_1$) - các chữ cái có trong những từ này.

Kolya. Dấu chấm (I$_1$): chữ cái $\textit{а}$, $\textit{б}$,
$\textit{в}$. Thẳng (I$_1$): $\{\textit{а},\textit{б}\}$,
$\{\textit{б},\textit{а}\}$, $\{\textit{а},\textit{в}\}$,
$\{\textit{в},\textit{а}\}$, $\{\textit{б},\textit{в}\}$,
$\{\textit{в},\textit{б}\}$, $\{\textit{а},\textit{б},\textit{в}\}$,
$\{\textit{б},\textit{в},\textit{а}\}$,
$\{\textit{в},\textit{б},\textit{а}\}$, $\varnothing$.

Bài toán 1. a) Misha có chỉ ra tất cả các đường thẳng (I$_1$) không?
Liệt kê những dòng không được Misha chỉ ra.

1. Tanya có thể chỉ ra những dòng nào (І$_1$)? Lena?
2. Sasha đã chỉ ra bao nhiêu dòng khác nhau? Những dòng nào của Sasha trùng khớp?
   Tại sao bạn coi một số đường thẳng của Sasha là giống nhau, trong khi những đường thẳng khác thì khác?
   Sasha có những đường thẳng không có điểm chung không? Hãy chỉ ra chúng. Bao nhiêu
   điểm khác nhau ở Sasha?
3. Kolya đã chỉ ra bao nhiêu dòng khác nhau?

Điểm (I$_1$) và đường thẳng (I$_1$), thỏa mãn cả hai tiên đề І$_1$
và I$_2$, chúng ta sẽ gọi là “điểm một-một-hai”, “đường thẳng một-một-hai” và viết: điểm (I$_{1,2}$), đường thẳng (I$_{1,2}$).

Bài toán 2. Có phải tất cả các dòng đã cho trước đó (I$_1$)
có dòng nào (I$_{1,2}$) không?

Bài toán 3. Cho các tập hợp $M_1=\{1,2,3,4\}$ và $M_2=\{\{1\},\{2\},\{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \varnothing, \{1,2,3\}\}$. Không có phần tử nào ngoài những phần tử có trong $M_1$ và $M_2$. Có thể
tất cả các phần tử từ $M_1$ có nên được coi là điểm (I$_{1,2}$) và tất cả các phần tử từ tập hợp $M_2$ có ​​được coi là đường thẳng (I$_{1,2}$) không?

Tìm hai tập hợp con $M_1'$ và $M_2'$ của các tập hợp
$M_1$ và $M_2$, tất cả các phần tử từ $M_1'$ có ​​thể được coi là điểm (I$_{1,2}$),
và tất cả các phần tử từ $M_2'$ được coi là trực tiếp (I$_{1,2}$).

Bài toán 4. Trong hình là 4 quả bóng,
đâm bằng bốn chiếc kim đan. Chúng ta sẽ coi mỗi quả bóng là một điểm và một cặp bóng
đâm bằng cùng một kim đan - thẳng. Những điều kiện này có được đáp ứng không?
tiên đề I$_1$, I$_2$? Cần phải làm gì để giữ được tiên đề I$_2$?

Bài toán 5. Dòng nào (I$_{1,2}$),
hiện diện trong các vấn đề được xem xét trước đó sẽ bị loại trừ sau
giới thiệu tiên đề I$_3$? Ví dụ của Lena bây giờ có tốt không?

Bài toán 6. Vitya khai báo chữ Nga có dấu chấm
bảng chữ cái và đường thẳng - những từ trong câu “Ngày xửa ngày xưa có một cánh đồng tuyết xuất hiện
một đám con trai." Những tiên đề I$_{\text{1—3}}$ có đúng ở đây không?

[Tiếp theo ở số 12.]