Bài toán M406—M410; F418—F422

32

Bài toán

M406—M410; F418—F422

M406. Một đường tròn bán kính $R$ được chia các điểm $A_1, A_2, A_3, A_4$ thành bốn cung bằng nhau. Chứng minh rằng tổng bốn lũy thừa khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường tròn $M$ đến điểm $A_k$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$, và
$$|A_1M|^4 + |A_2M|^4 + |A_3M|^4 + |A_4M|^4 = 24R^4.$$
Yu. Babenko

M407. Cho hai số tự nhiên $n$ và $m$, $n > m$. Chứng minh rằng $n$ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số tự nhiên, một số là ước của $m$, số kia không có ước chung nào với $m$ ngoại trừ một.
S. Konyakin

M408. Một hình chữ nhật tương tự như hình ban đầu được làm từ 30 hình chữ nhật chịu lực. Tỷ lệ chiều dài cạnh của hình chữ nhật này có thể là bao nhiêu?
P. Pankov

M409. 1000 số được viết thành một hàng trên một dòng. Dòng số thứ hai được viết bên dưới nó theo quy tắc sau: dưới mỗi số $A$ ở dòng đầu tiên, một số tự nhiên được viết cho biết số lần $A$ xuất hiện ở dòng đầu tiên. Từ dòng thứ hai, dòng thứ ba cũng được lấy theo cách tương tự: dưới mỗi số $B$ của dòng thứ hai, một số tự nhiên được viết ra, cho biết số lần $B$ xuất hiện ở dòng thứ hai. Sau đó, dòng thứ tư được xây dựng từ dòng thứ ba, dòng thứ năm từ dòng thứ tư, v.v.
a) Chứng minh rằng một đường thẳng nào đó trùng với đường thẳng tiếp theo.
b)* Hơn nữa, chứng minh rằng dòng thứ 11 trùng với dòng thứ 12.
c)* Cho ví dụ về dòng đầu tiên mà dòng thứ 10 không trùng với dòng thứ 11.
M. Seroya

M410. Một đường tròn của một đường tròn lớn được vẽ trên một mặt cầu có bán kính 1, mà chúng ta gọi là đường xích đạo. Sẽ thuận tiện cho chúng ta khi sử dụng người khác

33

thuật ngữ địa lý: sọc, kinh tuyến, song song.

a) Chúng ta hãy định nghĩa một hàm $f$ trên mặt cầu này, hàm này tương ứng với bất kỳ điểm nào trên mặt cầu, trở thành bình phương khoảng cách từ điểm này đến mặt phẳng xích đạo. Kiểm tra xem hàm này có thuộc tính sau không:
nếu $M_1, M_2, M_3$ là hai đầu của một tam giác có bán kính vuông góc với nhau (*)
hình cầu thì $f(M_1)+f(M_2)+f(M_3)=1$.

Trong tất cả các đoạn văn sau, $f$ là một hàm không âm tùy ý trên mặt cầu, triệt tiêu tại mọi điểm của đường xích đạo và có tính chất (*).

6)* Cho $M$ và $N$ là các điểm cùng kinh tuyến, nằm giữa dải phía bắc và đường xích đạo. Chứng minh rằng nếu điểm $M$ nằm xa mặt phẳng xích đạo hơn điểm $N$ thì $f(M) \geq f(N)$.

c)* Đặt $M$ và $N$ là các điểm tùy ý của hình cầu. Chứng minh rằng nếu điểm $M$ nằm xa mặt phẳng xích đạo hơn $N$ thì $f(M) \geq f(N)$.

d)* Chứng minh hàm số $f$ trùng với hàm số mô tả ở phần a).

A. Lodkin

F418. Thực tế là không thể tách rời các ô cửa sổ ướt được gấp lại với nhau nếu bạn cố xé tấm này ra khỏi tấm kia. Tại sao?

F419. Ở một số thiên hà, một hệ thống các hành tinh tương tự như hệ mặt trời của chúng ta đã được phát hiện. Mật độ trung bình của các hành tinh và Mặt trời trong hệ thống này nhỏ hơn hai lần so với mật độ trung bình của các hành tinh và Mặt trời trong hệ thống của chúng ta, và kích thước của tất cả các thiên thể nhỏ hơn ba lần so với kích thước của các thiên thể tương ứng trong hệ thống của chúng ta. Một năm kéo dài bao nhiêu ngày trên Trái đất tương tự được phát hiện?

F420. Trên giá đỡ $ACBOE$ gồm 6 thanh cứng không thẳng đứng có chiều dài bằng nhau, được nối bằng bản lề (Hình 1), một tải trọng $m$ được treo tại điểm $C$. Thanh $AB$ bị kéo căng hay nghiêng? Tìm lực đàn hồi trong thanh này.

B. Bukhovtsev

F421. Một hình trụ mỏng có bán kính $R$ được quay với vận tốc góc $\omega$ và đặt vào một góc (Hình 2). Hệ số ma sát trượt giữa các góc tường và hình trụ là $k$. Xác định xem xi lanh sẽ quay được bao nhiêu vòng trước khi dừng lại.

F422. Một nửa tụ điện hình cầu chứa đầy chất điện môi có điện dung $\varepsilon$ (Hình 3). Tìm tỉ số mật độ điện tích ở nửa trên và nửa dưới của tụ điện và điện dung của nó.