[Các phương án gần đúng cho kỳ thi tuyển sinh môn toán vào các trường đại học năm 1977 đối với các khoa toán ứng dụng ở các trường cao đẳng]

51

Hình 5.

qua trọng tâm $O$ của nêm (Hình 5).
Ngoài ra, chúng ta lưu ý rằng để quả bóng nảy lên theo phương ngang sau khi va chạm thì góc nêm $\alpha$ phải có giá trị sóng phụ thuộc vào khối lượng của quả bóng và nêm.

Tóm lại, chúng tôi cung cấp một số bài toán cho một lời giải độc lập.

Bài tập

1. Một viên đạn bay ngang có khối lượng $m_2 = 10$ e trúng tâm một quả cầu có khối lượng $m_1 = 300$ e đang nằm trên mép bàn và xuyên thủng hoàn toàn. Quả bóng rơi xuống sàn cách bàn $s_1 = 6$ m, viên đạn rơi ở khoảng cách $s_2 = 15$ m. Chiều cao bàn $H = 1$ m. Xác định vận tốc ban đầu của viên đạn.

2. Hai hạt có khối lượng $m$ và $2m$, có động lượng $p$ và $p/2$, chuyển động theo phương vuông góc với nhau. Sau khi va chạm, các hạt trao đổi xung lực (Hình 6). Xác định số lượng dấu hiệu nhìn thấy khi va chạm.

3. Một bao bột trượt không vận tốc ban đầu từ độ cao $H = 2$ m dọc theo một tấm ván nghiêng một góc $\alpha = 45^\circ$ so với phương ngang. Sau khi hạ xuống, túi tiếp đất trên một bề mặt nằm ngang. Hệ số ma sát của túi trên ván và mặt phẳng nằm ngang là $\mu = 0,5$. Cái túi sẽ được để lại ở khoảng cách bao nhiêu từ cuối bảng?

Ví dụ về các lựa chọn thi tuyển sinh đại học môn toán năm 1977

Trong số thứ hai của tạp chí của chúng tôi, một chương trình mới dành cho kỳ thi tuyển sinh đại học môn toán đã được xuất bản.
Dưới đây chúng tôi cung cấp các ví dụ về các lựa chọn và bài toán bài kiểm tra đầu vào môn toán được thực hiện theo chương trình mới.

1. Dành cho các khoa đào tạo toán cao cấp (khoa toán ứng dụng ở các trường đại học).

Tùy chọn 1

1. Hai ô tô số tự động đang di chuyển dọc theo hai con đường hướng tới giao lộ với tốc độ không đổi $40$ km/h và $50$ km/h. Các đường phố giao nhau một góc $60^\circ$. Tại thời điểm ban đầu, ô tô nằm cách nút giao tương ứng $5$ km và $4$ km. Sau bao lâu khoảng cách giữa chúng sẽ nhỏ lại? Hãy xem xét hai trường hợp có thể xảy ra.

2. Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số?

3. Tìm tất cả các giá trị của $x$ nằm trong khoảng $] -\pi, \pi[$ và thỏa mãn phương trình 4-10 $\cos^2 x = \sin 2x$.

4. Một hình trụ nội tiếp trong một hình nón, các đường chéo của mặt cắt ngang tương ứng song song với hai đường sinh của hình nón. Ma trận của hình nón tạo một góc $\alpha$ với mặt phẳng đáy thì chiều dài của nó là $l$. Tìm thể tích của hình giới hạn bởi đáy hình nón và các mặt bên của hình trụ và hình nón.

5. Trong tam giác $ABC \widehat{BAC} = 60^\circ$. Tìm góc giữa các đường trung tuyến $BD$ và $CF$, nếu $|AB| = 6$ và $|AC| = 4$.

Tùy chọn 2

1. Góc ở đỉnh của một tam giác đều có diện tích cho trước phải bằng bao nhiêu để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là rộng nhất?
2. Chỉ ra trên mặt phẳng tọa độ một tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình
   $$\begin{cases} y > x^2 - x, \\ 2x + y < 2. \end{cases}$$
3. Tìm $x$ thỏa mãn phương trình
   $$\frac{1}{C_4^x} = \frac{1}{C_5^x} + \frac{1}{C_6^x},$$
   trong đó $C_n^x$ là số lượng kết hợp.