[Примерные варианты вступительных экзаменов по математике в вузы в 1977 году для факультетов прикладной математики втузов]

51

Рис. 5.

через центр тяжести $O$ клина (рис. 5).
Кроме того, заметим, что для того чтобы шарик после сударения отскочил горизонтально, угол клина $\alpha$ должен иметь волне определению величины, зависимости от масс шарика и клина.

В заключение предлагаем несколько задач для самостоятельного решения.

Упражнения

1. В центр шара массы $m_1 = 300$ e, лежащого на краю стола, попадает горизонтальное летящая пуля массы $m_2 = 10$ e и пробивает его насkvозь. Шар падает на пол на расстоянии $s_1 = 6$ m от стола, а пуля — на расстоянии $s_2 = 15$ m. Высота стола $H = 1$ m. Определить первоначальную скорость пуля.

2. Две частицы с массами $m$ и $2m$, имеющие импульсы $p$ и $p/2$, движутся по взаимно перpendicularным направлениям. После сударения частицы обменывают импульсами (рис. 6). Определить видельшееся при ударе количесто теллоты.

3. Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты $H = 2$ m по доске, наклоненной под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальное поверхность. Коэффициент треня мешка о доску и горизонтальное поверхность $\mu = 0,5$. На каком расстоянии от конца доски оставится мешок?

Примеры варианты вступительных экзаменов по математике вузы в 1977 году

Во втором номере нашего журнала была опубликована новая программа вступительных экзаменов вузы по математике.
Ниже мы приводим примеры варианты и задачи вступительных экзаменов по математике, проводимых по новой программе.

1. Для факультетов с повышенной математической подготовкой (факультеты прикладной математики вузов).

Вариант 1

1. По двум улицам движутся к перекрестку две автоматические с постоянными скорости $40$ км/час и $50$ км/час. Улицы пересекаются под углом в $60^\circ$. В начальной момент времени машины находится на расстоянии $5$ км и $4$ км от перекрестка соответствующего. Через какое время расстояние между ними станет наменшим? Расмотите два возможных случая.

2. Сколько трехначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

3. Найти все значения $x$, лежащие в интервале $] -\pi, \pi[$ и удовлетворяющие уравнению 4—10 $\cos^2 x = \sin 2x$.

4. В конус вписан цилиндр, у которого диагонали освенного сечения соответствующего параллельны двум образующим конуса. Образующая конуса составляется с плоскостью основания угол $\alpha$, ее длина равна $l$. Найти объем фигуры, ограниченной основанием конуса и боковым поверхностями цилиндра и конуса.

5. В треугольнике $ABC \widehat{BAC} = 60^\circ$. Найти величины угла между медианами $BD$ и $CF$, если $|AB| = 6$ и $|AC| = 4$.

Вариант 2

1. Каким должен быть угол при вершине равноведренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круг был наиболее широким?
2. Указать на координатной плоскости множество точек, координаты которых являются решением системы неравенств
   $$\begin{cases} y > x^2 - x, \\ 2x + y < 2. \end{cases}$$
3. Найти $x$, удовлетворяющий уравнению
   $$\frac{1}{C_4^x} = \frac{1}{C_5^x} + \frac{1}{C_6^x},$$
   где $C_n^x$ — число сочетаний.