Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

53

Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова

Ниже приведятся образцы вариантов вступительного письменного экзамена по математике и примеры задач устного экзамена по физике для поступающих на некоторые факультеты МГУ в 1976 году.

Математика

Отделение политэкономии экономического факультета

1. Через 8 дней после того, как бригада лесорубов начала прокладывать процесс в тайге, к ней присоединилась вторая бригада, и они вместе выполнили оставшуюся часть работы. Если бригада помещалась ролими, то просека была бы прорублена на 2 дня быстрее. Сколько дней бригады работали вместе, если известно, что первая может выполнить 10% всей работы на 4 дня быстрее, чем вторая работы.

2. Решить уравнение

$$5 \text{tg} x = 2 \sqrt{3} \sin \frac{x}{2}.$$

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD угла ABC. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник BDC, если

$$|AB| = 42, |BC| = 30, \cos \widehat{BAC} = \frac{5}{7}.$$

4. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} (x^2 - 1)^{2/2} (\text{tg} y + 3)^3 = 32, \\ 2 \log_{(\text{tg} y + 3)} (x^2 - 1) - \log_{(\text{tg} y + 3)} 2 = 5. \end{cases}$$

5. Решить уравнение

$$\frac{7}{2} x^2 - \frac{7x}{\sqrt{3} - x} - 22x + 3 |2 - 7x| + \frac{|2 - 7x|}{\sqrt{3} - x} = \frac{1}{2} x |2 - 7x| - \frac{2}{\sqrt{3} - x} - 6.$$

Отделение планирования и экономического киберnetики экономического факультета

1. Решить неравенство

$$[\lg(x + 1)]^4 - 4 [\lg(x + 1)]^2 + 3 \leq 0.$$

2. Найти все решения системы уравнений

$$\begin{cases} \text{ctg}^2(x - y) - (1 + \sqrt{3}) \text{ctg}(x - y) + \sqrt{3} = 0, \\ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}, \end{cases}$$

удовлетворяющие условия 0 < x < π, 0 ≤ y ≤ 2π.

3. В треугольнике ABC точка M, лежащая на стороне AB, соединена с вершиной C отрезком MC. Известно, что |AM| = 1, |MB| = 3, $\widehat{ACM} = 30^\circ$, $\widehat{MCB} = 60^\circ$. Найти перimeter треугольника ABC.

4. Основание ABC треугольной парами КАBC является прямойным треугольником ($\widehat{ACB} = 90^\circ$). Ребро KC перпендикулярно основанию ABC, а его длина равна $\frac{4}{3} \sqrt{3}$; площадь грани AKB равна 5.

Какова наиболее возможная в этих условиях площадь основания ABC?

Факультет психологии

1. Поезд, дивяясь сначала один час в гору, а потом 10 часов по повному месту, проходит 840 км. Если бы подем был длиной 10 км, то за два часа порешел бы 153 км. Найти скорости поезда при движении в гору и по повному месту, если известно, что скорость по повному месту больше, чем 110% скорости поезда в гору.

2. В треугольнике ABC проведены медианы AD и CE. Известно, что |AD| = 5, $\widehat{AC} = \frac{\pi}{8}$, $\widehat{ECA} = \frac{\pi}{4}$. Определить площадь треугольника ABC.

3. Решить уравнение

$$5 \cdot x^{\log_{15}x} - 3 \cdot 5^{\log_{15}x^2} = 0.$$

Доказать, что все корни этого уравнения являются рациональными числами.

4. Найти все корни уравнения

$$\text{tg} x + \sqrt{\text{tg}^2 x + 4 \text{ctg}^2 x + 4} = 4.$$

5. Из всех решений (x, y) уравнения $x^2y - x^2 + 2xy - x + 2y = 1$ найти те решения, для которых y принимает наиболее значение.

Отделение структурной и прикладной линейности финансового факультета

1. Автоматическая линия выпускает за 600 операций три партии шин для легковых автоматических и 11 партий шин для грузовых автоматических. Если эта автоматическая линия изготовления только шины для грузовых автоматических и изготовления только партий таких шин, сколько операций она траит на изготовление партии шин для легковых автоматических, то этой автоматической линии потребовалось бы не менее 2727 операций.