19
Дельтона
Кривую, изобравенную на второй странице обложки, часто называют дельтоной из-за ее сходства с буквой Δ греческого алфавита. Ее свойства впервые изучались Леонардом Эйлером в XVIII веке и Якобом Штейнером в XIX веке. Дельтона здесь задана как кривая, касающаяся каждой из прямых семейства, которое строится так. Проекции любой точки окружности, описанной около произвольного треугольника, на его стороны (или их продолжения) лежат на одной прямой (доказhte). Это прямая Симсона*). Семейство состоит из прямых Симсона, построенных для «красного» треугольника.
Рассмотрим еще одно определение дельтоны. Если окружность катится без скольжения внутри другой окружности, то кривая, описанная фиксированной точкой подвижной окружности, называется гипоциклодой. Дельтона — гипоциклода, для которого отношение радиусов этих окружностей равно 1:3.
Пусть сначала точка M меняшей окружности, за траекторий которого мы будем следить, находится в точке V большей (рис. 1). Затем подвижная окружность прокатилась по дуге VU неподвижной; положим VOU=φ. Покажем, что касательная к дельтоне в точке M проходит через точку P пересечения OU с подвижной окружностью, и посмотрим, на какой угол поверхности касательная из начального положения OV.
Скорость v точки M равна v₁ + v₂, где v₁⊥ OU, v₂⊥ MO’ и |v₁|=|v₂|. Параллелограм скоростей — ромб, и v — его диагональ, MO’U=3φ и MPU=3φ/2. Пусть P’ — точка пересечения касательной к дельтой с прямой OU. Не трудно сосчитать: MP’U=3φ/2=MPU. Точки P и P’ совпадают, касательная проходит через P и угол OWP=3φ/2.
Наметим путем доказательства эквивалентности приведенных определений. Эйлер установил, что девять точек произвольного треугольника: основания его высот, медиан и середины отрезков от вершин до пересечения высот (рис. 2) лежат на одной окружности (докажите). Ее центром является середина O отрезка HN, где H — точка пересечения высот, N — центр описанной окружности, а радиус — вдвое меньше радиуса описанной окружности (докажите и это). Поэтому описанная окружность и окружность Эйлера готовится с центром H и коэффициентом готовности 2.
Пусть L — точка описанной окружности (рис. 3). Покажем, что ее прямая Симсона проходит через середину отрезка HL, принадлежащую окружности Эйлера. Для этого опустим из точки L перепendlukуляр на ближайшую сторону треугольника и продолжим его до встречи с окружностью в точке D. Прямая Симсона параллельна BD (с одной стороны, LCL₃=LL₂L₃, с другой, LCL₃=BAL=BEL=DBE). По построению, отрезок LL₂ конгруэнтен и параллелен FG и IH (точка пересечения высот и точка E симметричный относительно AC). Следовательно, точка P лежит на пересечении диагоналей HL и IL₂ параллелограмма LL₂HI, и |HP|=|PL|.
Поскольку описанная окружность и окружность Эйлера готовится относительно точки H с коэффициентом готовности, равным 2, точка P лежит на окружности Эйлера.
Если на рисунке 3 построить окружность Эйлера, то в ней можно узнать окружность (O, OP) с рисунка 1, а в прямой Симсона — касательную WP. То, как поворачивается прямая Симсона, когда точка L перемещается по описанной окружности, предоставляется разобрать читателю.
В. Березин
21
Рис. 1, д.
(рис. 4a) добавляют к исходному три квадрата. Применив к этим квадратам симметрию , получим уже 8 квадратов — см. рисунок 4, б. Повторив проделанную процедуру (последовательные повороты с последующей симметрией), получим картину, изображенную на рисунке 4, с. Ясно, что применение к исходному квадрату в схеме возможных композиций перемещений и дает Рис. 2.
Рис. 3.
23
Рис. 5.
щих орнамент на себя, является группой относительно операции композиции перемещений. «Скелет» орнамента можно поннимать как схему его группы симметрий (только на скелете не изображены переносы).
Заметим, что любую «симметричную» фигуру данного «порядка» (см. выше и рисунок 5, а) можно некоторые перемещением из группы симметрий отображить на любую другую фигуру того же «порядка».
Рис. 6.
24
Равносторониный треугольник
I
Ромб с углом 60°
VI
Прямоугольник
XI
Равнобедренный треугольник
II
Трапецция, сложная из треугольников равносторониных треугольников
VII
Прямоугольник
XII
Прямоугольник с углом 60°
III
Квадрат
VIII
Прямоугольник
XIII
Квадрат
IV
Прямоугольник
IX
XIV
Равносторониный треугольник
V
Прямоугольник
XV
Рис. 7.
24
26
Для каждого из орментов описите его группу симметрии и намерите соответствующей скелем. Убедитесь, что группы симметрии построены орментов устроены поразному.
Упражнение 3. Выясните, к какому из типов I — XVII относятся орменты и проекты кристаллических решеток, изображенные на рисунках 1 и 2.
Упражнение 4. Какие из орментов I — XV имеют оси скользывающей симметрии? Изображите такие оси на скелетах этих орментов.
- Что такое орменты?
Хотя орменты всех 17 типов применяются в украшениях еще художники Древнего Египта, полную их классификацию дал лишь в 1891 году крупнейший русский ученый Е. С. Федоров (в частиности, он доказал, что число различно устройенных групп симметрий плоских орментов в точности равно 17). Задача перечисления орментов возникла у Федоров в связи с потребностями кристаллографии — науки о геометрическом строении кристаллов. Как уже упоминалось, атомы и молекулы веществ, находящися в кристаллическом состоянии, образуют так называемую кристаллюсную структуру — пространственной аналог орментов. Сечения подобных структуры различных плоскостями представляют собой в точности плоские орменты, и группы симметрий плоских орментов приятно называть плоскими кристаллографическими группами. Федоровым была получена и полная классификация пространственных кристаллографических групп — оказавется, их существуетровно 230!
Подробнее об этом написано в книгах, указанных в конце статьи. Мы же пока ограничимся формулировкой одной замечательной задачи, решение которого является основным шагом в доказательстве теоремы Федорова о классификации орментов. Но прежде того определим, что такое плоский ормент.
Определение. Бесконечная плоская фигура Ф называется плоским скелетом, если выполнены следующие условия:
(1) среди перемещений, отображающих Ф на себя, существуют неколичные паралельные переосы;
(2) среди всех векторов (паралельных переосы), отображающих Ф на себя, существуют вектор наименьшей длины.
Если плоский ормент Ф отображается сам на себя при поворотах вокруг точки A на углы, только кратные 360°/n, где n — натуральное число, большее 1, то точки A называется центром симметрии порядка n этого ормента Ф.
Задание 1. Докажите, что произвольный плоский ормент может цепты симметрии молко порядков n=2, 3, 4 и 6.
Дадим указание на два подхода к решению этой задачи.
Пусть 1. Рассмотрите два центра симметрии ормента одного и того же порядка n на наименьшем возможном расстоянии друг от друга (существование наименьшего расстояния между центрами нужного документа!).
Предположим, что n отлично от 2, 3, 4, 6, показите, что существуют два центра точки порядка n на еще меньше расстоянии друг от друга!
Пусть 2. Сначала докажите, что для произвольного ормента центры фиксированного порядка n ≥ 3 образуют решетку из паралелоэрмов — о таких решетках подробно расскажано в статье А. А. Егорова, «Решетки и правильные многоугольники», «Квант», 1974, № 12. Затем, используя свойства группы симметрий ормента, построите правильный n-угольник с вершинами в узлах решетки центров. В статье Егорова докажено, что это можно сделать лишь для n = 3, 4 и 6.
- Линейные орменты и паркеты
В заключение мы предложим еще две задачи, близкие к задаче о классификации плоских орментов, но более простые. Однако, тем не менее, решение каждой из них — это настоящее математическое исследование!
(A) Классификация линейных орментов.
Если плоская фигура отображается сама на себя при паралельных переосах только одного направления (и противоположного ему), причем этих переосов существуют переос наименьшей длины, то также фигура называется линейным