Расстояние от точки до плоскости

38

В. Гутенмахер

Расстояние от точки до плоскости

В учебнике «Геометрия 10» есть несколько задач, в которых требуется найти расстояние от заданной точки до заданной плоскости. Как ни страно, эти задачи вызывают некоторые затруднения у школьников (несмотряна то, что одна из таких задач — № 28, с. 10 — решена в тексте). Поэтому мы оставимся на этом вопросе немного подробнее.

Новая формула

Пусть $A(x_0; y_0; z_0)$ — точка в координатном пространстве $Oxyz$ и $\alpha$ — плоскость, заданная уравнением $ax+by+cz+d=0$. Расстояние $\rho(A, \alpha)$ от точки $A$ до плоскости $\alpha$ находится по формуле

$$\rho(A, \alpha) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$

Эту формулу можно описать следующим так:

Надо в выражение $ax+by+cz+d$ вместо переменных $x, y, z$ подставить координаты точки $A$. Взять_modуль полученного числа и разделить его на число $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Вывод формулы

Вывод формулы (*) по существу повторяет решение задачи № 28, приведенной на с. 10—11 учебника «Геометрия 10».

Опустим из точки $A(x_0; y_0; z_0)$ перепределуар на плоскость $\alpha$, заданной уравнением $ax+by+cz+d=0$; пусть $B$ — точка пересечения этого перепределуара с плоскостью $\alpha$; тогда $|AB|$ — расстояние от $A$ до $\alpha$ (см. рисунок). Обозначим через $(x_1; y_1; z_1)$ координаты точки $B$; тогда

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (x_1-x_0; y_1-y_0; z_1-z_0),$$

откуда

$$|AB| = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2}.$$

Поскольку вектор $\overrightarrow{AB}$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, он коллинераен вектор $\vec{n}$ с координатами $(a; b; c)$.

Это означает, что найдется такое число $p$, что

$$\overrightarrow{AB} = p \cdot \vec{n}.$$

(1)

Из этого равенства следует, что

$$x_1-x_0 = p \cdot a, \quad y_1-y_0 = p \cdot b, \quad z_1-z_0 = p \cdot c.$$

(2)

Таким образом,

$$|AB| = \sqrt{p^2a^2 + p^2b^2 + p^2c^2} = |p| \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$$

Осталось найти число $|p|$. Так как точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$, то $ax_1+by_1+cz_1+d=0$. Поскольку $x_1=x_0+pa, y_1=y_0+pb, z_1=z_0+pc$ (см. соответствие (2)), для $p$ получаем уравнение

$$a(x_0+pa) + b(y_0+pb) + c(z_0+pc) + d=0,$$

из которого находится $|p|$:

$$|p| = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{a^2+b^2+c^2}.$$

39

Подставляя найденное значение $|p|$ в соответствие (3), получаем нужную формулу:

$$\rho(A, \alpha) = |AB| = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.$$

Формула (*) позволяет уже легко решить любую задачу на вычисление расстояния от точки до плоскости. Приведем несколько примеров.

Задание
Задача 1 (*). Найти расстояние от точки $A(-1; 3; 0)$ до плоскости $\alpha$, заданной уравнением $x - 3y - 2z + 5 = 0$.

Решение. По формуле (*) получаем:

$$\rho(A, \alpha) = \frac{|-1 - 3\cdot3 - 2\cdot0 + 5|}{\sqrt{1 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{14}}.$$

Задача 2**). Вычислить расстояние от начала координат до плоскости $2x + 3y - 6z + 14 = 0$.

Решение. Нам надо найти расстояние от точки $A(0; 0; 0)$. По формуле (*) получаем:

$$\rho(A, \alpha) = \frac{|2\cdot0 + 3\cdot0 - 6\cdot0 + 14|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{14}{7} = 2.$$

Задача 3. Вычислить расстояние между плосками $\alpha$ и $\beta$, заданным соответствующим уравнением:

$$3x + 2y + 4z + 11 = 0$$

и

$$9x + 6y + 12z - 5 = 0.$$

Разделив обе части второго уравнения на 3, видим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$: $3x + 2y + 4z + 11 = 0$ и $3x + 2y + 4z - \frac{5}{3} = 0$ параллельны.

Возьем любую точку $A(x_0; y_0; z_0)$, приадлежащую плоскости $\beta$: положим, например, $x_0 = y_0 = 0$, тогда $z_0 = \frac{5}{12}$.

*) Это задача № 298,1) из учебника «Геометрия 10». В учебнике опечатка—приведен неверный ответ.
**) Это задача № 29,2) из того же учебника.

Легко понять, что расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равно числу $\rho(A, \alpha)$, где $A = \left(0; 0; \frac{5}{12}\right)$. Приименив формулу (*), получим

$$\rho(\alpha, \beta) = \rho(A, \alpha) = \frac{|3\cdot0 + 2\cdot0 + 4\cdot\frac{5}{12} + 11|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{38}{3\sqrt{29}}.$$

Заметание. В обшем случае расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$:

$$ax + by + cz + d_1 = 0$$

и

$$ax + by + cz + d_2 = 0$$

находится по формуле

$$\rho(\alpha, \beta) = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.$$

Выведите формулу (**), повторив решение задачи 3.

В заключение предлагаем вам несколько задач.

Задание 1. Вычислить расстояние от точки $A(1; 1; 1)$ до плоскости $x + y + z = 0$.

2. Вычислить расстояние от точки $A(1; 2; 3)$ до плоскости $x + y + z - 6 = 0$.

3. Найти расстояние от точки $A(x_0; y_0; 0)$ до плоскости $ax + by + d = 0$.

4. Найти уравнение плоскости, находящаяся на расстоянии 1 от плоскости $x + y + z = 0$.

5. Известно, что в треугольной парамиде все плоские углы при вершине — прямые. Найти длину ее высоты, если длины ее боковых ребер равны $a, b$ и $c$.