Định luật hấp dẫn

41

Định luật hấp dẫn

Trong số các lực khác nhau hoạt động trong Vũ trụ, lực cơ bản và hùng vĩ nhất là lực hấp dẫn. Dưới tác động của lực này, các hành tinh trong hệ mặt trời, bao gồm cả Trái đất của chúng ta, chuyển động theo quỹ đạo quanh Mặt trời. Lực này hút mọi vật thể trên nó về tâm Trái Đất. Toàn bộ sức mạnh động cơ của tàu vũ trụ đều hướng vào lực lượng này khi vào ngày 4 tháng 10 năm 1957, lần đầu tiên trên thế giới, vệ tinh Trái đất nhân tạo đầu tiên của Liên Xô được phóng lên quỹ đạo Trái đất thấp.

Người đầu tiên hiểu được vai trò của trọng lực là Newton. Phân tích định luật Kepler mô tả chuyển động của hành tinh trên quỹ đạo của nó quanh Mặt trời, ông đi đến kết luận rằng để giữ hành tinh này ở trên quỹ đạo, phải có các lực theo hướng chính xác từ hành tinh đến Mặt trời và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Tuy nhiên, điểm chính bài toán của Newoton là ông có thể hiểu rằng lực hấp dẫn của một hành tinh đối với Mặt trời là một trường hợp đặc biệt của lực hấp dẫn tác dụng giữa bất kỳ và hai vật thể nào. Không phải ngẫu nhiên mà định luật do Newot tìm ra được gọi là định luật vạn vật hấp dẫn. Đây là một trong những quy luật cơ bản nhất của tự nhiên.

Trong trường hợp đơn giản nhất, khi sự tương tác của một vật thể có thể được coi là các điểm vật chất (kích thước của các vật thể được so sánh với khoảng cách giữa chúng), định luật vạn vật hấp dẫn được hình thành như sau - hai điểm vật chất bất kỳ hút nhau với một lực $\vec{F}$, hướng dọc theo đường nối chúng, tỷ lệ thuận với khối lượng của chúng $m_1$ và $m_2$ và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách $r$ giữa chúng:

$$|\vec{F}| = G \frac{m_1 m_2}{r^2}.$$

Ở đây $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{H} \cdot \text{m}^2/\text{кг}^2$ là hằng số hấp dẫn; nó lần đầu tiên được đo bởi Cavendish.

Nếu không thể bỏ qua kích thước của cơ thể thì cơ thể phải được chia thành những khu vực nhỏ để có thể coi là điểm vật chất. Với mỗi cặp điểm vật chất, bạn cần viết định luật hấp dẫn dưới dạng () và tìm lực hấp dẫn tương ứng, sau đó cộng tất cả các kết quả thu được. Hóa ra, đối với các vật thể đối xứng tâm (ví dụ, đối với một quả bóng hoặc một lớp hình cầu), lực hấp dẫn có thể được tính trực tiếp bằng công thức (), lấy $r$ là khoảng cách giữa tâm khối lượng của các vật thể tương tác.

Như đã biết, trường hấp dẫn (trường hấp dẫn) là thế năng, tức là công của trường làm vật chuyển động từ điểm 1 đến điểm 2 không phụ thuộc vào hình dạng quỹ đạo mà chỉ được xác định bởi độ chênh lệch thế năng của vật tại điểm 1 và điểm 2 tương ứng:

$$A_{12} = E_{p1} - E_{p2}.$$

Từ sự bình đẳng này, rõ ràng là chỉ có sự khác biệt về năng lượng tiềm năng tại các điểm khác nhau của trường mới có ý nghĩa vật lý nhất định. Trị số của thế năng tại một điểm không có nhiều ý nghĩa; nó luôn được xác định với độ chính xác đến một giá trị không đổi nhất định. Đó là lý do tại sao, ở lời giải cụ thể bài toán, mức thế năng bằng 0 có thể được chọn tùy ý, tại điểm thuận tiện nhất.

42

Thông thường, để xác định thế năng của một vật có khối lượng $m$ được nâng lên độ cao $h$ trên mức 0, người ta sử dụng công thức

$$E_p = mgh.$$

Tuy nhiên, đẳng thức này chỉ đúng với các giá trị $h$, nhỏ hơn nhiều so với bán kính Trái đất $R_3(h \ll R_3)$. Nếu điều kiện này không được đáp ứng thì thế năng phải được tính theo cách khác. Hãy giải thích điều này trên bài toán cụ thể.

Bài toán 1. Cho thế năng của vật bằng 0 ở vô cực (tức là ở một khoảng cách rất xa Trái Đất, trong đó lực hấp dẫn không đáng kể), tìm sự phụ thuộc của thế năng $E_p$ vào khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất.

Hãy giới hạn bản thân trong khu vực $r \geq R_3$.

Thế năng $E_p$ của một vật có khối lượng $m$, nằm cách tâm Trái đất một khoảng $r$, bằng lực mà trường hấp dẫn tạo ra, di chuyển vật này từ một điểm nhất định đến vô cực. Vì chuyển động quay trong trường thế không phụ thuộc vào hình dạng của quỹ đạo nên chúng ta giả sử rằng vật chuyển động dọc theo hướng xuyên tâm. Khi một vật di chuyển từ điểm 1, nằm ở khoảng cách $r_1$ tính từ tâm Trái đất (Hình 1), đến điểm 2, nằm ở khoảng cách $r_2$ tính từ tâm Trái đất, trường sẽ quay

$$A_{12} = \int_{r_1}^{r_2} |\vec{F}(r)| \, dr = \int_{r_1}^{r_2} -G \frac{mM_3}{r^2} \, dr = G \frac{mM_3}{r_2} - G \frac{mM_3}{r_1}.$$

Với điều kiện điểm 2 ở vô cùng, số hạng thứ nhất bằng 0 (tại $r_2 \to \infty \frac{1}{r_2} \to 0$). Như vậy, sự phụ thuộc của thế năng vào khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất có dạng

$$E_p(r) = -G \frac{mM_3}{r},$$

trong đó $M_3$ là khối lượng của Trái đất. Đồ thị của sự phụ thuộc này được thể hiện ở Hình 2.

Hãy cùng xem thêm một số bài toán.

Bài toán 2. Xác định tốc độ tối thiểu phải được truyền cho một vật thể nằm trên bề mặt Trái đất để nó rời khỏi phạm vi hoạt động của trường hấp dẫn của Trái đất.

Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng tốc độ mong muốn được gọi là tốc độ vũ trụ thứ hai $\vec{v}_{2k}$. Để xác định mô hình của nó $v_{2k}$, chúng tôi sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.

Ngay sau khi phóng, tức là ngay trên bề mặt Trái đất, động năng của vật thể là $mv_{2k}^2/2$, và thế năng của nó là $-GmM_3/R_3$. Tổng năng lượng cơ học

$$E = \frac{mv_{2k}^2}{2} - G \frac{mM_3}{R_3}.$$

Khi một vật chuyển động ra xa Trái Đất đến một khoảng cách vô cùng lớn (vượt xa tác dụng của trường hấp dẫn Trái Đất) thì thế năng của vật trở nên bằng 0. Rõ ràng, trong trường hợp này, động năng cũng sẽ bằng 0 (chúng ta đang tìm tốc độ ban đầu tối thiểu của vật). Vì tổng năng lượng của cơ thể không thay đổi nên chúng ta thu được

$$\frac{mv_{2k}^2}{2} - G \frac{mM_3}{R_3} = 0.$$

Từ đây

$$v_{2k} = \sqrt{2G \frac{M_3}{R_3}} = \sqrt{2gR_3} \approx 11,2 \text{ km/c}$$
($g = 9,8 \text{ m/c}^2$ là gia tốc của áp suất tự do trên bề mặt Trái đất).

Bài toán 3. Sử dụng vệ tinh nhân tạo