Hệ thống quang học

35

Hội thảo lối vào

E. Morozov

Hệ thống quang học

Hệ thống quang học thường được gọi là một tập hợp các thành phần quang học khác nhau: thấu kính, gương, lăng kính, tấm phẳng song song, v.v. Hoạt động của chúng dựa trên các định luật quang học hình học đơn giản nhất - định luật phản xạ và khúc xạ ánh sáng.

Các yếu tố chính của hệ thống đa bước sóng là thấu kính mỏng và gương phẳng (chính xác là những hệ thống như vậy sẽ được thảo luận trong phần thống kê). Chúng ta hãy nhắc lại kết quả chính của việc áp dụng định luật phản xạ và khúc xạ ánh sáng cho chúng.

Đối với một thấu kính mỏng, công thức đúng

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$$

cho phép bạn tìm khoảng cách $f$ từ thấu kính đến ảnh từ khoảng cách đã biết $d$ từ vật đến thấu kính và tiêu cự của thấu kính $F$. Để sử dụng công thức này, bạn phải tuân thủ cẩn thận các quy tắc về dấu hiệu. Vì vậy, cần lưu ý rằng tiêu cự $F$ luôn dương đối với thấu kính hội tụ và âm đối với thấu kính phân kỳ. (Đây là lý do tại sao thấu kính hội tụ còn được gọi là dương và thấu kính phân kì - âm.) Khoảng cách $d$ được coi là dương để nhận biết một vật (thật) hoặc hình ảnh của nó, trước đây thu được bằng cách sử dụng một số phần tử quang học khác và nằm ở vị trí

36

Ảnh $S_2$ của vật $S$ nằm ở phía trước dòng thứ nhất và cách vật $d$ một khoảng bao nhiêu so với dòng thứ nhất? Hệ quang học của hai đường thẳng này sẽ như thế nào nếu khoảng cách $l$ giữa chúng bằng 0?

Rõ ràng, lời giải bài toán bao gồm việc áp dụng tuần tự công thức thấu kính cho thấu kính $\varLambda_1$ và $\varLambda_2$. Trước tiên, chúng ta hãy lưu ý rằng công thức này chỉ đơn giản biểu thị không phải khoảng cách tương ứng mà là đại lượng nghịch đảo của chúng, do đó rất thuận tiện khi thao tác với chúng. Mặt khác, như kinh nghiệm cho thấy, tính toán rườm rà thường dẫn đến kết quả sai.

Đối với dòng đầu tiên, công thức đưa ra

$$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d},$$

trong đó $f_1$ là khoảng cách đến hình ảnh $S_1$. Hình ảnh trung gian này thể hiện từ dòng thứ hai ở khoảng cách $d_2 = l - f_1$. Áp dụng công thức thấu kính lần thứ hai, chúng ta đạt được kết quả mong muốn:

$$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{d_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{l - f_1} =$$

$$= \frac{1}{F_2} + \frac{\frac{1}{f_1}}{1 - l \frac{1}{f_1}} = \frac{1}{F_2} + \frac{\frac{1}{F_1} - \frac{1}{d}}{1 - l \left(\frac{1}{F_1} - \frac{1}{d}\right)}.$$

Từ đây, về nguyên tắc, người ta có thể tìm được chính khoảng cách $f_2$.

Nếu các thấu kính được gấp chặt, tức là $l = 0$, thì biểu thức thu được sẽ đơn giản hóa:

$$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} + \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d}.$$

Để tìm công thức khoảng cách cho một hệ thống như vậy, hãy đặt $d \to \infty$.

$$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_{\text{системы}}} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2},$$

hoặc

$$D_{\text{системы}} = D_1 + D_2$$

• hệ quang học gồm hai đường mỏng gấp sát nhau bằng tổng công suất quang của chúng. Kết quả này có thể được khái quát hóa cho trường hợp có số lượng lớn các dòng.

Bài toán 2. Chứa đầy một thấu kính có khoảng cách hình dạng $F$ một gương phẳng được đặt vuông góc với các đường trục quang và cách nó một khoảng $l$ (Hình 4). Phía trước ống kính ở khoảng cách $d$ có nguồn sáng chính xác $S$. Xác định vị trí của ảnh.

37

Ở giá trị nào của d thì hình ảnh sẽ hợp lệ và ở giá trị nào thì nó sẽ nhỏ nhất (trường hợp khoảng cách l=0)?

Các tia sáng từ một nguồn sáng đi tới thấu kính sẽ bị khúc xạ trong đó, sau đó bị phản xạ khỏi gương và lại bị khúc xạ bởi thấu kính.

Sau lần khúc xạ thứ nhất qua thấu kính, các tia hội tụ tại điểm $S_1$. Chúng ta tìm thấy kích thước của đoạn $f_1$ từ công thức thấu kính:

$$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}.$$

Ảnh của điểm $S_1$ trong gương phẳng sẽ là điểm $S_2$, nằm cùng khoảng cách với gương như điểm $S_1$, nhưng ở phía bên kia của gương. Khoảng cách này là $d_2 = f_2 = l - f_1$.

Sau khi phản xạ từ gương, các tia lại rơi vào thấu kính, như thể phát ra từ điểm $S_2$, nằm cách thấu kính một khoảng

$$d_3 = l + (l - f_1) = 2l - f_1.$$

Sau lần khúc xạ thứ hai của thấu kính, các tia (hoặc sự tiếp nối của chúng) sẽ hội tụ ở một khoảng cách $f_3$ so với thấu kính, và

$$\frac{1}{f_3} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_3} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2l - f_1} =$$

$$= \frac{1}{F} - \frac{\frac{1}{f_1}}{2l \frac{1}{f_1} - 1} = \frac{1}{F} - \frac{\frac{1}{F} - \frac{1}{d}}{2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) - 1} =$$

$$= \frac{2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) + \frac{F}{d} - 2}{F \left(2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) - 1\right)}.$$

Do đó số lượng cần thiết

$$f_3 = \frac{F \left(2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) - 1\right)}{2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) + \frac{F}{d} - 2}.$$

Bây giờ hãy phân tích khi nào hình ảnh thu được sẽ hợp lệ và khi nào nó sẽ ở mức tối thiểu. Rõ ràng, hình ảnh cuối cùng là tối thiểu nếu điểm $S_2$ nằm giữa ống kính và tiêu điểm bên phải của nó, tức là $d_3 < F$. Do đó, điểm $S_1$ phải nằm ở bên phải gương, cách gương một khoảng $d_2 > l - F$ và cách thấu kính một khoảng $f_1 > 2l - F$. Khi đó từ công thức thấu kính ta có

$$\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f_1},$$

Ily

$$d = \frac{Ff_1}{f_1 - F} < \frac{F(2l - F)}{2(l - F)}$$

— ở những khoảng cách như vậy từ nguồn $S$ tới ống kính, ảnh của nó sẽ rất nhỏ.

Đặc biệt, khi $l = 0$, hình ảnh ở mức tối thiểu đối với các giá trị $d < F/2$ và hợp lệ đối với $d > F/2$.

Bài toán 3. Một thấu kính dày được làm từ một chồng chiết suất $n = 1,5$. Bán kính của bề mặt lồi thứ nhất là $R_1 = 20$ cm, bán kính của bề mặt thứ hai vừa lồi vừa lồi là $R_2 = 5$ cm. Tìm độ dày của thấu kính nếu biết thấu kính cho một chùm ánh sáng song song.

Vì thấu kính dày nên công thức thấu kính mỏng không được áp dụng cho nó. Đối với lời giải bài toán chúng ta phải sử dụng định luật khúc xạ ánh sáng không hạn chế.

Chúng ta hãy xét một chùm tia song song tới trên mặt phân cách hình cầu thứ nhất của trục quang kép của thấu kính. Sau khi khúc xạ, các tia sẽ hội tụ tại một điểm nhất định trên trục quang. Hãy tìm vị trí của điểm này.

Để làm điều này, chúng ta chọn một tia từ chùm tia - tia $AB$, cách trục một khoảng $h$ và tìm điểm $S$ giao điểm của nó với trục sau khúc xạ (Hình 5, a). Hãy vẽ bán kính $OB$ đến điểm tới của chùm tia. Khi đó góc $\alpha$ sẽ là góc tới và $\beta$ sẽ là góc khúc xạ, và theo định luật khúc xạ,

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n,$$ hoặc $\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n}$.

Từ tam giác COB

$$\sin \alpha = \frac{h}{R_1},$$ và $\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n} = \frac{h}{nR_1}$.

Lưu ý rằng tất cả các hệ thống quang học chỉ cung cấp hình ảnh rõ nét của vật thể nếu sử dụng chùm tia nheo. Trong trường hợp này, điều này có nghĩa là $h \ll R_1$, do đó, sin của góc tới và góc khúc xạ có thể được thay thế bằng chính các góc đó:

$$\alpha = \sin \alpha = \frac{h}{R_1},$$

39

đường tiêu cự. Bằng cách di chuyển đường này, bạn sẽ đạt được sự tập trung vào các vật thể ở xa hơn hoặc ít hơn.

Bài toán 4. Tìm vùng lấy nét của kính thiên văn với đường lấy nét có tiêu cự bằng tiêu cự của vật. Đường lấy nét di chuyển trong giới hạn nào? Chiều dài của ống nếu không có đường lấy nét nhưng có cùng vùng lấy nét là bao nhiêu?

Khi ống được đặt ở vô cực, đường lấy nét không được cản trở hình ảnh do ống kính tạo ra dưới bất kỳ hình thức nào; do đó, nó phải được đặt ở nơi thu được ảnh này, tức là trong mặt phẳng tiêu điểm chung của vật và thị kính.

Đường lấy nét càng được đặt xa mặt phẳng này thì hình ảnh do ống kính tạo ra sẽ càng dịch chuyển. Trong trường hợp cực đoan, các đường có thể được vặn chặt vào ống kính. Chúng ta hãy tìm khoảng cách tối thiểu $d$ của kính thiên văn.

Vì hai đường thẳng giống hệt nhau (đường hội tụ và thấu kính) xoắn lại với nhau nên tổng tiêu cự của chúng sẽ bằng một nửa tiêu cự của vật, tức là $F_{06}/2$. Hình ảnh do hệ thống các đường này tạo ra phải được thu ở khoảng cách $f=F_{06}$. Sau đó từ công thức đường mảnh chúng ta tìm thấy $d$:

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{F_{06}} = \frac{2}{F_{06}}, \text{ и } d=F_{06}.$$

Do đó, kính thiên văn có thể tập trung vào các vật thể nằm cách kính thiên văn ở khoảng cách từ $d=F_{06}$ đến $d \to \infty$. Trong trường hợp này, đường lấy nét di chuyển trực tiếp từ vật đến mặt phẳng tiêu điểm chung của vật và thị kính, tức là đến một khoảng bằng $F_{06}$.

Rõ ràng, một kính thiên văn không có đường lấy nét không thể có giới hạn lấy nét lớn như vậy, vì để làm được điều này, đường ống phải lớn vô cùng.

Bài tập

1. Một chùm ánh sáng song song chiếu vào hệ gồm ba thấu kính, trục chính của chúng trùng nhau. Tìm vị trí giao điểm của các tia sau khi truyền qua hệ nếu tiêu cự của các đường thẳng là $F_1=+10$ cm, $F_2=-20$ cm và $F_3=+10$ cm, khoảng cách giữa đường thẳng thứ nhất và đường thẳng thứ hai là $l_1=15$ cm, khoảng cách giữa đường thẳng thứ hai và thứ ba là $l_2=6$ cm.

2. Bề mặt phẳng của đường phẳng-lồi có tiêu cự $F$ được phủ một lớp phản chiếu tốt. Ở một khoảng cách $d$ tính từ thấu kính, về phía bề mặt lồi của nó, có một nguồn sáng điểm. Xác định vị trí của ảnh. Ở giá trị nào của $d$ hình ảnh sẽ hợp lệ và ở giá trị nào nó sẽ tối thiểu?

3. Một thấu kính có tiêu cự thay đổi bao gồm hai thấu kính phẳng-lồi mỏng giống hệt nhau, khoảng trống giữa chúng có thể chứa đầy nhiều chất lỏng khác nhau (Hình 7). Coi thấu kính là một đường thẳng, hãy tìm sự phụ thuộc của tiêu cự $F$ của nó vào chiết suất của chất lỏng $n$ và vẽ đồ thị sự phụ thuộc này. Bán kính của các mặt cầu của đường thẳng là $R=20$ cm, chiết suất của vật liệu thấu kính là $n_1=1,5$.

4. Tại sao cá sấu có mắt phẳng?