Olympic toàn Nga dành cho học sinh

59

Olympic toàn Nga dành cho TRẺ EM

Theo truyền thống, chặng cuối cùng của Kỳ thi Toán và Vật lý học sinh toàn Nga lần thứ VIII diễn ra trong kỳ nghỉ xuân.

Olympic toàn Nga được tổ chức thành bốn giai đoạn: giai đoạn đầu tiên là Olympic cấp trường, giai đoạn thứ hai là Olympic cấp huyện (thành phố), giai đoạn thứ ba là Olympic tài nguyên (ASSR), Olympic khu vực và khu vực, giai đoạn thứ tư là Olympic khu vực.

Năm nay, chặng cuối cùng, chặng thứ tư diễn ra đồng thời tại bốn thành phố của RSFSR: Kostroma, Stavropol, Ulyanovsk và Chita. Các đội tài nguyên, lãnh thổ và khu vực tự trị, bao gồm những người chiến thắng ở giai đoạn thứ ba, đã tham gia vào đó. Ngoài ra, những người chiến thắng trong Cuộc thi Olympic toàn Nga trước đó, những người đã nhận được bằng cấp 1 và 2, và những người chiến thắng trong cuộc thi tạp chí Yên tĩnh đã tham gia các Thế vận hội khu vực. Các đội tuyển đến từ các trường nội trú vật lý và toán học tại các trường đại học Leningrad, Moscow và Novosibirsk cũng tham gia chặng này.

Nhiệm vụ cạnh tranh của giai đoạn thứ tư môn toán bao gồm gót chân bài toán, trong đó bốn giờ được phân bổ cho lời giải. Khó khăn lớn nhất đối với những người tham gia Olympic là do bài toán về hình học, tổ hợp và phân tích toán học.

Nhiệm vụ của giai đoạn thứ tư trong vật lý bao gồm bốn loại lý thuyết bài toán và hai loại thực nghiệm. Đối với lời giải lý thuyết bài toán bốn giờ được phân bổ và ba giờ cho thời gian thử nghiệm. Bài lý thuyết bài toán khó nhất hóa ra lại là bài bài toán thứ tư dành cho học sinh lớp mười. Tất cả những người tham gia đã hoàn thành xuất sắc các nhiệm vụ thử nghiệm.

Theo lời giải zhorry, những người chiến thắng trong Olympic toàn Nga đã được trao bằng cấp, sự công nhận đáng nhớ và những món quà có giá trị. Bộ Giáo dục RSFSR đã trao chứng chỉ cho những giáo viên đã đào tạo những người chiến thắng Olympic.

Dưới đây là bài toán về toán học và vật lý của giai đoạn cuối cùng và tên của những người chiến thắng trong Olympic toàn Nga lần thứ VIII dành cho học sinh.

Toán học

lớp 8

1. Trong tam giác ABC vẽ bisketris [AK]. Được biết, tâm của các đường tròn - nội tiếp tam giác ABK và ngoại tiếp tam giác ABC - trùng nhau. Tìm các góc của tam giác ABC.

2. Xưởng có năm loại máy khác nhau. Đào tạo một công nhân vận hành một máy tốn 1.000 rúp. Với mọi chi phí tối thiểu, liệu 8 công nhân có thể được đào tạo để khi không có ba người trong số họ, tất cả các máy có thể được sử dụng cùng một lúc? Mỗi công nhân chỉ có thể làm việc trên một máy tại một thời điểm.

3. Ở một số nơi có sáu thành phố. Bộ Giao thông vận tải nhận được lệnh của nhà vua thiết lập một trong ba loại hình liên lạc giữa hai thành phố: đường sắt, đường cao tốc hoặc đường hàng không. Đồng thời, nhà vua yêu cầu ba thành phố bên dưới không được kết nối bằng cùng một loại hình giao tiếp và đối với bất kỳ sự phân chia sáu thành phố nào thành ba cặp, không phải tất cả các loại hình giao tiếp trong các cặp đều phải khác nhau. Liệu Bộ GTVT có thực hiện được mệnh lệnh của nhà vua?

4. Số điểm tối đa có thể được chọn trên đoạn [0; 1] sao cho trên bất kỳ đoạn [a; b] chứa trong đoạn [0; 1], không có nhiều hơn 1 + 100(b-a)² điểm được chọn?

5. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh [AB], [BC], [AC] lần lượt tại các điểm M, N và P. Được biết, $\vec{AN} + \vec{BP} + \vec{CM} = \vec{0}$. Chứng minh tam giác ABC đều.

lớp 9

1. Xem bài toán 2 cho lớp 8.

2. Giải hệ phương trình bằng số tự nhiên
   $$\begin{cases} x^3 - y^3 - z^3 = 3xyz \\ x^2 = 2(y + z) \end{cases}$$

3. Trong tam giác nhọn ABC, các đường cao cắt nhau tại điểm H. Chúng ta ký hiệu nó bằng $|AB| = c, |BC| = a, |CA| = b, |AH| = x, |BH| = y, |CH| = z$. Chứng minh đẳng thức $abc = ayz + xbz + xyc$.

4. Hàm $f(x)$ được xác định trên khoảng [0; 1], sao cho $f(0) = f(1) = 0$ và với mọi $a, b \in [0; 1]$ bất đẳng thức đúng
   $$f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq f(a) + f(b).$$

Chứng minh rằng phương trình $f(x) = 0$ có vô số lời giải. Tìm hiểu xem có hàm nào thỏa mãn các điều kiện đã chỉ định và không chính xác bằng 0 hay không.

5. Đội n từ giải đấu lớn và đội 2n từ giải đấu đầu tiên đã tham gia giải đấu bóng đá. Mỗi đội chơi đúng một trận với mỗi đội khác. Tỷ lệ số trận thắng của các đội ở giải đấu lớn so với số trận thắng của các đội ở giải hạng nhất là 7/5. Tìm n nếu thấy rằng không có gì trong tourer.

60

lớp 10

1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của α, β, γ thì ít nhất một trong các số sin α cos β, sin β cos γ, sin γ cos α không lớn hơn 1/2.
2. Xem bài toán 3 cho lớp 9.
3. Xem bài toán 4 cho lớp 9.
4. Xem bài toán 5 cho lớp 9.
5. Với những số tự nhiên nào n ≥ 3 thì có các số tự nhiên phân biệt a₁, a₂, …, aₙ sao cho 1 ≤ aₙ ≤ n+1 với mọi k=1, 2, …, n và tất cả n mô hình |a₁−a₂|, |a₂−a₃|, …, |aₙ−1−aₙ|, |aₙ−a₁| khác biệt?

Vật lý

Khủng bố lý thuyết

lớp 8

1. Dưới chuông của máy bơm tác động, người ta tìm thấy các bộ phận thô được ngâm trong một thùng chứa hở trong một loại bình có đường rue (Hình 1). Với một đầu kín, phần thô được treo trên đường kính. Chỉ số đường kính F có thể được quan sát qua kính của chuông. Khi lực tác động từ bên dưới chuông được bơm hoàn toàn, chênh lệch h giữa mức thô và mức khô bằng 0 và đường kính hiển thị F₀. Do tính toán ước tính tác động dưới chuông nên mức độ chênh lệch dần thay đổi. Vẽ và tô màu đồ thị của F theo h.

2. Trên bàn có một chiếc máy xay thủy tinh có thành mỏng cao có bán kính R = 3 cm. Một túi phẳng bằng polyetylen mỏng có chiều dài l = 30 cm và chiều dài chữ d = 10 cm được đưa vào máy nghiền. Túi được đổ đầy nước lên trên. Liệu túi nước có còn sót lại trong máy xay nếu máy xay được nhấc lên cẩn thận không? Hệ số ma sát của polytylene trên kính là μ=0,3.

3. Hai khối lập phương dẫn nhiệt giống hệt nhau được đổ đầy đến độ cao h=25 cm. Thùng thứ nhất chứa đầy đá thu được bằng cách đóng băng nước trong cùng một khối, thùng thứ hai chứa đầy nước ở nhiệt độ tₘ=10°C. Nước được đổ vào đá và mức nước sẽ được khuấy ngay lập tức. Sau khi cân bằng nhiệt được thiết lập, hóa ra nó tăng thêm Δh = 0,5 cm. Nhiệt độ ban đầu của nước đá là bao nhiêu? Mật độ băng ρₙ=900 kg/m³. Nhiệt dung riêng của nước đá đang tan chảy λ=340 kJ/kg, nhiệt dung riêng của nước đá cₙ=2100 J/(kg K).

4. Phôi cứng được kẹp giữa hai thanh dẫn hướng dirizem - ở bên phải với tốc độ v₁, thanh dẫn hướng phía dưới - ở bên trái với tốc độ v₂. Tiếp tuyến 1 và 2 hiện nằm trên một đường thẳng đứng. Sự co lại của một tập hợp các điểm trên một khoảng trống có vận tốc v₁ và v₂ (theo giá trị tuyệt đối) tại một thời điểm nhất định.

lớp 9

1. Từ vòi nó gần như chảy thẳng đứng với lưu lượng nước Q=1,5·10⁻³ m³/s. Diện tích mặt cắt ngang S của vảy ở độ cao h=2 m so với đầu ống là bao nhiêu, nếu tại lối ra khỏi ống có diện tích S₀=1,5 cm²?

2. Một cột băng khối lượng M lơ lửng ở độ cao H bắt đầu rơi xuống. Khi cô thấy mình ở độ cao H/2, một quả cầu tuyết có khối lượng m đập vào cô và ngay lập tức dính vào cô. Tại thời điểm quả cầu tuyết chạm vào cột băng, nó chuyển động theo phương ngang với vận tốc v₀. Tìm tốc độ mà cột băng sẽ rơi xuống đất.

3. Một bình có thể tích V = 2 lít chứa 1 mol khí hiđro và một ít nước. Ban đầu áp suất trong bình là pₙ=17 atm. Sau đó quả bóng nóng lên và áp suất trong nó tăng lên pₙ=26 atm. Tìm nhiệt độ ban đầu, nhiệt độ cuối cùng và lượng nước bay hơi. Các giá trị áp suất hơi nước bão hòa ở một số nhiệt độ được cho trong bảng sau:

| p, 10⁵ Pa | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 10 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| t, °C | 100 | 120 | 133 | 152 | 170 | 180 |

Lưu ý Để thực hiện bài toán bạn phải sử dụng tờ giấy milimet này.

4. Sự phụ thuộc của điện áp nguồn vào dòng điện tải được thể hiện trên hình 2.

61

3. Tìm công suất cực đại mà nguồn có thể cung cấp cho tải. Điện trở tải phải là bao nhiêu để có công suất tối đa?

lớp 10

1. Một tấm thảm toán học, trong đó sợi dây được thay thế bằng một thanh cứng, không trọng lượng, thực hiện các dao động tự do có biên độ nhỏ. Chu kỳ dao động có thể thay đổi nhiều nhất bao nhiêu phần trăm nếu chúng ta biến một tấm thảm toán học thành một tấm thảm vật lý, bằng cách gắn một tải có cùng khối lượng ở đầu vào một điểm nhất định trên thanh?

2. Một ống có chiều dài $l=1$ m và bán kính $r=0,08$ m có khối lượng $m_1=4$ kg. Ống chứa một pít-tông có khối lượng $m_2=10$ kg. Ở một đầu của ống có một vòng đệm không cho không khí đi qua, đầu kia có một cái kẹp có thể giữ piston ở vị trí cực hạn. Khi pít-tông được đặt vào vòng pít-tông trên thành thẳng đứng của máu (Hình 4). Sau đó, piston được di chuyển đến đầu đối diện của ống và được cố định bằng kẹp, và ống được thả ra. Ống sẽ ở trên tường? Hệ số ma sát của vòng đệm với tường $\mu=0,5$, áp suất nguyên tử $p_0=10^5$ Pa.

3. Một mạch điện được lắp ráp từ một cục pin, hai vôn kế giống hệt nhau và hai ampe kế giống hệt nhau (Hình 5). Các thiết bị được kết nối song song với màn hình $U_1=0,26$ V và $I_1=0,75$ mA. Milliampe kế thứ hai hiển thị $I_2=1$ mA. Xác định hướng của các cực của pin và điện trở của thiết bị.

4. Hai thanh cứng, không trọng lượng có chiều dài $l$, mỗi thanh được buộc chặt ở hai đầu bằng một bản lề có khối lượng $m$. Ở đầu các thanh có các quả cầu có khối lượng lần lượt là $m$ và $2m$. Cấu trúc được đặt trên một bàn thẳng đứng với bản lề hướng lên và bắt đầu di chuyển ra xa nhau bằng một lực đẩy nhỏ để các thanh luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Hình 6). Không có ma sát. 1) Tìm vận tốc của bản lề trước khi đập vào bàn. 2) Tìm vận tốc của bản lề có khối lượng $2m$ tại thời điểm góc giữa các thanh là $90^\circ$.

Chuyến tham quan thử nghiệm

lớp 8

1. Xác định hệ số ma sát của chân (thân) trên mặt bàn.

Thiết bị: lều có chân, giá đỡ từ lều vạn năng (hoặc một miếng kim loại dạng tự do nặng khoảng 2 kg), sợi chỉ cứng, thước gỗ, lực kế.

2. Xác định mật độ của chất lỏng chưa biết.

Thiết bị: cốc thủy tinh, nút chai hoặc quả bóng tennis thật, nhựa dẻo, bình chứa nước, bình chứa chất lỏng không xác định, sợi chỉ.

lớp 9

1. Xác định điện trở chưa biết.

Thiết bị: nguồn dòng BC-4-12, thanh nối hai chân, bộ biểu diễn điện tử, điện trở (6 Ohm, 2 A) - 2 chiếc, ren, đai ốc sắt, dây nối - 6 chiếc, điện trở không xác định, thước gỗ.

2. Xác định công cần thiết để thổi phồng quả bóng.

Thiết bị: bóng bay, đồng hồ đo áp suất hình chữ U, tee thủy tinh, cm, ống cao su, giấy vẽ đồ thị.

Gợi ý. Trước khi đo, bạn nên thổi phồng và xì hơi quả bóng 2-3 lần.

lớp 10

1. Vẽ và vẽ biểu đồ sự phụ thuộc của độ sâu trường ảnh vào đường kính nhiễu xạ ở một khoảng cách cố định giữa đèn và thấu kính.

Thiết bị: Thấu kính trường học, màn hình trắng, chân đế có bóng đèn định hướng 2,5-6,3 V, nguồn điện (2,5-6,3 V), thước học sinh, giấy đen, kéo, giấy vẽ đồ thị.

Gợi ý. Độ sâu trường ảnh đề cập đến sự khác biệt giữa khoảng cách tối đa và tối thiểu giữa ống kính và màn hình mà tại đó hình ảnh vẫn sắc nét.

2. Xác định nhiệt lượng bị mất đi trong nhiệt lượng kế có hệ số ít hơn bao nhiêu lần so với nhiệt lượng kế không có hệ số.

Thiết bị: nhiệt lượng kế trường học, nhiệt kế, điện trở (6 Ohm, 2 A) - 2 chiếc, nguồn dòng BC-4-12, dây kết nối - 8 chiếc, ampe kế trường học (2 A), bình chứa nước (200 ml), cuộn dây đốt nóng trên khối.

O. Ovchinnikov, S. Reznitsenko, G. Ykovlev

Các học sinh đoạt giải Olympic học sinh toàn Nga

Matematika

bằng cấp 1

trong 8 lớp nhận được:
Abakumov E. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Asterlin A. (Novosibirsk, làng số 121),
Vesnik R. (Petrozavodsk, làng số 18),
Gubarev A. (Fatezh, làng số 1),
Matveev O. (Sverdlovsk, làng số 79);

cho lớp 9 -
Billtse Yu. (Kalinin, thôn số 6),
Itenberg I. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Knyazev A. (Krasnoisk, làng số 101),
Kudinov O. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Kuznetsov D. (Gorky, làng số 36),
Orlov D. (Vladimir, làng số 8),
Shklyarenko D. (Bryansk, làng số 46),
Yurovsky S. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow);

cho 10 lớp -
Antonov V. (Obninsk, làng số 6),
Dobrovadnykh O. (Belorets, làng số 14),

62

Korsukov A. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Nikolaev I. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Slutsky B. (Novosibirsk, ssh. Số 130),
Freer V. (Volsk, ssh. Số 12),
Chalkh O. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow).

bằng cấp II
trong 8 lớp nhận được:
Burado A. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Dulov N. (Kirov, ssh. Số 59),
Maslykov I. (Ivanovo, s.sh. Số 22),
Pronin O. (Vladivostok, số 23),
Trusov I. (Orel, ssh. Số 1);

cho lớp 9 -
Berdyuzin A. (Angarsk, s.sh. Số 10),
Viktorov V. (Ryazan, ssh. Số 45),
Vinoredov A. (Moscow, Trường Vật lý số 18 tại Đại học quốc gia Moscow),
Gavrilov S. (Shadrinsk, s.sh. Số 4),
Karpenko N. (Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad),
Sadztov S. (Rostov-on-Don, tuyến phía bắc số 14),
Shtsenin I. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU);
cho 10 lớp -
Galkin I. (Gorky, ssh. Số 36),
Gorbunov S. (Petrozavodsk, s.sh. Số 30),
Eliseev M. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Mazurov O. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Mamiy D. (Maikop, ssh. Số 22),
Poutanek Yu. (Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad),
Sokolov A. (Angarsk, s.sh. Số 19).

bằng tốt nghiệp cấp III
trong 8 lớp nhận được:
Kabanov A. (Noginsk, ssh. Số 6),
Kumykov M. (Nalchik, s.sh. Số 5),
Proselkov D. (Omsk, ssh. Số 69),
Shimkunas E. (Kazan, ssh. Số 131);

cho lớp 9 -
Averin A. (Chelyabinsk, s.sh. Số 127),
Galnits I. (Chita, ssh. Số 5),
Domashov O. (Voronezh, số 58),
Makarenko I. (Quận Lomonosov, vùng Leningrad, Gostilitskaya s.sh.);

cho 10 lớp -
Zhukov A. (Barnaul, số 42),
Ziganshin I. (Dimitrovgrad, s.sh. Số 5),
Lounov I. (Saratov, s.sh. Số 13),
Soloviev S. (khu định cư Chernogolovka, khu vực Moscow, tuyến phía bắc số 82).

Vật lý
Bằng cấp đầu tiên
trong 8 lớp nhận được:
Vakhrushev Y. (Arkhangelsk, s.sh. Số 49),
Pisarev A. (Nevinomyssk, s.sh. Số 11),
Plusin K. (Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad),
Khomykov N. (Ulan-Ude, s.sh. Số 35),
Yarunin N. (Pavlovo, ssh số 1);

cho lớp 9 -
Bankov V. (Aleksin, ssh số 1),
Grebnev I. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),

Ershov M. (Yaroslavl, s.sh. Số 33),
Malysheev V. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Mokeev I. (Angarsk, ssh. Số 10),
Rybenkov V. (Makhachkala, s.sh. Số 13),
Simkov S. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Syskin V. (Novosibirsk, ssh. Số 130),
Khlukhensky K. (Cheboksary, s.sh. Số 27);

cho 10 lớp -
Arbuzov V. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Bibikov P. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Boko S. (Bratsk, ssh. Số 18),
Ivatsenko L. (Togliatti, s.sh. Số 26),
Pirozhenko A. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Sonkov S. (Saratov, số 13),
Shpetkin A. (Kalinerrad, ssh. Số 32).

bằng cấp II
trong 8 lớp nhận được:
Abanov A. (Krasnoirsk, s.sh. Số 170),
Epifanov S. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Kurrikov I. (Gatchina, s.sh. Số 1),
Molchanov S. (Saratov, ssh số 13),
Parshin N. (Penza, ssh. Số 6);

cho lớp 9 -
Burshchenko A. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Lazutin F. (Apatity, ssh số 2),
Malinovsky A. (Pavlovo, ssh số 1),
Marikhin V. (Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad),
Savrov M. (Azov, ssh. Số 13),
Chernytsov I. (Moscow, Trường Vật lý số 18 tại Đại học quốc gia Moscow),
Shmelev E. (Mirny, ssh. Số 19);

cho 10 lớp -
Altfeder I. (Nalchik, ssh. Số 9),
Amikhmin S. (Kazan, ssh. Số 131),
Batalov S. (Arzamas, s.sh. Số 2),
Eremev S. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Ksenofontov L. (Verkhnevillyuysk, s.sh. Số 2),
Malysheev V. (Volgograd, ssh. Số 131),
Sklokin A. (Apatity, ssh. Số 1),
Sultanov A. (Moscow, Trường Vật lý số 18 tại Đại học quốc gia Moscow),
Shmkov I. (Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad).

bằng tốt nghiệp cấp III
trong 8 lớp nhận được:
Balaura V. (Volgograd, s.sh. Số 92),
Ershov A. (Zlatoust, ssh. Số 25),
Moldtsov V. (Rybinsk, ssh. Số 21),
Ozhenev A. (Leninsk-Kuznetsky, s.sh. Số 2);

cho lớp 9 -
Dyachkov M. (khu định cư Chernogolovka, khu vực Moscow, tuyến phía bắc số 82),
Katarzin A. (Salavat, ssh. Số 6),
Korchatsin A. (Krasnoarmeysk, s.sh. Số 2),
Fatyanov O. (Kursk, s.sh. Số 6),
Shenkov A. (Chita, ssh. Số 1);

cho 10 lớp -
Aliskandarov Z. (Makhachkala, s.sh. Số 16),
Dyachkin V. (Yaroslavl, ssh. Số 33),
Kachaev I. (Krasnoirsk, s.sh. Số 10),
Kiryushin I. (Gorky, s.sh. Số 36).