Bài toán M766—M770; F778—F782

26

Bài toán

M766 — M770; F778 — F782

M766. Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không thể là lập phương của một số tự nhiên.

Yu. ionin

M767. a) Đường $l$ chia diện tích của một đa giác lồi làm đôi. Chứng minh rằng tỉ số mà đường thẳng này chia hình chiếu của đa giác thành đường thẳng vuông góc với nó không vượt quá $1 + \sqrt{2}$ (Hình 1, a). b) Mỗi ​​đường thẳng trong ba đường thẳng chia diện tích của hình này làm đôi. Chứng minh rằng diện tích phần hình nằm trong tam giác giữa các đường thẳng không vượt quá $1/4$ tất cả các hình phẳng (Hình 1, b).

V. Prasolov

M768*. Tổng của $n$ số, mỗi số không vượt quá modulo 1, bằng $s$. Chứng minh rằng bạn có thể chọn nhiều số trong số đó sao cho tổng của các số đã chọn khác $s/3$ không quá $1/3$.

V. Grinberg

M769*. Các đường phân giác của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $L$, các đoạn tiếp theo của chúng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại các điểm $A_1, B_1, C_1$ (Hình 2). Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp và $r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh đẳng thức

a) $\frac{|LA_1| \cdot |LC_1|}{|LB|} = R$; b) $\frac{|LA| \cdot |LC|}{|LB_1|} = r$;

b) $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{2r}{R}$.

R. Mazov

M770*. Ở đáy của paramid tam giác $PABC$ là một tam giác đều $ABC$. Chứng minh rằng nếu các góc $PAB, PBC, PCA$ bằng nhau thì paramida $PABC$ là chính quy.

27

F778. Vòng có khối lượng $m$, buộc lỏng lẻo hai vòng khối lượng mỏng $M$, bắt đầu trượt xuống; các vòng di chuyển theo các hướng khác nhau dọc theo một bề mặt ngang gồ ghề. Xác định gia tốc của vòng tại thời điểm ban đầu nếu góc $AO_1O_2$ (Hình 3) bằng $\alpha$. Không có ma sát giữa vòng và vòng.

S. Krotov

F779. Một hình vuông gồm hai nửa có tỷ số khối lượng bằng hai nằm trên một bề mặt gồ ghề. Ở góc $\alpha$ nào so với mặt tiếp giáp giữa hai nửa sợi dây phải được kéo trong mặt phẳng nằm ngang để hình vuông chuyển động về phía trước? Điểm tác dụng của lực nằm ở giao điểm của cạnh hình vuông và mặt phân cách.

E. Aliyev

F780. Một bình hình trụ có chiều cao $2h$, được chia đều cho một vách ngăn, chứa nước ở phần trên (mật độ của nó là $\rho$) và không khí ở áp suất khí quyển $p_0$ ở phần dưới (Hình 4). Một lỗ nhỏ mở ra trên vách ngăn để nước bắt đầu chảy vào phần dưới của bình. Lớp nước ở đáy bình sẽ dày bao nhiêu khi không khí bắt đầu đi lên từ lỗ? Nhiệt độ không đổi. Gia tốc của lực cứng là $g$.

V. Borodin

F781. Giữa hai quả cầu kim loại độc lập đồng tâm có bán kính $a$ và $b$ có ​​một điện tích chính xác $q$ ở khoảng cách $c$ tính từ tâm quả cầu. Điện tích nào sẽ chạy qua một dây dẫn mỏng nếu các quả cầu bị đóng kín bởi nó?

V. Komov

F782. Tụ điện được tích điện đến điện áp $U_0=100$ V và một điện trở được nối với nó. Đồng thời, trong một khoảng thời gian nhất định, năng lượng $W_1=1$ J được giải phóng dưới dạng nhiệt, và trong cùng khoảng thời gian đó, năng lượng $W_2=0,3$ J được giải phóng. Xác định điện dung của tụ điện.

A. Zilberman

Problems

M766 — M770; P778 — P782

M766. Prove that the sum of squares of three consecutive integers cannot be the cube of a naturel number.

Yu. Ionin

M767. a) The straight line $l$ splits a convex polygon into two parts of egal area; the parts are projected perpendicularly on a line orthogonal to $l$. Prove that the quotient of lengths