Bài toán M1126—M1130; F1138—F1142

24

Nhiệm vụ

M1126—M1130, F1138—F1142

M1126. Cho hình thang ABCD (có đáy BC và AD), trên các cạnh AB và CD lấy điểm K và M. Chứng minh rằng nếu ∠BAM=∠CDK thì ∠BMA=∠CKD.

A. S. Merkuryev

M1127. Máy vi tính “Cheburashka” có một bộ cộng cho phép bạn trừ và tìm số nghịch đảo 1/x từ một số x cho trước. Có thể sử dụng máy vi tính này để lấy đơn vị nếu số ban đầu là a) √19 + 88; b) √19 + √88? (Cấm nhập các số vào máy tính vi mô khác với số gốc hoặc số thu được từ các phép tính trên đó.)

A. B. Voomolnaya

M1128. Một số quân cờ được đặt trên bàn cờ. Trong một lần di chuyển, một trong các con chip sẽ di chuyển đến trường tự do liền kề (theo chiều ngang hoặc chiều dọc). Sau vài lần di chuyển, hóa ra mỗi con chip chạm vào tất cả các trường đúng một lần và quay trở lại trường ban đầu. Chứng minh rằng có lúc không có một quân nào nằm trên hình vuông ban đầu của nó.

E. B. Abakumov

M1129*. Cây linh sam và bạch dương mọc trong rừng của Nam tước Monhausen. Nam tước tuyên bố rằng ở khoảng cách đúng 1 km từ mỗi cây linh sam có đúng 10 cây bạch dương và trong rừng của ông có nhiều cây linh sam hơn bạch dương. điều này có thể được?

F. L. Nazarov

M1130. Trên mặt phẳng dan có một n-giác lồi có độ dài cạnh thứ k bằng a_k, độ dài hình chiếu của đa giác lên đường thẳng chứa cạnh này bằng d_k (k=1, 2, …, n). Chứng minh bất đẳng thức

$$2 \leq \frac{a_1}{d_1} + \dots + \frac{a_n}{d_n} \leq 4.$$

D. V. Fomin

F1138. Tăng tốc ở tốc độ tối đa có thể trên đoạn đường thẳng, xe đua tăng tốc từ 10,0 m/s lên 10,5 m/s trong 0,1 s. Anh ta sẽ mất bao lâu để làm điều tương tự trên đoạn đường cao tốc có bán kính 30 m? Ở bán kính bao nhiêu của vòng tròn thì anh ta thường không thể tăng tốc độ lên trên 10 m/s? Mặt phẳng đường cao tốc nằm ngang.

F1139. Ống hình chữ U chứa đầy nước một phần (hình 1). Đầu trên của ống đóng lại và làm nóng khuỷu tay phải của ống đến nhiệt độ +100 ° C, và khuỷu tay trái đến +99,5 ° C. Xác định sự chênh lệch mực nước ở trạng thái ổn định ở các đoạn ống uốn cong. Tham khảo: ở độ cao 23 tầng (70 m so với mặt đất), nhiệt độ sôi của nước thấp hơn mặt đất 0,25 độ. Phân bố nhiệt của ống khói khi tính toán giả định.

F1140. Phần tích điện đi vào môi trường nơi nó chịu điện trở yếu tỷ lệ thuận với tốc độ

25

phát triển. Trước khi dừng hẳn, hạt di chuyển được quãng đường $s=10$ cm. Nếu có một từ trường nhất định trong môi trường vuông góc với vận tốc của hạt thì với cùng tốc độ ban đầu, nó sẽ dừng lại ở khoảng cách $l_1=6$ cm tính từ điểm đi vào môi trường. Ở khoảng cách nào $l_2$ từ điểm đi vào thì hạt sẽ dừng lại nếu trường mạnh bằng một nửa?

A. I. Buzdin

F1141. Hiện nay, liên quan đến việc phát hiện hiện tượng siêu dẫn nhiệt độ cao, vấn đề tạo ra đường truyền dòng điện một chiều không bị tổn thất năng lượng trên vật thể Joule đang được nghiên cứu. Người ta đề xuất sử dụng cáp đồng trục để truyền dòng điện một chiều, bao gồm chất lỏng hình trụ bên trong và lớp vỏ hình trụ bên ngoài làm bằng chất siêu dẫn. Điện trường và từ trường trong hệ thống như vậy được mô tả là hình 2. Người ta biết rằng cảm ứng từ trường ở bề mặt chất siêu dẫn không thể vượt quá một giá trị nhất định $B_{\max}$, nếu không thì tính siêu dẫn sẽ bị phá hủy và hướng của điện trường không được vượt quá $E_{\max}$, nếu không sẽ xảy ra sự cố về điện ở lớp cách điện của cáp. Xác định xem công suất dòng điện một chiều cực đại truyền qua cáp như vậy sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu đường kính của vỏ bên trong và bên ngoài tăng gấp đôi. Công suất tối đa có thể truyền qua cáp có đường kính vỏ bọc $D=8$ cm, $d=3$ cm, nếu $E_{\max}=20$ kV/cm và $B_{\max}=5 \cdot 10^{-2}$ T là bao nhiêu? Lưu ý: cảm ứng từ trường trong không gian giữa các dây dẫn hình trụ trùng với từ trường của một dây dẫn thẳng có dòng điện $I$:

$$B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{r}$$

($\mu_0=4\pi \cdot 10^{-7} \text{ H/A}^2$ là hằng số từ).

S. M. Kozel

F1142. Sự hình thành của họ sao chổi Sao Mộc được mô tả theo sơ đồ sau. Sao chổi rơi từ một khoảng cách rất xa với tốc độ ban đầu vào Mặt trời và bay cách Sao Mộc không xa (hình 3). Sau khi ảnh hưởng đáng chú ý của trường hấp dẫn của Jupter chấm dứt, sao chổi lại di chuyển trong trường của Mặt trời và tốc độ của nó ngược hướng với tốc độ của Jupter, và quỹ đạo mới của sao chổi nằm gần Jupter, tức là ở khoảng cách $R=5,2$ a. đ. từ Mặt Trời. Quỹ đạo điểm cận nhật của một sao chổi như vậy sẽ nằm ở khoảng cách bao nhiêu so với Mặt trời?

V. E. Belonuchkin

Problems

M1126—M1130, P1138—P1142

M1126. The points $K$ and $M$ are chosen on sides $AB$ and $CD$ of a trapezium with bases $BC$ and $AD$. Prove that $\angle BAM=\angle CDK$ implies $\angle BMA=\angle CKD$.

A. S. Mercuryev

M1127. The microcomputer “Cheburashka” (the name of popular toy) can add and subtract numbers and calculate the number