Trang trại đang tìm kiếm những điều cực đoan...

45

Toán 9, 10

Ghi chú xuất bản được gửi đến học sinh lớp 10 và 10 kinh điển.

Trang trại đang tìm kiếm những điều cực đoan…

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. D. BENDUKIDZE

Có nhiều bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc lớn nhất của một số biến. Hãy lấy bài toán sau đây làm ví dụ. Dùng hàng rào dài 4a cần rào một đoạn thẳng có diện tích lớn nhất. Kích thước của cốt truyện nên là bao nhiêu?

Giải quyết bài toán này không khó. Trong thực tế, gọi độ dài của phần này là x. Khi đó chiều rộng của nó sẽ là 2a-x và diện tích của nó sẽ là x(2a-x). Vấn đề là tìm x sao cho hàm S(x)=2ax-x² có giá trị lớn nhất. Và để làm được điều này, chỉ cần thay thế S(x)=a²-(x-a)²<a² là đủ,

Hơn nữa, sự bình đẳng chỉ đạt được với một giá trị của x: với x=a. Nhưng khi đó 2a-x=a, tức là diện tích phải có dạng hình vuông.

Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có thể bỏ qua lời giải tương tự bài toán bằng các phương pháp cơ bản. Sau đây là một ví dụ: tìm kích thước của một hình bình hành bên phải có thể tích lớn nhất có đáy là hình vuông nếu tổng chiều dài cạnh của hình vuông này và chiều cao của hình bình hành đó bằng a.

Rõ ràng là nếu chiều dài cạnh đáy được ký hiệu là x thì thể tích của hình bình hành sẽ bằng x2(a-x). Vì vậy, cần tìm giá trị của x (0<x<a) để hàm v(x)=x²(a-x)

mang lại ý nghĩa nhất. Làm sao

46

Giải quyết bài toán này một cách cơ bản là không thể nhìn thấy được. Phải làm gì?

Chắc hẳn người đọc đang nghĩ: tại sao lại chẻ tóc? Hãy tính $v'(x)$, giải phương trình $v'(x)=0$, tìm các điểm tới hạn và xem điểm nào trong số các điểm tìm thấy mà hàm của chúng ta có giá trị cao nhất - rất đơn giản!

Theo đó, cách dễ nhất là làm theo sơ đồ được nêu trong sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích”. Tất nhiên, việc sử dụng một thực thể tùy ý sẽ giúp nghiên cứu hàm dễ dàng hơn - tìm các khoảng tăng và giảm, cực trị cũng như các giá trị lớn nhất.

Tuy nhiên, có thể làm được nếu không có chương trình miễn phí? Chẳng phải các nhà khoa học đã giải được bài toán thuộc loại này sớm hơn, trước khi phát minh ra chương trình tùy ý sao? Chúng tôi đã quyết định theo cách mà chúng tôi chưa bao giờ quyết định! Nhưng thường thì cần phải sử dụng đến những phép biến đổi hoặc cách xây dựng hình học rất thông minh. Nói cách khác, hiện tại không có một phương pháp nào phù hợp, nếu không phải dành cho tất cả mọi người thì ít nhất là dành cho một lớp học khá rộng bài toán.

Người đầu tiên tìm ra phương pháp như vậy là nhà toán học tổng hợp người Pháp Pierre Fermat, người có cuộc đời và công việc đã được thảo luận nhiều lần trong «Kvant». Ví dụ, trong bài viết của I. G. Bashmkova “Pierre Fermat” («Kvant», 1976, số 8) đã đưa ra quy tắc Fermat nổi tiếng để tìm cực trị, mà chính tác giả đã áp dụng thành công để vẽ các tiếp tuyến. Nếu chúng ta sử dụng các ký hiệu hiện đại, quy tắc này có thể được viết như sau.

Để tìm cực trị của một số hàm $f$, phụ thuộc vào $x$, tiếp theo hãy tìm $f(x+h)$, trong đó $h$ đủ nhỏ và viết đẳng thức gần đúng $f(x+h) \approx f(x)$. Đơn giản hóa đẳng thức thu được và chia nó cho $h$ hoặc theo mức cao nhất có thể $h$, bạn nên loại bỏ các số hạng vẫn chứa $h$ và thay thế đẳng thức gần đúng bằng một đẳng thức chính xác. Chúng ta thu được một phương trình có nghiệm sẽ chính xác là các giá trị của $x$ mà $f$ có thể có cực trị.

Sau khi hình thành quy tắc này, và nó là tùy ý không muộn hơn năm 1629, Fermat quyết định làm ví dụ như sau bài toán: “Chia đoạn $AC$ cho điểm $E$ sao cho hình chữ nhật ở hai bên $AE$ và $EC$ có diện tích lớn nhất.” Tất nhiên, người đọc đồng ý rằng đây chính xác là bài toán mà chúng tôi đã giải quyết ngay từ đầu.

Hãy xem cách giải quyết nó bằng cách sử dụng quy tắc Fermat.

Chúng ta hãy giữ nguyên ký hiệu tương tự: độ dài trống của các đoạn $AC$ và $AE$ lần lượt bằng 2$a$ và $x$. Phương trình (theo nghĩa của Fermat!) $S(x+h)$ và $S(x)$, trong đó $S$ là diện tích của hình chữ nhật, chúng ta thu được:

$$(x+h)(2a-x-h) \approx x(2a-x).$$

Sau khi di chuyển các quy tắc của phần sang trái, mở ngoặc và giảm nó xuống $-h$, chúng ta nhận được: $2x-2a+h \approx 0$. Bỏ số hạng chứa $h$ và thay thế đẳng thức gần đúng của điểm, ta tìm được: $x=a$. Hình chữ nhật cần tìm là hình vuông.

Chúng ta hãy làm quen với một bài toán khác mà Fermat đã xem xét: “Tính đường thẳng $AC$ tại điểm $B$ sao cho vật có hình vuông cạnh $AB$ và có chiều cao $BC$ là lớn nhất.”

Rõ ràng là Giàn có một hình bình hành bên phải có thể tích lớn nhất với đáy là hình vuông, với điều kiện là tổng của cạnh đáy và chiều cao đã cho. Và đây là công thức trên bài toán! Với nó $v(x)=x^2(a-x)$, và theo hướng dẫn của Fermat, chúng ta có:

$$(x+h)^2(a-x-h) \approx x^2(a-x),$$
$$2axh-3x^2h-3xh^2+ah^2-h^3 \approx 0,$$
$$2ax-3x^2=0.$$

Vì vậy, $x=0$ hoặc $x=2a/3$. Gốc đầu tiên không phù hợp - xét cho cùng, ở trên đã nói rằng $0<x<a$. Phần còn lại thứ hai, tức là hình bình hành có thể tích lớn nhất nếu các cạnh của đáy cao gấp đôi.

Kết quả thu được có đúng không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta đang sửa lại sớm quy tắc Fermat. Kế tiếp

47

Điều đáng chú ý là lúc đầu Fermat chỉ xây dựng công thức cho định luật của mình, nhưng sau đó đã chứng minh nó. Sử dụng ví dụ về hàm $v$, chúng ta hãy theo dõi quá trình tính toán của Fermat.

Để $v$ đạt giá trị tối đa tại giá trị của đối số $x_0$. Khi đó với bất kỳ số dương nhỏ nào $h$ phải có:

$$\begin{cases} v(x_0) \geq v(x_0 - h), \\ v(x_0) \geq v(x_0 + h). \end{cases}$$

Hãy nhớ lại rằng $v(x) = ax^2 - x^3$, sau khi biến đổi nguyên tố và giảm $h$, hệ thống có thể được biểu diễn dưới dạng sau:

$$\begin{cases} (2ax_0 - 3x_0^2) - (a - 3x_0 + h)h \geq 0, \\ (2ax_0 - 3x_0^2) + (a - 3x_0 - h)h \leq 0. \end{cases}$$

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng các mối quan hệ này bao hàm sự bình đẳng $2ax_0 - 3x_0^2 = 0$. Thật vậy, hãy để $2ax_0 - 3x_0^2 \neq 0$. Hãy lấy $h$ đủ nhỏ để bằng $h|a - 3x_0 \pm h| < |2ax_0 - 3x_0^2|$.

Điều này, do độ nhỏ tùy ý của $h$, luôn có thể đạt được. Nhưng sau đó các biểu thức

$$(2ax_0 - 3x_0^2) - (a - 3x_0 + h)h$$

Và

$$(2ax_0 - 3x_0^2) + (a - 3x_0 - h)h$$

cả hai đều dương (nếu $2ax_0 - 3x_0^2 > 0$) hoặc cả hai âm (nếu $2ax_0 - 3x_0^2 < 0$). Và điều này mâu thuẫn với hệ (1). Vì vậy, $x_0$ phải là nghiệm của phương trình $2ax - 3x^2 = 0$, điều này chứng tỏ kết quả thu được là đúng (sự tồn tại của một đường song song đặc biệt là điều không thể nghi ngờ!).

Hình 1.

Như bạn có thể thấy, quy tắc Fermat khá đơn giản và đồng thời hiệu quả. Nhưng quan trọng hơn, những quy tắc Fermat này thực sự dẫn đến đạo hàm!

Trên thực tế, xét cho cùng, anh ấy đang theo đuổi biểu thức số 0 chính xác

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

loại bỏ các số hạng chứa $h$ hoặc các lũy thừa cao hơn của nó và thay thế đẳng thức gần đúng bằng một đẳng thức chính xác. Và điều này tương đương với việc đi đến phần mở đầu trong biểu thức (2) với điều kiện là $h$ có xu hướng bằng 0, tức là tìm một $f'(x)$ tùy ý. Nói cách khác, quy tắc Fermat có thể được biểu diễn dưới dạng sơ đồ sau:

$$f(x+h) \approx f(x),$$
$$f(x+h) - f(x) \approx 0,$$
$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \approx 0,$$
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 0,$$
$$f'(x) = 0.$$

Vì vậy, điều kiện cần cho sự tồn tại của một cực trị, được biểu thị bằng quy tắc đã đề cập, không gì khác hơn là chúng ta đã biết… Định lý Fermat!

Nhân tiện, Lagrange, Laplace và Fourier tin rằng quy tắc Fermat là khởi đầu cho việc tạo ra phép tính vi phân. Họ không biết ý kiến ​​của Newton vĩ đại - Tôi chia sẻ rằng trong một bức thư, chỉ được xuất bản lần đầu tiên vào những năm ba mươi của cấp độ chúng ta (hơn hai trăm năm sau cái chết của tác giả nó!), Newton đã tuyên bố rõ ràng: “Tôi đã nhận được gợi ý về phương pháp từ phương pháp vẽ tiếp tuyến của Fermat; Bằng cách áp dụng nó vào các phương trình trực tiếp và nghịch đảo trừu tượng, tôi đã làm cho nó trở nên tổng quát.” Cần lưu ý ở đây rằng phương pháp mà Newton đề cập là phương pháp thông lượng của ông, tức là cái mà ngày nay chúng ta gọi là phép tính vi phân và tích phân, và phương pháp này không gì khác hơn là quy tắc của ông mà chúng ta đã thảo luận ở trên. Chúng ta hãy xem làm thế nào nó có thể được sử dụng để vẽ các tiếp tuyến.

48

Cho một đường thẳng $y=f(x)$ và một điểm $P=(x_0, y_0)$ trên đó, và chúng ta cần kiểm tra tiếp tuyến của đường thẳng tại điểm này. Giả sử rằng tiếp tuyến $PT$ đã được vẽ (hình 1). Chúng ta hãy lấy một điểm khác $Q=(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$ trên đường thẳng và biểu thị giao điểm của đường thẳng đứng $BQ$ với tiếp tuyến là $C$. Từ sự giống nhau của tam giác $TAP$ và $TBC$ ta có:

$$\frac{TB}{TA} = \frac{BC}{AP}.$$

Trong tỷ lệ này, chúng tôi thay thế đoạn $BC$ bằng $BQ$. Chúng tôi nhận được:

$$\frac{TB}{TA} \approx \frac{BQ}{AP},$$

hoặc, cái gì giống nhau,

$$\frac{TA+AB}{TA} \approx \frac{BD+DQ}{AP}.$$

Nhưng $BD=AP$, có nghĩa là

$$\frac{AB}{TA} \approx \frac{DQ}{AP}.$$

Xét rằng $AB=\Delta x$, $AP=y_0$, $DQ=\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, đẳng thức gần đúng thu được có thể được viết lại như sau:

$$\frac{y_0}{TA} \approx \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

(3)

Vẫn còn phải áp dụng quy tắc Fermat. Cụ thể là trong biểu thức

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

thực hiện phép chia, loại bỏ các số hạng vẫn chứa $\Delta x$ và thay thế đẳng thức gần đúng (3) bằng một số hạng chính xác. Vì vậy, chúng ta sẽ tìm được độ dài của đoạn $TA$, và do đó điểm $T$, sau đó vẽ một tiếp tuyến không khó.

Hãy xem xét một ví dụ cụ thể.

Đặt đường này là parabol $y^2=2px$ (hình 2). Đối với nó, đẳng thức (3) có dạng sau*):

$$\frac{y_0}{TA} \approx \frac{\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}-\sqrt{2px_0}}{\Delta x}.$$

Chúng ta hãy biến đổi phần quy tắc của đẳng thức này:

$$\frac{\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}-\sqrt{2px_0}}{\Delta x} =$$

$$= \frac{2p(x_0+\Delta x)-2px_0}{\Delta x(\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}+\sqrt{2px_0})} =$$

$$= \frac{2p}{\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}+\sqrt{2px_0}}.$$

Loại bỏ thuật ngữ chứa $\Delta x$ trong biểu thức cuối cùng, thay thế kết quả vào (4) và thay thế đẳng thức gần đúng bằng một đẳng thức chính xác, chúng ta thu được:

$$\frac{y_0}{TA} = \frac{p}{\sqrt{2px_0}}.$$

Nhưng $y_0=\sqrt{2px_0}$, có nghĩa là $TA=2x_0$, tức là $T=(-x_0, 0)$; vẫn thẳng đứng hơn các điểm $P$ và $T$. Bài toán lời giải!

*) Để định nghĩa, đặt $y_0>0$.

Gửi độc giả của chúng tôi

Việc đăng ký tạp chí «Kvant» cho năm 1989 vẫn tiếp tục.

Tạp chí dành cho học sinh từ lớp 6–10. Nó rất hữu ích cho giáo viên, đặc biệt là những người dạy các câu lạc bộ và hoạt động ngoại khóa cũng như tất cả những người yêu thích toán học và vật lý.

Trong năm mới, số lượng tạp chí tăng lên và các chuyên mục được mở rộng.

Chỉ mục của tạp chí trong danh mục Soyuzpechat là 70465.

Giá đăng ký cho một số phát hành là 45 kopecks.

Đăng ký được chấp nhận mà không bị hạn chế trong suốt cả năm và từ bất kỳ số nào tại các cơ quan Soyuzpechat, bưu điện và bưu điện.