Định luật bảo toàn năng lượng và động lượng

60

Định luật bảo toàn năng lượng và động lượng

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. I. CHernOUTSAN

Bài viết này thảo luận về việc sử dụng chung hai định luật bảo toàn - năng lượng và động lượng - cho lời giải vật lý khác nhau bài toán.

Trong các kỳ thi ứng dụng vật lý, một tình huống nảy sinh khi những người nộp đơn, hiểu rõ từng định luật bảo toàn riêng biệt, gặp khó khăn về “tâm lý” khi cần kết nối các định luật này lại với nhau, trong khuôn khổ một bài toán. Hơn nữa, theo chúng tôi, thông thường, việc lấy đi được tăng tốc bởi một định luật đơn giản hơn - định luật bảo toàn động lượng. Sau khi viết ra phương trình năng lượng tương ứng, người nộp đơn không còn nhớ hàm ý - và… gặp rắc rối. Tuy nhiên, nó xảy ra khác nhau.

Chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ cụ thể về cách “nỗ lực” chung về năng lượng và xung lực dẫn đến kết quả mong muốn.

Bài toán 1. Hai quả bóng, được làm từ cùng một chất liệu và có khối lượng $m_1$ và $m_2$, chuyển động về phía nhau với tốc độ $v_1$ và $v_2$. Nhiệt độ của các quả bóng sẽ tăng bao nhiêu sau một va chạm không đàn hồi tuyệt đối nếu nhiệt dung riêng của vật liệu làm quả bóng là c?

Nhiệt độ ban đầu của quả bóng nhanh chóng làm tăng nội năng của chúng:

$$\Delta E_{\text{вн}} = c (m_1 + m_2) \Delta t.$$

Nhiều người nộp đơn lầm tưởng rằng đó là kết quả của một cú đánh vào năng lượng bên trong

61

Toàn bộ động năng ban đầu của hệ $m_1 v_1^2/2 + m_2 v_2^2/2$ được truyền thành năng lượng ban đầu. Đồng thời, họ quên rằng các quả bóng không thể tồn tại sau va chạm, vì điều này sẽ mâu thuẫn với định luật bảo toàn động lượng - động lượng ban đầu của hệ $m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$, nói chung, không bằng 0. Điều này có nghĩa là khi tính năng lượng cần tính đến động năng của các quả bóng ở trạng thái cuối cùng.

Chúng ta hãy biểu thị tốc độ của những quả bóng co lại sau một tác động hoàn toàn không đàn hồi bằng $v$ và viết định luật bảo toàn năng lượng và động lượng, chính xác hơn là hình chiếu động lượng lên hướng chuyển động của quả bóng thứ nhất:

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} + \Delta E_{\text{вн}},$$

$$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v.$$

Giải ba phương trình thu được cùng nhau, chúng ta tìm thấy mức tăng nhiệt độ mong muốn:

$$\Delta t = \frac{m_1 m_2 (v_1 + v_2)^2}{2 c (m_1 + m_2)^2}.$$

Bài toán 2. Valon trinh nữ có khối lượng $M_1$ và $M_2$, đang chuyển động hướng về nhau với vận tốc $v_1$ và $v_2$. Khi xảy ra va chạm, bốn lò xo đệm giống hệt nhau sẽ lăn xuống, sau đó các đường diềm sẽ phân kỳ. Tìm biến dạng lớn nhất của mỗi lò xo nếu hằng số lò xo của nó là $k$.

Trong bài toán này, không giống như trước, có thể sử dụng định luật bảo toàn cơ năng (giả sử ma sát nhỏ và lò xo là lý tưởng), đánh đồng năng lượng ban đầu của con lăn với năng lượng của hệ tại thời điểm biến dạng của lò xo $x$ là lớn nhất. Trong trường hợp này, giá trị mong muốn $x$ sẽ được tính vào thế năng của biến dạng lò xo của lò xo:

$$E_p = 4 k x^2/2.$$

Tuy nhiên, ngoài năng lượng này, cũng cần tính đến động năng của các valon.

Thực tế là ở mức tiếp cận tối đa, các con lăn không dừng lại (điều đáng tiếc là nhiều người nộp đơn đã quên), giống như trong bài toán trước đó, từ định luật bảo toàn động lượng. Điểm đặc biệt duy nhất của thời điểm này là khi lò xo biến dạng tối đa, tốc độ của các con lăn là như nhau: $v'_1 = v'_2 = v$. Do đó, định luật bảo toàn năng lượng và động lượng (hay đúng hơn là hình chiếu của nó) trông như thế này:

$$\frac{M_1 v_1^2}{2} + \frac{M_2 v_2^2}{2} = \frac{(M_1 + M_2) v^2}{2} + 4 \frac{k x^2}{2},$$

$$M_1 v_1 - M_2 v_2 = (M_1 + M_2) v.$$

Từ đây chúng ta có được

$$x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{M_1 M_2}{k (M_1 + M_2)}} (v_1 + v_2).$$

Bài toán 3 (ma trận đạn đạo). Một khối có khối lượng $M$, treo lơ lửng trên các sợi song song có chiều dài $l$, bị một viên đạn bay ngang có khối lượng $m$ trúng phải và mắc kẹt trong đó (hình 1). Do va chạm, mỗi sợi chỉ bị lệch một góc $\alpha$. Tìm vận tốc ban đầu của lò xo v. Sợi dây được coi là lý tưởng (không trọng lượng và không co dãn).

Như có thể thấy từ hình, góc lệch của các sợi $\alpha$ có liên quan đến độ cao $h$ mà khối nâng lên:

$$h = l (1 - \cos \alpha),$$

và chiều cao $h$ có thể liên quan đến thế năng của khối và viên đạn ở trạng thái cuối cùng:

$$E_p = (M + m) gh.$$

Câu hỏi đặt ra: liệu định luật bảo toàn có thỏa mãn trong tình huống này không?

62

năng lượng cơ học? Nói cách khác, năng lượng của hệ ở trạng thái cuối cùng có bằng năng lượng ban đầu của nó, tức là động năng của viên đạn $mv^2/2$? Đáp số tất nhiên là âm. Suy cho cùng, chúng ta biết rằng khi va chạm không đàn hồi, một phần cơ năng sẽ chuyển hóa thành nội năng.

Làm thế nào điều này có thể được? Hãy xem xét một trạng thái trung gian khác của hệ thống - ngay sau khi kết thúc va chạm, khi viên đạn đã mắc kẹt trong khối, nhưng viên đạn vẫn đứng thẳng. Năng lượng của hệ ở trạng thái này chỉ đơn giản là động năng của khối và viên đạn: $E_k=(m+M)v'^2/2$, trong đó $v'$ là tổng tốc độ của chúng. Sau khi va chạm không đàn hồi kết thúc thì năng lượng sẽ không bị mất đi nữa và ta có thể viết

$$E_k=E_p,$$

hoặc

$$\frac{(m+M)v'^2}{2}=(M+m)gh.$$

Tốc độ $v'$ có thể liên hệ với tốc độ ban đầu của viên đạn bằng định luật bảo toàn động lượng

$$mv=(m+M)v'.$$

Từ hai phương trình cuối cùng, tính đến biểu thức của $h$, chúng ta có

$$v=2\left(1+\frac{M}{m}\right)\sqrt{gl}\sin \frac{a}{2}.$$

Lưu ý rằng trong bài toán định luật bảo toàn động lượng và năng lượng không hoạt động đồng thời mà như thể lần lượt. Hóa ra điều này không quá dễ hiểu và nhiều người nộp đơn giải bài toán thuộc loại này chỉ sử dụng định luật bảo toàn năng lượng, tất nhiên thu được kết quả sai.

Bài toán 4. Ba quả bóng nhỏ được tải - khối lượng của mỗi quả bóng $m$, điện tích $q$ - được chứa bởi những sợi dây lý tưởng giống hệt nhau có chiều dài $l$ và tạo thành một tam giác đều (hình 2). Một trong những sợi dây bị cắt và các quả bóng bắt đầu di chuyển. Tìm tốc độ tối đa của quả bóng ở giữa (3) khi di chuyển. Trên thực tế, lực hấp dẫn có thể biến đổi được.

Vì hệ kín và chỉ có lực tương tác Coulomb tác dụng trong nó nên định luật bảo toàn năng lượng có thể áp dụng cho hệ. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ không tính đến năng lượng tương tác của các quả bóng 1, 3 và 2, 3, vì nó giống nhau ở trạng thái a) và 6) (xem hình 2). Khi đó định luật bảo toàn năng lượng sẽ có dạng

$$\frac{kq^2}{l}=\frac{kq^2}{r_{12}}+2\frac{mv^2}{2}+\frac{mV^2}{2}.$$

Chỉ dựa trên phương trình này, không chỉ không thể tính được tốc độ yêu cầu $V$ mà còn có thể hiểu được khi nào nó là tối đa. Tuy nhiên, vì hệ đóng nên chúng ta cũng có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng - tổng động lượng của ba quả bóng luôn bằng không. Đối với các phép chiếu xung, chúng ta thu được

$$0=2mv-mV.$$

Bây giờ rõ ràng là tốc độ $V$ sẽ tối đa khi quả bóng 1 và 2 ở xa nhau nhất, tức là khi $r_{12}=2l$. Giải các phương trình tương ứng, ta tìm được

$$V=q\sqrt{\frac{2}{3}\frac{k}{ml}}.$$

Vì lý do nào đó, nhiều học sinh được sử dụng ở lời giải định luật bảo toàn động lượng bài toán này có vẻ không bình thường hoặc thậm chí ở các quốc gia.

Bài toán 5. Trên một khối có chiều dài $l$ và khối lượng $M$, nằm trên mặt ngang chính, có một vật thể nhỏ có khối lượng $m$ (hình 3). Hệ số ma sát giữa vật và khối là $\mu$. Ở tốc độ bao nhiêu $v$

63

Hệ có nên chuyển động sao cho sau khi khống chế va chạm của khối vào tường thì vật rơi khỏi khối không?

Tác động của khối vào tường sẽ khiến tốc độ của nó đột ngột thay đổi theo hướng ngược lại. Tốc độ của vật sẽ không thay đổi trong quá trình va chạm và nó sẽ bắt đầu trượt dọc theo khối.

Hãy tìm khoảng cách $x$ vật sẽ chuyển động tương ứng với vật trước khi kết thúc quá trình trượt. Rõ ràng điều kiện $x > l$ sẽ là điều kiện để một vật rơi khỏi khối. Công của lực ma sát trượt gắn liền với khoảng cách $x$ -

$$A_{\text{тр}} = -\mu mgx,$$

đến lượt nó bằng độ biến thiên động năng của hệ:

$$A_{\text{тр}} = \frac{(m+M)v^2}{2} - \left(\frac{mv^2}{2} + \frac{Mv^2}{2}\right).$$

Ở đây $v'$ là tốc độ của khối với vật tại thời điểm vật dừng lại so với khối. Vận tốc này có thể tìm được từ định luật bảo toàn động lượng

$$Mv - mv = (M+m)v'.$$

Giải đồng thời cả ba phương trình, ta được

$$x = \frac{2Mv^2}{\mu g(M+m)}.$$

Điều kiện $x > l$ cho phép bạn tìm tốc độ ban đầu:

$$v > \sqrt{\frac{1}{2}\mu g\left(1 + \frac{m}{M}\right)}.$$

Có vẻ không thể hiểu được tại sao công $A_{\text{тр}}$ lại bằng tích của lực nhân với độ dịch chuyển của vật so với khối - xét cho cùng, khối không đứng yên và do đó chuyển động

Chuyển động của vật so với mặt đất không bằng độ dịch chuyển của vật đó so với vật. Thực tế là sự thay đổi cơ năng của hệ bằng tổng công $F_{\text{тр}}$ - cả trên vật và trên khối:

$$A_{\text{тр}} = \left(F_{\text{тр}}x\right) + \left(-F_{\text{тр}}x\right) = F_{\text{тр}}x.$$

Để kết luận, chúng ta sẽ phân tích bài toán để tính phản ứng hạt nhân. Ở phần bài toán này, bản chất vectơ của định luật bảo toàn động lượng xuất hiện rõ ràng hơn ở phần trước.

Bài toán 6. Để thực hiện phản ứng tổng hợp các đồng vị hydro nặng và siêu nặng ($^2H + ^3H = ^4He + n$), các hạt nhân hoạt động được tăng tốc tới năng lượng $E = 2M\theta B$ hướng vào mục tiêu Tritz. Máy dò phát hiện các neutron phát ra vuông góc với hướng của chùm deuteron. Xác định năng lượng của neutron cản trở nếu năng lượng $\Delta E = 14M\theta B$ được giải phóng trong phản ứng.

Định luật bảo toàn năng lượng trong phản ứng này có dạng

$$\frac{m_{\text{д}}v_{\text{д}}^2}{2} = E = \frac{m_{\text{r}}v_{\text{r}}^2}{2} + \frac{m_{\text{н}}v_{\text{н}}^2}{2} - \Delta E$$

(sau đây chỉ số “d” biểu thị deuterium, “g” - helium, “n” - neutron). Định luật bảo toàn động lượng phải được viết dưới dạng hình chiếu cả trên trục $X$ (hướng vận tốc của deuteron tới) và trên trục $Y$ (hướng thoát của neutron bị cản trở):

$$m_{\text{д}}v_{\text{д}} = m_{\text{r}}v_{\text{rx}},$$

$$0 = m_{\text{н}}v_{\text{н}} - m_{\text{r}}v_{\text{ry}}.$$

Có tính đến $v^2_{\text{r}} = v^2_{\text{rx}} + v^2_{\text{ry}}$, chúng tôi nhận được

$$\frac{m_{\text{н}}v_{\text{н}}^2}{2} \left(1 + \frac{m_{\text{н}}}{m_{\text{r}}}\right) = \Delta E + \frac{m_{\text{д}}v_{\text{д}}^2}{2} \left(1 - \frac{m_{\text{д}}}{m_{\text{r}}}\right).$$

Từ đây, xét đến $m_{\text{н}}/m_{\text{r}} = 1/4$ và $m_{\text{д}}/m_{\text{r}} = 1/2$, ta tìm được năng lượng của neutron bị cản trở:

$$E_{\text{н}} = \frac{4}{5} \left(\Delta E + \frac{1}{2}E\right) = 12M\theta B.$$

Bài tập

1. Một xe đẩy có khối lượng $M$ chuyển động với tốc độ $v$ trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn (hình 4). Trên xe đẩy từ trên cao