Phỏng vấn N. N. Konstantinov

19

THẾ GIỚI TOÁN HỌC

PHỎNG VẤN VỚI N.N. KONSTANTINOV

Nikolai Nikolaevich Konstantinov là nhà tổ chức giáo dục toán học xuất sắc, một trong những người tạo ra hệ thống lớp học toán ở Mátxcơva. Người dẫn đầu thường trực của cuộc thi toán học quốc tế duy nhất thuộc loại này - Giải đấu các thành phố, trong đó học sinh từ khắp nơi trên thế giới tham gia. Thành viên chính thức của Hiệp hội các nhà khoa học tự nhiên Moscow, Hội toán học Moscow. Đại diện cho Liên đoàn các cuộc thi toán quốc gia thế giới ở châu Âu. Ông giảng dạy tại trường số 179 ở Moscow. Được trao Huân chương Toán học Quốc tế Paul Erdős. Gần đây đã nhận được Giải thưởng của Chính phủ Nga trong lĩnh vực giáo dục vì đã tạo ra Giải đấu Lomonosov. Chúng tôi yêu cầu anh ấy kể cho chúng tôi nghe về bản thân, công việc và quan điểm của anh ấy về giáo dục toán học. Nikolai Nikolaevich sẵn lòng đáp ứng yêu cầu của chúng tôi. – Ở trường bạn thích môn sinh học hơn… – Tôi đã có niềm đam mê với sinh học ngay cả trước khi đi học. Khi tôi bảy tuổi, lần đầu tiên tôi trồng dâu tây và thử làm dâu tây từ chúng. Tôi đã không thành công. Tôi tự thuyết phục bản thân rằng quả mọng sẽ to hơn một chút khi tôi tưới nhiều nước cho chúng. Tôi hỏi trong thư viện, lúc đang sơ tán, tức là vào năm 1941, - tôi đang học lớp ba, - một cuốn sách về du lịch, và họ đưa cho tôi Darwin, “Chuyến du hành vòng quanh thế giới trên con Beagle của một nhà tự nhiên học”. Trong lời nói đầu của Giáo sư S.L. Sobol người ta viết rằng những đặc điểm có được không được di truyền. Tôi vẫn nói: học được điều gì đó từ một cuốn sách là một chuyện, còn trải nghiệm nó một cách đầy cảm xúc lại là một chuyện khác. Tôi đã trải nghiệm điều này ở độ tuổi rất dễ bị ảnh hưởng. Tôi thấy buồn cười khi mọi người bắt đầu thảo luận về điều gì đó mà họ không hề cảm thấy gì và đi đến những kết luận đã được hoạch định trước. Sau đó, tôi theo học tại trạm nghiên cứu tự nhiên trẻ ở Sokolniki, trong Vườn Bách thảo của Đại học Quốc gia Moscow. Có một nhà thực vật học, phó giáo sư Potapov, người giám sát tôi. Và đến năm lớp 9, tôi vào câu lạc bộ giỏi nhất, mạnh nhất, chúng tôi được đưa vào các khoa của Khoa Sinh học. Nhưng đây là năm học 1947/48, và vào mùa hè năm 1948, một thảm họa sinh học nổ ra, Lysenko xuất hiện, v.v. Sau đó, có đến khoa sinh học cũng vô ích. Họ không tặng sách: cấm phát hành sách giáo khoa. Ngoài ra, tôi bắt đầu quan tâm đến toán học và đối với tôi điều này không còn là một điều mất mát nữa. Vì thế niềm đam mê toán học của tôi chỉ là thứ yếu, và tôi thấy điều này có một số lợi ích. Tôi luôn cảm thấy, đối với tôi việc mất môn toán không phải là mất tất cả. – Mất mát mọi thứ là gì? – Chà, nếu sinh học, vật lý và mọi thứ khác đều chết đối với tôi thì đó sẽ là sự mất mát tất cả. – Nghĩa là, toán học là một trong nhiều thứ quan trọng. - Vâng, một trong số đó. Hãy nói rằng không có gì thành công trong toán học. Chà, phải làm sao đây, đây không phải là lý do để tự sát. – Tại sao bạn vào khoa vật lý của Đại học quốc gia Moscow? – Tất nhiên, tôi bắt đầu quan tâm đến vật lý – chính xác là vào năm lớp 10, năm cuối cấp của tôi. Có lẽ vì lúc đó đối với tôi toán học dường như là một môn khoa học phù phiếm. Có một số chú thỏ nhảy trên các vòng tròn màu đỏ, xanh lá cây và trắng, và bạn cũng phải chứng minh rằng có số chẵn những con thỏ màu đỏ. Tất cả những bài toán này đối với tôi giống như một món đồ chơi. Thật kỳ lạ khi làm điều này. Sau đó tôi nhận ra rằng tất nhiên đây là những bài tập. Nhưng tôi cho rằng những người lạm dụng những câu chuyện thiếu nhi như vậy đều chưa hiểu hết về tâm lý học. Trẻ em thích các hoạt động của mình trông trưởng thành hơn. – Bạn đã từng tham gia Thế vận hội chưa? - Năm lớp 7, thầy dạy toán - chúng tôi có một thầy rất nổi tiếng, khi thầy bị thay thế, cả lớp đình công - thầy khuyên tôi nên đi thi Olympic, nhưng thấy đề cử thế nên tôi không đi. Ông nói rằng một bài kiểm tra như vậy đang được thực hiện, những học sinh giỏi nhất

Họ chiến đấu và cạnh tranh để xem ai có thể viết bài kiểm tra này tốt hơn. Tôi nghĩ: “Thật ngu ngốc, họ không có đủ bài kiểm tra…” Và tôi đến đó một năm sau đó vì người hàng xóm cùng bàn của tôi đi giảng bài ở trường đại học. Đó là bài giảng ngày chủ nhật về chủ đề không gian bốn chiều. Sau đó anh ấy trở về hoàn toàn điên cuồng, đôi mắt anh ấy nhìn về một nơi xa xăm nào đó và liên tục nói với tôi điều gì đó mà tôi không thể hiểu được. Chúng tôi cùng nhau đi đến bài giảng tiếp theo. Đây là bài giảng của Isaac Moiseevich Yaglom về quy nạp trong hình học. Nó gây ấn tượng mạnh với tôi vì ở đó có rất nhiều điều bất ngờ. Yaglom nói chuyện với những học sinh đang ngồi ngay trước mặt anh và hỏi: có định lý nào như vậy không? - tôi nghĩ anh ấy chắc hẳn là giáo sư đại học - và anh ấy không biết định lý là gì. Cuối cùng thì tôi đã ở đâu?.. Những học sinh đang ngồi trước mặt anh ấy không cho anh ấy một câu đáp số dễ hiểu. “Được rồi,” Yaglom nói, “sự khác biệt là gì. Hãy chứng minh điều đó.” Điều này hoàn toàn gây sốc cho tôi. Anh ta không biết định lý là gì và anh ta cũng không cần phải biết. Một điều hoàn toàn bất ngờ đối với một học sinh đã quen: hoàn thành nhiệm vụ - được điểm A, đồng thời chẳng học được gì. – Và sau khoa vật lý, ông có đủ can đảm để dạy các nhà toán học không? – Không chỉ sau khoa Vật lý - vào năm thứ 5 khoa Vật lý, tôi đã công bố một buổi hội thảo về lý thuyết hàm số thực tại Khoa Cơ học và Toán học. Tôi luôn có đủ can đảm và bây giờ tôi vẫn còn đủ. Các lớp học ở trường đại học sau đó bắt đầu lúc 10 giờ. Đương nhiên: không có tàu điện ngầm. Đến dãy núi Lenin khó khăn hơn. Xe buýt, hàng dài… Và vì vẫn phải tìm khán giả nên chúng tôi xếp lịch học vào 8 giờ sáng. Khoảng 15 sinh viên năm nhất đã tham dự và họ luôn đến lúc 8 giờ. Một số người trong số họ sau này đã trở thành những nhà toán học rất giỏi. Trong số đó có Kolya Rozov; Zhenya Golod, người mạnh nhất; Sasha Wentzel; Ira Vinogradova; Lenya Bokut. Cũng có những người tôi quên mất họ. Buổi hội thảo diễn ra khá sôi nổi, nó kéo dài một học kỳ và kết thúc với việc tôi đạt đến giới hạn hiểu biết của mình. Sau đó tôi phải tự mình đào cái gì đó lên. Sau đó, tôi định học cao học với Alexei Andreevich Lyapunov, vì anh ấy đang nghiên cứu về điều khiển học, và lúc đó tôi chỉ bị sốc bởi bài báo của L.V. Kru-

20

KVANT 2010/№1

Shinsky về phản xạ ngoại suy. Vào thời điểm đó, tôi đã làm việc ở khoa vật lý với tư cách là giáo viên toán được 5 năm, nhưng khi đọc Krushinsky, tôi thực sự choáng váng. Nó thật sự rất thú vị đối với tôi. Mặc dù tôi không hiểu làm thế nào tôi có thể hữu ích ở đó. Nhưng tôi đã nghỉ dạy ở khoa vật lý và đi học cao học. Tưởng chừng như tôi đang giảng dạy thành công nhưng khi cảm thấy mình bắt đầu cho điểm kém một cách thờ ơ, tôi nhận ra rằng mình phải rời bỏ công việc này. Tôi nghĩ nhiều người không để ý đến dòng này. – Công trình của Krushinsky có làm bạn sốc vì ông ấy đang cố gắng tìm hiểu cách thức hoạt động của bộ não không? - À, một cái gì đó hoàn toàn mới. Tôi hiểu rằng có những phản xạ có điều kiện, nhưng đây là một điều gì đó hoàn toàn khác. Thực tế là các phản xạ có điều kiện - chẳng hạn như ở bạch tuộc - chúng đã xuất hiện, nhưng ở giai đoạn sơ khai, rất yếu. Nhiều loài cá thậm chí không có biểu hiện gì như thế này. Và định hướng không gian tồn tại sớm hơn. Những thứ kia. đây có lẽ là một điều cơ bản hơn. – Làm thế nào mà một bộ phim hoạt hình lại ra đời trong đó một con mèo máy tính bước đi như người sống? – Đó là vào năm 1968. Lúc này, ATsPU xuất hiện. Trước đó chỉ có một dải ruy băng hẹp, hẹp với những con số, thậm chí không có chữ cái. Cô ấy bước đi với tốc độ chóng mặt và đọc hết tất cả là một nghệ thuật thực sự. ATsPU-128 xuất hiện và 128 vì 128 ký tự trên mỗi dòng là một dòng dài. Và ngay lập tức xuất hiện mốt làm tranh: ví dụ như bức chân dung của Lenin, in nổi bằng chữ. Rõ ràng là máy tính không liên quan gì đến việc này. Nhưng vì có cơ hội làm hình, đồng nghĩa với việc có cơ hội làm phim hoạt hình. Đây là động lực. Học trò cũ của tôi, Valera Ivanov, tốt nghiệp khoa Lý sinh, đã làm một bộ phim múa rối như vậy. Ông đã tạo ra mô hình phân tử DNA từ những quả bóng nhựa và bắt đầu chứng minh nó có thể bị biến dạng như thế nào. Anh ấy làm điều đó giống như họ làm phim múa rối. Trong một trạng thái, anh ta chụp một bức ảnh, sau đó xoay nó một chút, chụp lại một bức ảnh, v.v., rồi chiếu phim. Và tôi nói với anh ấy rằng việc này cần phải được thực hiện trên máy tính, bởi vì khi bạn quay bằng tay, độ chính xác của bạn rất kém, và ngay cả khi bạn có thể làm phim để chiếu thì cũng tuyệt đối không thể sử dụng nó cho công việc khoa học. Hãy làm một bộ phim máy tính. Và để làm được điều này, cần phải suy nghĩ về cách tổ chức thông tin. Ban đầu, có một số người tham gia thảo luận, sau đó có ba người thực sự làm việc. Ngoài tôi còn có Vladimir Ponomarenko và Viktor Minakhin. Thật ngạc nhiên là việc này đã được thực hiện vào năm 1968, bốn mươi năm trước, và suốt thời gian qua mọi người dường như đã quên mất việc này, rồi đột nhiên $вспомнили.^{1}$ - Tại sao bạn lại nảy ra ý tưởng làm việc với học sinh? – Lúc đầu, khi còn học ở khoa vật lý, tôi không làm việc với học sinh. Nhưng tôi đã nhận được chứng chỉ tại Olympic, và họ bắt đầu ồn ào với tôi một chút, đưa tôi vào hội sinh viên khoa học, v.v…. Tóm lại, vào năm thứ hai, tôi đã là phó chủ tịch Olympic vật lý thành phố. Bằng cách nào đó, việc tôi làm việc trong lĩnh vực này là điều đương nhiên. Chà, Igor Ivanchik và tôi, đây là bạn cùng lớp của tôi, đã quyết định tổ chức một câu lạc bộ vật lý với số lượng lớn khán giả cho tất cả mọi người, những người mới có thể đến mỗi lần, hàng trăm người có mặt… Chúng tôi có cơ hội chuẩn bị các thí nghiệm trình diễn, toàn bộ phòng vật lý

1 Bạn có thể đọc chi tiết về tất cả những điều này trong các bài báo “Sự xuất hiện của chú mèo con” và “Con mèo có biết rằng cô ấy không có thật” (tạp chí Computerra, số 7, 2006). Và bản thân phim hoạt hình hiện có thể được tìm thấy trên Internet: http://www.etudes.ru/ru/mov/kittie/index.php

các cuộc biểu tình đã sẵn sàng cho chúng tôi. Chúng tôi có thể tự mình thực hiện bất kỳ thí nghiệm nào và sau đó chúng tôi chọn những gì chúng tôi thể hiện. Và có hai con người vĩ đại, Sergei Ivanovich Usagin và người thứ hai - Valentin Semenovich, tôi quên mất họ của anh ấy. Đây là những thợ thủ công người Nga không có trình độ học vấn, mọi thứ luôn hoạt động tốt. Cha của Sergei Ivanovich cũng vậy; ông đã phát minh ra máy biến áp. Tình cờ. Điều này rất hữu ích với tôi và có lẽ học sinh cũng thấy nó thú vị. Nói chung, Igor và tôi đã dẫn đầu một vòng tròn như vậy trong một thời gian khá dài. Khi tôi tốt nghiệp khoa vật lý và trở thành trợ lý vào năm thứ hai, học sinh của tôi đều là học sinh cũ của tôi. Vì vậy, điều tự nhiên là tôi bắt đầu dẫn đầu các vòng tròn. Nhưng đây là những câu lạc bộ vật lý, và ban đầu tôi không điều hành câu lạc bộ toán học mà do những người bạn Mekhmatian của tôi điều hành. Một trong số họ đang đi nghỉ và yêu cầu dạy thay anh ta hai lớp. Vì vậy, tôi dần dần dấn thân vào giới toán học, đến năm thứ 5 tôi trở nên xấc xược đến mức tổ chức một buổi hội thảo dành cho sinh viên năm thứ nhất Khoa Cơ và Toán. Và rồi tôi nhận ra một điều tuyệt vời, hoàn toàn mới đối với tôi. Mức độ hiểu biết lẫn nhau giữa giáo viên và học sinh trở nên hoàn toàn khác nhau khi giáo viên chấp nhận bài toán. Công việc mang tính hệ thống này, khi tôi cố gắng hiểu suy nghĩ của bạn và bạn cố gắng hiểu suy nghĩ của tôi, là một mức độ hiểu biết lẫn nhau hoàn toàn khác so với những gì xảy ra khi một giảng viên giảng bài. Và đặc biệt là bây giờ - từ xa… một người ngồi ở nhà có thể nghe giảng ở trường đại học… sẽ không có trình độ này. Không thể tránh khỏi nó trở nên hời hợt. Anh ta thậm chí không thể hỏi một câu hỏi. Tôi không phản đối việc học từ xa, nhưng bạn cần hiểu rằng không phải lúc nào nó cũng mang lại cho bạn thứ gì đó. Nếu không cần phải thâm nhập sâu, chẳng hạn như một bài giảng về chủ đề “Có sự sống trên sao Hỏa” thì điều đó hoàn toàn có thể xảy ra. Ở đây tôi đang uống cà phê, đồng thời nghe bài giảng “Có sự sống trên sao Hỏa không”, điều này là bình thường, điều này không tệ. Tuy nhiên, trong toán học thực tế không có trường hợp nào mà nhà toán học không có người giám sát. Và người lãnh đạo phải khá thông minh. Có một câu nói rất hay của Leonardo da Vinci: “Người học trò xấu mà không vượt qua được thầy mình”. Vladimir Igorevich Arnold cũng luôn nhấn mạnh điều này: rằng những người trẻ tuổi giải quyết bài toán tốt hơn chúng tôi, những người dạy họ. Nếu không sẽ không có tiến bộ. – Động lực dẫn đầu vòng tròn chính là suy nghĩ này: rằng chính sự giao tiếp giữa giáo viên và học sinh, khi bài toán đang được quyết định, thảo luận, điều đó rất quan trọng? - Đúng. Câu lạc bộ hoặc lớp học. Vì tò mò, tôi đã đến với vòng tròn của Andrei Leman và Andrei Leontovich. Đó là một vòng tròn rất mạnh mẽ, nhưng phải thừa nhận rằng có một số yếu tố hackwork. Chà, ví dụ: “Làm thế nào,” Lehman nói, “bạn không biết hình học giải tích à? Bây giờ tôi sẽ nói cho bạn biết. Đây là phương trình của một đường thẳng, đây là phương trình của một hình elip. Mọi thứ đã rõ ràng chưa?” Những thứ kia. một khóa học hàng năm - hoặc một khóa học sáu tháng - trong vài phút. – Đó có phải là vòng Alpha nổi tiếng không? – Không, đó là vòng tròn của Leman và Leontovich. Lúc này có rất nhiều học sinh xuất hiện; đây là những người sinh ra sau chiến tranh. Và xu hướng giảng dạy cho họ về các ngành toán học hiện đại đã nảy sinh. Và tôi nghĩ rằng, trên thực tế, những người mới bắt đầu không cần đến toán học hiện đại. Họ sẽ hiểu gì về toán học hiện đại khi họ không biết gì cả. Và khi các chàng trai hỏi tôi, những người trong nhóm Leman và Leontovich, liệu tôi có khuyên họ đi nghe một số bài giảng hay không, tôi nói: hãy để tôi tự đưa cho bạn bài toán, và bạn hãy thử. Và tôi bắt đầu cho họ bài toán, và đây là cách phiên bản đầu tiên của chương trình toán ở trường ra đời. Đây là vòng tròn Alpha. Chỉ có bốn hoặc năm học sinh làm việc ở đó. Vòng tròn Beta được hình thành mạnh mẽ hơn nhiều. Chúng tôi đã quyết định với Slava Tsutskov - nó rất mạnh mẽ

21

TOÁN HỌC

một cậu học sinh học vòng tròn với học sinh Arnold, sau đó vào khoa vật lý. – Vladimir Igorevich? - Đúng. Slava sau đó đã chết, đây là một câu chuyện bi thảm. Ông đã tổ chức một vòng tròn cho học sinh về cơ học lượng tử. Nhưng anh ấy không thể nói cho họ biết bất kỳ công cụ toán học nào, bởi vì họ không biết gì cả. Và sau đó chúng tôi quyết định tạo ra một vòng tròn như vậy để cung cấp cho họ bộ máy toán học mà họ có thể viết và hiểu tất cả các phương trình của điện động lực học và cơ học lượng tử. Đó là câu lạc bộ Beta. Và những người trong vòng Alpha là trợ lý. Vì có mục tiêu chắc chắn là họ sẽ học được điều gì đó nên chúng tôi phải đưa ra một chế độ phát xít. Kỷ luật giống như ở Gestapo. Một người chưa hoàn thành ít nhất một nhiệm vụ sẽ bị loại khỏi vòng kết nối. Nhưng anh ấy có thể đến nếu anh ấy hoàn thành nhiệm vụ. Bảy mươi người đã đi đến cuối cùng. Nhưng Tsutskov đã chết trên đường đi. Và tôi không thể tiếp tục nữa - tôi không có đủ kiến ​​​​thức trong đầu để dạy một lớp về cơ học lượng tử. Nhưng tôi đã mang chúng đến với điện động lực học. Vì vậy, trong số tất cả học sinh, có một người tiếp tục công việc mà vòng tròn này đã bắt đầu. Đây là Alexander Komech. Nhân tiện, Grigory Margulis bước ra từ vòng Alpha - anh ấy có huy chương Fields. – Anh ấy là một nhà toán học rất giỏi. - Đúng. Tất nhiên, anh ấy chủ yếu học không phải với tôi mà với bố anh ấy. Tôi cũng vậy, nhưng tôi không có tư cách đạo đức để coi anh ta là học trò của mình. – Ý tưởng về trường dạy toán ra đời như thế nào? – Ý tưởng này đến từ A.S. Kronrod. Tôi hiểu rằng tôi sẽ phải cắt giảm các hoạt động vòng tròn của mình. “Và anh ấy bắt đầu thuyết phục tôi: chúng ta hãy tham gia một lớp toán nhé?” - Đúng. Nếu," anh ấy nói, “bạn không đồng ý, thì tôi sẽ hủy thỏa thuận của mình và giảng một số bài ở đó…” Và thế là lớp đầu tiên diễn ra. - Vâng. Nhưng ngay cả trước lớp một, chỉ có một nhóm. Không có lớp mới, mà chỉ đơn giản là một nhóm trong lớp cũ trong đó một số lớp bổ sung được tiến hành cụ thể. - Sau đó, hệ thống tờ rơi xuất hiện, mà mọi người đang nói đến: Konstantinov có nghĩ ra hệ thống tờ rơi không? - Chà, tôi đã nghĩ ra hệ thống tờ rơi khi tôi có Alpha vòng tròn. Bởi vì nó là cần thiết cho tất cả các lớp để được bảo tồn. Nếu một người bỏ lỡ nó, để anh ta không bị mất bất cứ điều gì. Ý tưởng rất đơn giản và rõ ràng. Tờ rơi là một thứ hoàn toàn thực tế. Vào thời điểm này - tôi đã làm việc ở khoa vật lý được 5 năm - tôi đã có kinh nghiệm giảng dạy thực sự và tôi đã nhận ra rằng hệ thống giảng dạy hiện có ở Đại học Tổng hợp Moscow - các bài giảng và hội thảo - đang ở giới hạn khả năng của nó. Không có gì có thể được trích xuất từ ​​nó. Một người có 25 học sinh. Nếu tôi đã giao một số loại bài tập về nhà, thì điều tôi có thể làm nhiều nhất là đi qua các hàng và xem: mọi người có viết gì đó ra giấy không. Hoặc xem xét cẩn thận cách một người làm việc chẳng hạn. Tôi thậm chí còn tổ chức một hội thảo chuyên đề để kiểm tra những gì họ biết. Tôi đã mời bạn bè của tôi. Nhưng chương trình này không cung cấp điều này. Và trong vòng kết nối “Alpha”, bạn phải vượt qua mọi thứ bài toán - thật không đúng khi bạn kiểm tra từng phần mười bài toán và không quan tâm đến phần còn lại - à, giống như trong các kỳ thi: trong số 30 câu hỏi bạn biết một câu - và tạ ơn Chúa, đây là điểm A dành cho bạn. Buồn cười? Nhưng vì lý do nào đó nó không gây cười cho người khác. – Tức là, Ý tưởng quan trọng của hệ thống bảng tính là một người phải tự mình giải được rất nhiều bài toán chứ không chỉ đọc nội dung nào đó trong sách giáo khoa. - Đúng, anh ấy phải quyết định, và tôi phải chấp nhận. Rõ ràng đây không phải là cách duy nhất để giảng dạy. Tại sao phương pháp này hoạt động tốt trong phân tích? Bởi vì bài phân tích chứa rất ít tài liệu lý thuyết và rất nhiều bài tập. Trên thực tế, nếu bạn biết định nghĩa của pre-

THẾ GIỚI

kinh doanh, thì biển bài toán xa hơn, và không còn gì để đọc ngoại trừ việc kể lời giải những bài toán này. Không phải tất cả các đối tượng đều được thiết kế theo cách này. Đôi khi bạn cần xây dựng một loại kiến ​​trúc nào đó, chỉ sau đó bài toán mới xuất hiện. Và trong phân tích hầu như không có kiến ​​trúc này; trên thực tế, phần đầu tiên của phân tích chỉ bao gồm một định nghĩa duy nhất. Tất cả các thiết kế gần như giống nhau. Bạn cần phải nắm vững điều này. Khi bắt đầu giảng dạy ở khoa vật lý, tôi rất sốc khi không có ai giải thích cho tôi cách dạy. Hoàn toàn tự do. Làm bất cứ điều gì bạn muốn. Vâng, tôi hiểu rằng họ sẽ phải làm bài kiểm tra; một loại chương trình nào đó đã xuất hiện. - Vậy một trong những lý do khiến phương pháp phân tích được chọn là vì nó phù hợp… - Không, không phải vì nó phù hợp. Tôi nhìn - nó được viết trong chương trình: định nghĩa giới hạn là 6 giờ. Tôi nghĩ: thật là vớ vẩn. Không mất tới 6 giờ để hình thành một định nghĩa. Nhưng để làm chủ nó, điều này là chưa đủ. Đây là cách những chiếc lá xuất hiện. Bây giờ một số người nước ngoài đang hỏi tôi: bạn đã bắt đầu Giải đấu các thành phố vào năm 1980. Nhưng lúc đó không có email! Bạn đã làm việc như thế nào? - À, họ làm việc bằng thư thường. Không có cái điện tử, nhưng có cái thông thường. Lẽ ra tôi nên gửi trước bài toán, thế thôi. – Còn hệ thống tờ giấy, thời kỳ 1961-1962 chưa có máy in thì sao? - Vâng, không có máy in. Tôi đặt 17 bản sao giấy vào máy đánh chữ. - Hãy nói về Giải đấu của các Thành phố. Đây là một Thế vận hội đặc biệt. Ví dụ, trong một giải đấu, việc ghi điểm xảy ra ở ba trong số năm đến bảy vấn đề. Điều này phân biệt nó ngay lập tức với tất cả các kỳ Olympic. Chúng tôi không muốn người đó cố gắng quyết định mọi thứ, chúng tôi muốn anh ấy chọn những gì anh ấy thích. - Hoàn toàn đúng. Ví dụ, nhược điểm của Olympic Quốc tế là bạn phải là người có tính tổng quát, trong khi để trở thành nhà khoa học thì bạn không cần phải là người có tính tổng quát. Và một chuyên gia quốc tế phải là người ăn tạp. Nhưng điều này có nhiều khả năng đào tạo các nhà quản lý công ty hơn là các nhà toán học. – Ngoài ra, Giải đấu Thành phố là một Olympic cấp cao nhất nhưng bất kỳ ai cũng có thể tham gia. - Hoàn toàn đúng. – Chúng tôi cũng cố gắng đưa ra bài toán không chuẩn. – Vâng, tất nhiên, ý tưởng là chúng tôi đang cố gắng mang đến cho mọi người một điều gì đó mới mẻ mà rõ ràng là họ không thể chuẩn bị đặc biệt. Pavel Kozhevnikov nghi ngờ rằng người Mỹ đang cố tình chuẩn bị cho các nhiệm vụ thường diễn ra tại các kỳ Olympic quốc tế. Anh ấy nói rằng nếu bạn nhìn vào những Thế vận hội mà các chàng trai của chúng ta đã vượt qua và những Thế vận hội mà người Mỹ đã vượt qua, thì người Mỹ đến đó dễ dàng hơn nhiều. – Hãy cùng nhớ lại một số ví dụ về bài toán sáng trong Giải đấu Thành phố. – Tôi nghĩ rằng bài toán của Maxim Kontsevich về việc tái tạo chip là rất sáng sủa, nó đã được thảo luận nhiều lần:

Có sáu ô vuông được đánh dấu trên tờ giấy ca rô vô hạn (xem hình). Có chip trên một số hình vuông. Vị trí của các chip có thể được chuyển đổi theo quy tắc sau: nếu các ô liền kề trên cùng và liền kề bên phải của một chip nhất định đều trống thì một chip được đặt vào các ô này và chip cũ sẽ bị loại bỏ. Mục tiêu là giải phóng tất cả sáu ô được đánh dấu trong một số thao tác nhất định. Liệu có thể đạt được mục tiêu này nếu ở vị trí ban đầu a) chỉ có 6 chip và chúng nằm trên các ô được đánh dấu; b) chỉ có một con chip và nó nằm ở ô được đánh dấu phía dưới bên trái.

Có rất nhiều bài toán Agnis Anjans tươi sáng.

22

KVANT 2010/№1

– A bài toán Seryozha Markelova về đường song song:

Cho một cái hộp (hình chữ nhật có hình song song), trên bề mặt (nhưng không phải bên trong) có một con kiến ​​bò lên. Ban đầu con kiến ​​ngồi trong góc. Có đúng là trong số tất cả các điểm trên bề mặt, góc đối diện nằm ở vị trí xa con kiến ​​nhất? (Khoảng cách giữa các điểm, theo quan điểm của con kiến, là độ dài của đường đi ngắn nhất giữa các điểm này đi dọc theo bề mặt của hình bình hành.)

• Tuyệt vời, đúng vậy. Markelov có một vài trong số này bài toán. Đây là một bức ảnh đẹp khác của anh ấy bài toán:

Có 6 cây thông mọc bên bờ hồ tròn. Người ta biết rằng nếu lấy hai hình tam giác sao cho các đỉnh của một hình trùng với ba cây thông, các đỉnh của hình kia trùng với ba hình còn lại, thì ở giữa đoạn nối giao điểm các đường cao của các hình tam giác này, có một kho báu dưới đáy hồ. Điều duy nhất chưa biết là làm thế nào để chia sáu điểm này thành hai bộ ba. Bạn sẽ phải lặn xuống đáy hồ bao nhiêu lần để chắc chắn tìm được kho báu?

Ở dạng trình bày, nó có vẻ là một bài toán tổ hợp, nhưng thực tế nó là bài toán trong hình học. – Xuất sắc bài toán là về thủ thuật đánh bài. - Vâng, chắc chắn rồi:

a) Hai người thực hiện trò đánh bài. Người đầu tiên lấy năm lá bài ra khỏi bộ bài có 52 lá bài (trước đó được xáo trộn bởi một người nào đó trong khán giả), nhìn chúng rồi xếp chúng thành một hàng từ trái sang phải, đặt một trong các lá bài úp xuống và những lá bài còn lại ngửa lên. Người tham gia trò chơi thứ hai đoán lá bài úp xuống. Chứng minh rằng họ có thể đồng ý sao cho người thứ hai luôn đoán được lá bài. b) Bí quyết thứ hai khác với thủ thuật đầu tiên ở chỗ người tham gia đầu tiên đặt bốn lá bài từ trái sang phải, ngửa mặt và không chia một lá bài. Trong trường hợp này, những người tham gia trò lừa có thể đồng ý để người thứ hai luôn đoán được lá bài chưa chơi không?

bài toán này đáng chú ý ở chỗ nó được Martin Gardner xuất bản ở dạng yếu đi (điểm a), và Grisha Galperin đã nghĩ ra dạng tăng cường, rất tự nhiên (điểm b). Tất nhiên, mục đích chung là để bài toán sáng. - Xinh đẹp. Hoặc vì vậy mà họ không ngờ tới. Hoặc, như chúng ta đã thảo luận, sẽ rất tuyệt khi dạy cho học sinh bài toán, trong đó đáp số hiển nhiên tự gợi ý, nhưng nó không chính xác. – Rõ ràng, nhưng không chính xác, đúng vậy. Đây là bài toán về một đường ống song song. Hoặc bài toán về một bà già điên rồ (điều này không còn trong Giải đấu nữa), bây giờ các thành viên trong vòng kết nối của tôi đang rất phấn khích:

Mỗi người trong số N hành khách mua một vé máy bay có N chỗ ngồi. Bà già điên khùng bước vào trước và ngồi xuống một chỗ ngẫu nhiên. Hơn nữa, mỗi người mới tham gia sẽ thay thế vị trí của mình, nếu nó miễn phí; nếu không thì nó sẽ ngẫu nhiên. Xác suất để hành khách cuối cùng ngồi vào chỗ của mình là bao nhiêu?

– Vâng, có một điều bất ngờ là đáp số. Hãy để độc giả của chúng tôi giải quyết những bài toán này. - Bài toán về những người leo núi - một trong những người Mỹ đến với chúng tôi đã ghi nó vào cuốn sách của mình là bài toán một tác phẩm kinh điển, không rõ tác giả. Tôi nói rằng tôi có vẻ là tác giả…

Có một ngọn núi ở giữa thảo nguyên bằng phẳng. Có hai đường dẫn lên đỉnh (chúng tôi coi chúng là đồ thị của các hàm liên tục), không đi dưới mức thảo nguyên. Hai người leo núi đồng thời bắt đầu cuộc leo núi (dọc theo những con đường khác nhau), quan sát điều kiện: tại mỗi thời điểm phải ở cùng một độ cao. Liệu người leo núi có thể lên đến đỉnh bằng cách di chuyển liên tục nếu a) những con đường mòn có số lượng đường lên và xuống hữu hạn; b) nói chung?

– Có phải nó chỉ đơn giản phát sinh từ việc phân tích?

– Không, nó nảy sinh từ việc nghiên cứu cấu trúc liên kết của tôi. Nó phần lớn thay thế định lý Jordan. Tôi hiểu điều này cho một đa giác. Tôi và các bạn đã đưa ra định lý về ảnh liên tục của một đường tròn. - Rằng nó chia mặt phẳng thành hai phần? – Chính xác là hai, không phải ba và không hơn. Việc phân chia thì dễ dàng hơn, nhưng việc phân chia chính xác thành hai thì khó hơn. Nói chung, đây là định lý Jordan. Chà, tôi nghĩ rằng mọi chuyện sẽ ổn thôi, vì có vẻ như những người leo núi là thứ mạnh mẽ hơn. – Và bài toán nổi tiếng này của bạn về xe đẩy cũng nảy sinh từ việc phân tích:

Hai con đường không giao nhau dẫn từ thành phố A đến thành phố B. Được biết, hai ô tô đi dọc theo những con đường khác nhau từ A đến B và được nối với nhau bằng một sợi dây có chiều dài nhỏ hơn 2l đã có thể đi từ A đến B mà không bị đứt dây. Hai xe tròn bán kính l, có tâm chuyển động hướng về nhau dọc theo những con đường này, có thể đi qua mà không chạm vào nhau không?

– bài toán này cũng tương tự như vậy. Bài toán về xe đẩy thường những người mới bắt đầu không thể đánh giá được, vì họ rất nhanh mắc sai lầm lời giải và hãy bình tĩnh. Và Arnold thích nó… Tại sao bài toán về xe đẩy lại trở nên nổi tiếng thế giới? Cảm ơn cuốn sách của Arnold. – Vâng, nó có trong sách giáo khoa về phương trình vi phân của anh ấy. “Cô ấy không chỉ ở đó, cô ấy là người đầu tiên đến đó.” Nó bắt đầu với cô ấy. Và với họ của tôi. Nhưng anh ấy đã giải quyết nó bằng cách sử dụng định lý Jordan. Nhưng tôi có ý tưởng rằng nó hoạt động tốt thay vì định lý Jordan. Nó phá vỡ chỗ mà định lý Jordan thất bại. – Những người bạn ở nước ngoài của chúng tôi cảm thấy thế nào về Giải đấu các Thành phố, tại sao họ lại tham gia? – Họ chủ yếu coi trọng bài toán. – Một chủ đề riêng biệt khác là giải đấu Lomonosov mà bạn đã nhận được giải thưởng trong năm nay. Đây là một sự kiện hoàn toàn độc đáo. Đồng thời, các cuộc thi được tổ chức ở nhiều môn học, ở các lớp học khác nhau: có toán, có vật lý, có văn. – Nó khác với Trí tuệ Marathon ở chỗ việc tham gia tất cả các cuộc thi là không bắt buộc. Trong cuộc đua marathon có ý tưởng mặc định là chúng ta cần những con người đa năng. Nhưng ở giải Lomonosov lại không có ý tưởng này. Chính xác thì tại sao chúng ta cần những con người đa năng? Chúng tôi cần những người có thể làm điều gì đó cực kỳ thú vị theo một cách nào đó. Ước mơ là có những người, chúng tôi thu hút họ, họ quan tâm đến điều gì đó và bắt đầu học hỏi. Ý tưởng là thúc đẩy mọi người hướng tới việc tự học một cách nghiêm túc - thông qua các câu lạc bộ hoặc cách khác. Và lý do tại sao chúng ta cần một người có tính phổ quát là không cần thiết chút nào nếu anh ta quan tâm đến vật lý chẳng hạn - à, cảm ơn Chúa. Ý tưởng cho rằng bằng cách nào đó cần phải chọn ra và khen thưởng một cách riêng biệt những người đã bằng cách nào đó đã chứng tỏ được bản thân trong nhiều môn học - tôi không hiểu ý nghĩa của việc này. – Một người khi lớn lên sẽ phát triển, và một người đơn giản là mạnh mẽ và có năng lực thì có thể hiểu được mọi thứ khi còn nhỏ, trong khi không quá phức tạp bài toán. Nhưng một người bằng cách nào đó phải tìm thấy chính mình. “Điều gắn bó với anh ấy là của riêng anh ấy, điều khiến anh ấy khác biệt với những người khác.” Đây là điều Einstein đã nói: thuyết tương đối đặc biệt sẽ được phát minh ra nếu không có tôi, không chỉ một mà còn cả một lý thuyết khác. Nhưng đối với thuyết tương đối rộng, tôi nghi ngờ rằng Chúa đã đặc biệt gửi tôi đến Trái đất để tôi có thể nghĩ ra điều đó. Có lẽ không ai khác có thể nghĩ ra nó. Đây là quê hương của anh ấy, đó là đặc điểm của anh ấy. Vì vậy, đối với tôi, có vẻ như cần phải chấp thuận nếu một người quan tâm đến cả hai và thứ ba, nhưng không cần thiết phải trau dồi điều này.

23

TOÁN HỌC

– Tại giải đấu Lomonosov, một người không quan tâm đến bất kỳ môn học nào ở trường có thể thấy rằng môn học này có thể rất thú vị. – Và để làm được điều này, bạn cần có khán giả ở gần. – Các cuộc thi nhỏ, bạn có thể ngồi đây một tiếng rồi đi chỗ kia… – Vì vậy, điều rất quan trọng là ban tổ chức phải gồm những người cùng chí hướng, để không xảy ra chuyện ai cũng tự kéo mình. – Bạn cảm thấy thế nào về kỳ thi Thống Nhất? – Tôi cho rằng Kỳ thi Thống nhất là một ý kiến ​​hết sức tai hại; Rõ ràng là mọi người sẽ không nghĩ về bất cứ điều gì mà chỉ biết cách chuẩn bị để trả lời các câu hỏi một cách chính xác. Một số kiểu bướng bỉnh cao hơn nói lên sự ủng hộ của Kỳ thi Thống nhất. Tôi khá lạc quan ở đây. Năm 1943, Stalin nảy ra ý tưởng tách nam và nữ trong trường học. Việc này kéo dài mười năm. Năm 1953, ngay sau khi Stalin qua đời, việc này ngay lập tức bị hủy bỏ. – Tức là, Đây không phải là chuyện đương nhiên, đây là ý thích của một số người, và có lẽ nó sẽ qua thôi. - Đó là ý thích thôi. Có thể nó liên quan đến tiền - ai đó đang kiếm được thứ gì đó ở đó, nhưng ít nhất đó là ý thích bất chợt. – Tôi muốn hỏi về toán học và vật lý. Đôi khi họ phản đối, có người nói - không, toán học là một phần của vật lý, có người nói rằng nó chỉ là một công cụ cho vật lý. Là một người biết cả toán và vật lý, ông có thể nói gì về điều này? – Thứ nhất, tôi không biết vật lý. Tôi cũng không biết toán. Tất nhiên là tôi đã đề cập một chút đến cả hai. Tất nhiên là chúng khác nhau. Ví dụ, có nguyên lý Huygens-Fresnel, đó là cách tính toán hình ảnh giao thoa. Việc có hai cái tên, và một trong số đó là Huygens, cho thấy ông xuất hiện vào thế kỷ 17. Nó vẫn chưa được chứng minh, nhưng không ai quan tâm. Bây giờ, nếu một con chó xác định sự thật bằng mũi của nó, thì một người - nhiều hơn là nhờ sự trợ giúp của mắt, thì các nhà toán học và vật lý học - họ nhận thức bằng các cơ quan khác nhau. Các nhà toán học tin rằng mọi thứ đều phải được chứng minh. Các nhà vật lý tin rằng cần phải tìm ra lời giải thích cho hiện tượng này. Đối với họ, hiện tượng được quan sát là vị trí bắt đầu. Chúng ta cần tìm lời giải thích cho anh ấy. Ví dụ, hiện tượng siêu chảy helium được Landau mô tả bằng toán học. Đây được coi là thành tựu lớn của anh. Nhưng đây chỉ là tính toán gần đúng và không có ước tính sai số. Tuy nhiên, các nhà vật lý tin rằng giờ đây họ đã hiểu tại sao điều này lại xảy ra. – Nhưng mặt khác, các nhà toán học cũng muốn tìm hiểu một số hiện tượng, một số định lý, tình huống. Họ không chỉ tung hứng các công thức. - Chắc chắn. Nhưng một phần là vậy. Chà, chẳng hạn, nhiều hệ quả của tiên đề lựa chọn - tôi biết các nhà vật lý nói rằng đây là những ảo ảnh toán học. Tất nhiên, đây là hệ quả logic của những tiên đề mà họ đã chấp nhận, nhưng nó không liên quan gì đến thực tế thực tế. Những ảo ảnh toán học, hậu quả của những tiên đề được phát minh không thành công. Và bây giờ các nhà toán học đang phát triển ý tưởng rằng họ cần giới hạn bản thân trong những tiên đề lựa chọn có thể đếm được, và khi đó nhiều bóng ma sẽ biến mất. Ví dụ, các tập hợp không thể đo lường được sẽ biến mất. Vâng, ai biết được. Pavel Sergeevich Alexandrov cho rằng đây là một thực tế toán học. Điều thực tế là những hệ quả như vậy có được từ những tiên đề này. Đây là một thực tế toán học, nhưng không phải là có một loại thực tế vật lý nào đó đằng sau nó. Vật lý hoạt động như thế nào? Cô ấy tạo ra một mô hình toán học. Điều cũng xảy ra là trước tiên tồn tại một mô hình bằng lời nói, tức là một số cuộc trò chuyện bằng lời nói về cách hiện tượng xảy ra. Nhưng đây vẫn chưa phải là một mô hình toán học. Sau đó, một mô hình toán học được tạo ra, bao gồm nhiều thứ từ toán học. Ví dụ, động học. Như trên.

THẾ GIỚI

Mỗi điểm được giả sử có một tọa độ. Khoảng cách luôn có thể được chia đôi. Và trong vật lý thực tế, khoảng cách càng nhỏ thì việc chia nó làm đôi càng khó khăn và điều này trở nên hoàn toàn phi thực tế khi chúng ta không có cách nào để đo được khoảng cách nhỏ như vậy. Nhưng tất nhiên, với sự trợ giúp của các mô hình, sự hiểu biết vẫn diễn ra. Đây hoàn toàn là một điều bí ẩn, không ai ở đây hiểu chuyện gì đang thực sự xảy ra, nhưng tôi hoàn toàn thích câu nói của Spinoza về mặt cảm xúc. Ông nói: “Tự do đạt được nhờ kiến ​​thức, và kiến ​​thức đạt được nhờ sự thống nhất tinh thần với thiên nhiên”. Nhưng ông đã đồng nhất từ ​​“tự nhiên” với từ “thần”. Trong sự kết hợp tâm linh với Thiên Chúa. Tôi nghĩ lẽ thật này khá đúng và sâu sắc. Ví dụ, Faraday. Tại sao anh ta biết rằng có sự chuyển đổi từ từ trường sang điện trường? Không có ai đang xem. Tại sao hắn lại biết mình tồn tại? Tôi hiểu đây là kết quả của sự thống nhất tinh thần với thiên nhiên. - Làm thế nào bạn có thể nghe thấy âm nhạc của các thiên thần? - À, đại loại thế. Anh ta đã thực hiện một số khám phá lớn, anh ta có một trực giác được rèn luyện tốt, và do đó anh ta có thể, giống như một vị thần, nhìn thẳng vào sự thật, không phải thông qua lý luận thông minh mà một cách trực tiếp. – Chúng ta từng thảo luận rằng tầm nhìn trực tiếp về sự thật quan trọng hơn khả năng chứng minh các định lý. - Ừ, tất nhiên rồi. – Nhân tiện, đây cũng là một câu hỏi thú vị. Ví dụ, sự nghiêm túc về toán học ở trường quan trọng như thế nào khi học tập. Nếu bạn chứng minh mọi thứ một cách nghiêm túc thì có thể… - Tôi nghĩ ở đây có sự thỏa hiệp. Nếu ở chỗ nào đó tôi đề cập đến điều hiển nhiên, có lẽ tôi thậm chí còn không đề cập đến nó mà giữ im lặng - im lặng, nhận ra rằng học sinh sẽ coi đó là điều gì đó tự nhiên và không gây phản đối - thì điều này có thể là trung thực, hoặc có thể là không trung thực. Trung thực - nếu tôi có thể, mà không phá hủy cấu trúc này, hãy thêm sự cân nhắc chính xác và không trung thực - nếu tôi cần phá hủy cấu trúc này để làm cho nó chính xác. Ví dụ: tôi muốn chứng minh rằng tập hợp các điểm trên một đoạn là không đếm được. Giả sử nó đếm được. Chúng tôi lấy một đoạn có độ dài bằng một, đánh số lại các điểm này và bao phủ các điểm bằng các khoảng - điểm đầu tiên có khoảng độ dài một phần mười, điểm thứ hai có độ dài một phần trăm, v.v. Hóa ra là chúng ta đã bao phủ tất cả các điểm của một đoạn có độ dài bằng một khoảng, tổng độ dài của nó chắc chắn không quá một phần chín. Đây là một lý do rất rõ ràng. Đối với người mới bắt đầu, nó cực kỳ hấp dẫn, ngay cả khi nó không quá khắt khe. Chúng ta cũng phải chứng minh rằng tổng độ dài của các khoảng này bao phủ đoạn đó phải lớn hơn độ dài của chính đoạn đó. Nhưng sự thiếu chính xác này là trung thực vì nó có thể được chứng minh. Bạn có thể chứng minh định lý này một cách riêng biệt trong một bài học và mọi thứ sẽ ổn. Sẽ là chơi không công bằng nếu bạn đề cập đến điều hiển nhiên, nhưng bạn không thể thay thế nó bằng lý do chính xác. Vì vậy, sách giáo khoa của Kiselev đã thành công. Ví dụ, ở đó, sự tồn tại của đường vuông góc được chứng minh bằng cách uốn một tờ giấy. – Trực quan, dễ hiểu, hiển nhiên đối với mọi người. - Đúng. Và sau này vẫn có bằng chứng xác thực. – Về mặt này, tôi rất ngạc nhiên, chẳng hạn như trong sách giáo khoa hình học của Pogorelov - không có tiên đề nào tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba. Điều này đã được chứng minh từ một số tiên đề khác, mặc dù đối với tôi đó là một tiên đề rõ ràng và đơn giản hơn - rằng một đoạn là khoảng cách ngắn nhất. – Và cách tiếp cận với tiên đề khoảng cách ngắn nhất là thành công về mặt sư phạm, bởi vì dường như mọi người đều biết trước rằng điều này là như vậy. Các câu hỏi được đặt ra bởi S. Dorichenko