Dây mạng

28

KVANT 2010/№4

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi đang bắt đầu một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Lời giải bài toán phải được gửi trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này tới địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» hoặc qua email: math@kvant.info (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ điền tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ theo cá nhân học sinh, mà còn bởi các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu những người đứng đầu vòng tròn cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ. Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

1. Có 10 số tự nhiên khác nhau, không có số nào là bình phương của một số nguyên, có tính chất: a) Tích của hai số bất kỳ trong số đó là bình phương của một số nguyên; b) Tích của ba số bất kỳ là bình phương của một số nguyên? S. Dorichenko

2. Hình dạng tổ ong là sự kết hợp của ba hình lục giác đều bằng nhau. Cắt hình này thành ba phần bằng nhau và gấp chúng thành một hình lục giác đều. N. Avilov

3. Họa sĩ tắc kè hoa di chuyển trên bàn cờ như một quân cờ bình thường. Khi ở ô tiếp theo, anh ta sơn lại ô đó theo màu của nó hoặc sơn lại ô đó bằng màu của chính mình. Một họa sĩ tắc kè hoa màu trắng được đặt trên một tấm bảng đen có kích thước $8 \times 8$ ô. Bé có thể tô màu nó theo hình bàn cờ không? Văn hóa dân gian

4. Trong tam giác vuông, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với một trong các đường giữa. Chứng minh rằng độ dài các cạnh của tam giác này tỉ lệ 3:4:5. R.Gardin

5. Trong một số là lũy thừa tự nhiên của hai, các chữ số đã được sắp xếp lại. Số kết quả có thể là lũy thừa tự nhiên lớn hơn của hai không? Văn hóa dân gian

Dây mạng

D.BAGROV

MỌI NGƯỜI CÓ THỂ DỄ DÀNG BỎ MỘT MẠNG TREO giữa cành cây hoặc dưới trần nhà ở góc xa của căn phòng. Nhưng ít người biết rằng nếu tấm lưới có đường kính 1 mm thì có thể chịu được tải trọng xấp xỉ 200 kg. Dây thép có cùng đường kính có thể chịu được lực nhỏ hơn đáng kể: 30–100 kg, tùy thuộc vào loại thép. Tại sao web lại có những đặc tính đặc biệt như vậy? Một số con nhện quay tới bảy loại sợi, mỗi loại có mục đích riêng. Sợi chỉ có thể được sử dụng không chỉ để bắt con mồi mà còn để xây kén và nhảy dù (bằng cách cất cánh theo chiều gió, nhện có thể thoát khỏi mối đe dọa bất ngờ và nhện non lây lan sang các lãnh thổ mới theo cách này). Mỗi loại web được tạo ra bởi các tuyến đặc biệt. Lưới dùng để bắt con mồi bao gồm một số loại sợi (hình1): khung, xuyên tâm, bắt và phụ trợ. Mối quan tâm lớn nhất của các nhà khoa học là sợi thân thịt: nó vừa có độ bền cao vừa có độ đàn hồi cao - chính sự kết hợp các đặc tính này là độc nhất. Độ bền kéo tối đa của sợi khung của loài nhện Araneus diadematus là 1,1–2,7 GPa. Để so sánh: giới hạn

29

ĐẾN

Hình1. Các luồng khác nhau trên web: luồng khung là luồng mạnh nhất, nó giữ toàn bộ trang web lại với nhau; sợi xuyên tâm mỏng và không dính, nó hỗ trợ sợi bắt dính; xoắn ốc phụ trợ giúp định vị sợi bắt

độ bền của thép là 0,4–1,5 GPa, tóc người $\sim 0,25$ GPa. Đồng thời, sợi khung có thể giãn ra 30–35% và hầu hết các kim loại có thể chịu được biến dạng không quá 10–20%. Hãy tưởng tượng một con côn trùng đang bay va vào một tấm mạng căng. Trong trường hợp này, sợi tơ phải căng ra để động năng của côn trùng bay chuyển thành nhiệt. Nếu mạng lưu trữ năng lượng nhận được dưới dạng năng lượng biến dạng đàn hồi thì côn trùng sẽ bật ra khỏi mạng giống như bật ra khỏi tấm bạt lò xo. Một đặc tính quan trọng của mạng nhện là chúng tạo ra một lượng nhiệt rất lớn khi bị kéo căng rồi co lại nhanh chóng: năng lượng giải phóng trên một đơn vị thể tích lớn hơn 150 MJ $м^{3}$ (thép phóng ra $\sim 6$ MJ $м^{3} ).$ Điều này cho phép mạng tiêu tán năng lượng va chạm một cách hiệu quả và không giãn quá nhiều khi nạn nhân bị vướng vào đó. Mạng nhện hoặc polyme có đặc tính tương tự, có thể trở thành vật liệu lý tưởng để chế tạo áo giáp hạng nhẹ. Trong y học dân gian, có Một công thức như vậy: để cầm máu, bạn có thể dùng mạng nhện, cẩn thận loại bỏ côn trùng và cành cây nhỏ mắc kẹt trong đó. Hóa ra mạng nhện có tác dụng cầm máu và đẩy nhanh quá trình chữa lành vùng da bị tổn thương. Chúng ta đã quen với thực tế là các phân tử là những vật thể cực kỳ nhỏ. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng: các polyme có các phân tử dài bao gồm các đơn vị giống hệt nhau hoặc tương tự nhau phổ biến xung quanh chúng ta.

M

Sh

Ví dụ: khối lượng của một phân tử DNA ở người vào khoảng $1,9 \cdot 10^{12}$ amu. (tuy nhiên, con số này gấp khoảng một trăm tỷ lần so với khối lượng của một phân tử nước), chiều dài của mỗi phân tử là vài cm và tổng chiều dài của tất cả các phân tử DNA của con người đạt tới $10^{11}$ km. Lớp polyme tự nhiên quan trọng nhất là protein; chúng bao gồm các đơn vị gọi là axit amin. Các protein khác nhau thực hiện các chức năng cực kỳ khác nhau trong các sinh vật sống: chúng kiểm soát các phản ứng hóa học, được sử dụng làm vật liệu xây dựng, để bảo vệ, v.v. Sợi chỉ của mạng bao gồm hai protein, được gọi là spidroin 1 và 2 (từ loài nhện Anh). Spidroin là những phân tử dài có khối lượng từ 120.000 đến 720.000 amu. Trình tự axit amin của spidroin có thể khác nhau giữa các loài nhện, nhưng tất cả các spidroin đều có những đặc điểm chung. Nếu bạn tưởng tượng kéo dài một phân tử spidroin dài theo một đường thẳng và nhìn vào trình tự các axit amin, thì hóa ra nó bao gồm các phần lặp lại tương tự nhau (hình2). Hai loại vùng xen kẽ nhau trong phân tử: tương đối ưa nước (những vùng có lợi thế về mặt năng lượng khi tiếp xúc với các phân tử nước) và tương đối kỵ nước (những vùng tránh tiếp xúc với nước). Ở phần cuối của mỗi phân tử có hai vùng ưa nước không lặp lại và vùng kỵ nước bao gồm nhiều đoạn lặp lại của một axit amin gọi là alanine. Một phân tử dài (ví dụ, protein, DNA, polyme tổng hợp) có thể được coi như một sợi dây nhàu nát, rối rắm. Việc kéo dài nó không khó vì các vòng bên trong phân tử có thể duỗi thẳng ra mà không cần tốn nhiều công sức. Một số polyme (chẳng hạn như cao su) có thể kéo dài tới 500% chiều dài ban đầu của chúng. Vì vậy khả năng mạng nhện (một vật liệu được tạo thành từ các phân tử dài) biến dạng hơn kim loại là không có gì đáng ngạc nhiên. Sức mạnh của web đến từ đâu? Để hiểu được điều này, điều quan trọng là phải theo dõi quá trình hình thành sợi chỉ. Bên trong tuyến nhện, spidroin tích tụ dưới dạng dung dịch đậm đặc. Khi hình thành sợi, dung dịch này thoát ra khỏi tuyến qua một kênh hẹp, điều này giúp kéo căng các phân tử và định hướng chúng theo hướng bị kéo căng, đồng thời những thay đổi hóa học tương ứng khiến các phân tử dính lại với nhau. Các mảnh phân tử bao gồm alanine liên kết với nhau và tạo thành một cấu trúc có trật tự tương tự như

Hình2. Phân tử Spidroin và mô hình vị trí của nó trong sợi