Bài toán 11—15

28

KVANT 2010/№6

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo ở môn lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Lời giải bài toán phải được gửi trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này tới địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» hoặc qua email: math@kvant.info (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ điền tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ theo cá nhân học sinh, mà còn bởi các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu những người đứng đầu vòng tròn cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ. Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

11. Đồng hồ để bàn với kim giờ và kim phút có hình khối lập phương với mặt số tròn ở giữa một trong các mặt. Không có con số nào trên đồng hồ hoặc bất kỳ dấu hiệu nào để cho biết nó đang hướng lên nào. Vì vậy, bạn có thể vô tình đặt chúng nằm nghiêng hoặc thậm chí lộn ngược. a) Đồng hồ chỉ lúc hình lúc mấy giờ? b) Có ít nhất một thời điểm trong ngày mà không thể xác định được đồng hồ này chỉ mấy giờ? N.Strelkova

12. Có 10 thùng nước xếp thành một vòng tròn. Đầu tiên, một nửa lượng nước từ thùng thứ nhất đổ sang thùng thứ hai, sau đó 1/3 lượng nước từ thùng thứ hai đổ vào thùng thứ ba, rồi 1/4 lượng nước từ thùng thứ ba sang thùng thứ tư…, sau đó 1/10 nước từ thùng thứ chín được đổ vào thùng thứ mười và cuối cùng, nước từ thùng thứ mười được đổ vào thùng thứ nhất đến mức ban đầu. Liệu mỗi thùng có thể chứa cùng một lượng nước như lúc đầu không? G. Galperin

13. Cho N là một số tự nhiên. Những tam giác có độ dài các cạnh nguyên nào lớn hơn?

chúng có độ dài cạnh không nhỏ hơn 1 và không lớn hơn N + 3, hoặc tất cả những cái có thể có, có độ dài cạnh không nhỏ hơn 1 và không lớn hơn N? A. Evnin

14. 60 em xếp thành từng cặp vào bảo tàng. Họ đi dọc theo lối qua đường dành cho người đi bộ trong một đám đông, và sau đó họ lại xếp hàng theo cặp (nhưng một số cặp có thể khác nhau). Chứng minh rằng trong bảo tàng có thể chia trẻ em thành ba nhóm bằng nhau sao cho những trẻ trong một nhóm không bao giờ ở cùng một cặp. I. Bogdanov

15. Góc C ở đỉnh của tam giác cân ABC bằng $120^{o}$. Từ đỉnh C, hai tia sáng đi vào tam giác, tia phản xạ từ đáy AB tại các điểm M và N (theo định luật “góc tới bằng góc phản xạ”), lần lượt chạm vào cạnh AC tại điểm P và cạnh BC tại điểm Q. Biết rằng AP = CQ. Cho đoạn PQ cắt CM tại điểm X, CN tại điểm Y. Chứng minh rằng các tam giác PMX, XCY và QNY bằng nhau. V.Proizvolov

Giải đấu mùa hè mang tên A.P. Savin

Khi mùa hè bắt đầu, học sinh đi nghỉ. Nhưng đối với một số chàng trai, một kỳ nghỉ thú vị là lời giải môn toán bài toán. Và còn được giao lưu với những người có cùng niềm đam mê toán học. Hàng năm vào cuối tháng 6 có tổ chức giải đấu toán học để tưởng nhớ A.P. Savina. Năm 2010 nó diễn ra lần thứ 16. Như trước đây, nó diễn ra trên bờ hồ đẹp như tranh vẽ, tại trung tâm giải trí Berendeyev Polyany gần Sudislavl (vùng Kostroma). 38 đội đến từ Moscow, St. Petersburg, Kostroma, Tambov, Chernogolovka, Kharkov và Kyiv đã tham gia cuộc thi. Người khởi xướng giải đấu là Grigory Vyacheslavovich Kondkov và chương trình giáo dục “Thay đổi lớn”. Ngày đầu tiên của giải đấu đã diễn ra trò chơi “Bàn tính toán học”.

Đây là một cuộc thi thú vị, trong đó trẻ em phải lựa chọn bài toán cả về độ khó và theo chủ đề. Ví dụ, học sinh lớp bảy được giao các bài tập về logic và lý thuyết số, số học và đại số, cũng như các bài tập được kết hợp thành một nhóm có cái tên mơ hồ “Số”. Đội chiến thắng sẽ là đội giành vị trí đầu tiên. Trong số 6 lớp, đây là đội thuộc vòng tròn «Kvant» (Moscow). Trong số các học sinh lớp bảy có đội một của nhà thi đấu 1514 (Moscow). Đội trường 82 đến từ Chernogolovka (vùng Moscow) đã trở thành đội đứng đầu ở 8 lớp. Đội “A” TsO 218 (Moscow) đứng nhất trong 9 lớp. Ngày hôm sau, các đội từ lớp 6–8 tham gia thi đấu đồng đội, dựa vào kết quả sẽ được chia thành các liên đoàn. Và các em lớp 9 đã bắt đầu chiến đấu: 6 đội thành lập một liên đoàn riêng và thi đấu vòng tròn một lượt trong 5 ngày

29

ĐẾN

giải đấu. Các đội từ lớp 6–8 được chia thành các nhóm nhỏ của các giải lớp 6, lớp 7, lớp 8 và một giải hỗn hợp các lớp 7–8. Một giải đấu toán học không chỉ là giải quyết các vấn đề. Mỗi buổi tối, các nhóm trẻ và nhóm trưởng tập trung gần tờ giấy ghi kết quả của vòng tiếp theo, thảo luận hồi lâu về kết quả và cố gắng đưa ra dự đoán cho vòng tiếp theo. Nhưng chúng ta phải thừa nhận rằng ở hầu hết các nhóm giải đấu, mưu đồ đã không thành công: các đội xếp hàng theo thứ tự sao cho đội có kết quả cao hơn đánh bại đội có kết quả thấp hơn. Năm lớp 9 thật khó để đưa ra dự đoán: ở đây ba đội đã kiên trì đánh bại ba đội còn lại. Mọi thứ đang hướng tới việc ba đội đầu tiên sẽ đánh nhau theo vòng tròn, và điều tương tự cũng xảy ra với ba đội còn lại. Các đội sẽ không được phân bổ ở các nơi? Mọi người đang chờ đợi vòng cuối cùng. Kết quả là một trận “hòa” bất ngờ đã xác định vị trí thứ 3 và thứ 4, đồng thời vị trí thứ 1 và thứ 2 được xác định bằng cuộc gặp gỡ cá nhân giữa các đội. Ở giải lớp 6, đội xuất sắc nhất là nhà thi đấu Moscow 1514, giành chiến thắng trong trận chung kết với các học sinh lớp 6 của trường 179. Nhưng học sinh lớp 7 của trường 179 đã giành vị trí đầu tiên, đánh bại đội vô địch năm ngoái - đội của câu lạc bộ “Fractal” đến từ St. Petersburg. Vị trí đầu tiên của giải lớp 8 thuộc về đội tuyển quốc gia A.V. Vòng tròn Spivak, trong đó chỉ có một học sinh lớp 8 chơi và những người chơi còn lại là học sinh lớp bảy. Nhờ đấu tranh bền bỉ ở giải lớp 9, đội T.P. Vòng tròn của Zorina với cái tên “Moscow-South” trở thành vòng tròn tốt nhất. Lưu ý rằng đội này không chỉ vô địch hai giải đấu mùa hè - vào mùa thu năm 2009, họ đã đoạt cúp ở giải Kostroma Open 8–9. Danh sách tất cả những người chiến thắng giải đấu được trình bày ở trang 30. Trong một ngày của giải đấu, các chàng trai sẽ được nghỉ thi đấu toán học. Vào thời điểm này, có một kỳ thi Olympic cá nhân, hay nói đúng hơn là có tới bốn kỳ thi (cho mỗi lớp 6, 7, 8 và 9 tương đương). Trong số học sinh lớp sáu, xuất sắc nhất là Stepan Petrov đến từ St. Petersburg (trường 30) và học sinh lớp năm Daria Nikolaeva (trường 464, Moscow). Kết quả của Yulia Zaitseva (trường 179, Moscow) trong kỳ thi Olympic lớp 7 đã được trao giải “grand prix”, và hai người bạn cùng lớp của cô là Illarion Dmitriev và Sasha Vatuzov, cũng như Andrei Zertsalov từ Trung tâm Giáo dục Trung ương 218 ở Moscow, đã nhận được bằng tốt nghiệp đầu tiên. Nhưng tấm bằng mà học sinh lớp bảy kiếm được không chỉ dừng lại ở đó - Andrei Volgin (lớp 7, nhà thi đấu 1543, Moscow) đã trở thành một trong những học sinh giỏi nhất Olympic lớp 8. Bằng cấp một cũng được nhận bởi hai cư dân Kiev là Nikita Shcheglov và Danil Khilko (cả hai đều đến từ Lyceum 208) và Muscovite Vanya Zverev (trường 853, Moscow). Các đội của Kyiv Lyceum 208 lần đầu tiên đến tham dự giải đấu đã giành được một bằng tốt nghiệp cấp 1 khác - nó đã được Maxim Chaudhary nhận trong kỳ thi Olympic lớp 9. Cùng với đó là kết quả

Đội tuyển quốc gia A.V. vòng tròn Spivak

M

Sh

Trận chiến toán học được thể hiện bởi Sasha Korochkin (nhà thi đấu 1514, Moscow) và Lev Sinykov (trường 350, Moscow). Những người có bằng cấp II gồm: Tatyana Zaitseva (lớp 6, trường 179, Moscow), Mikhail Ipatov (lớp 6, nhà thi đấu 1, Kostroma), Samuil Vilensky (lớp 6, trường 57, Moscow), Georgy Ionitsa (lớp 7, nhà thi đấu 1543, Moscow), Ivan Petrenko (lớp 7, lyceum 17, Kostroma), Daria Lebedeva (thứ 7) lớp, lyceum 533, St. Petersburg), Dmitry Lukashevich (lớp 7, nhà thi đấu 28, Kostroma), Alisa Chistopolskaya (lớp 7, nhà thi đấu 1543, Moscow), Victoria Belugina (lớp 7, lyceum 533, St. Petersburg), Sergey Gudkov (lớp 8, nhà thi đấu 1514, Moscow), Raiko Arseny (lớp 8, trường 179, Moscow), Anton Zuev (lớp 8, trường 179, Moscow), Petr Melnichenko (lớp 8, trường 315, Moscow), Mukin Taras (lớp 8, lyceum 14, Tambov), Knyazeva Alisa (lớp 8, FML 27, Kharkov), Petr Kulakov (lớp 8, trường 82, Chernogolovka), Evgeniy Lyubchik (lớp 8, UVK 45 AG, Kharkov), Marina Khachaturyan (lớp 8, nhà thi đấu 1543, Moscow), Igor Nikitin (lớp 8, nhà thi đấu 1543, Moscow), Elena Kharitonova (lớp 8, lyceum 208, Kyiv), Oleg Zaslavsky (lớp 8, nhà thi đấu 1543, Moscow), Alexander Sitkin (lớp 8, trường 179, Moscow), Sergey Menshov (lớp 9, lyceum 20, Mezhdurechensk), Andrey Efimov (lớp 9, TsO 218, Moscow), Maria Sandrikova (lớp 9, TsO 218, Moscow), Anastasia Feklina (lớp 9, trường 179, Moscow), Andrey Korolev (lớp 9, trường 1345, Matxcơva), Yuri Kulchitsky (lớp 9, lyceum 208, Kyiv), Sergey Popov (lớp 9, TS 218, Mátxcơva). Bằng cấp 3 được trao cho Puchka Taras (lớp 6, trường 179, Moscow), Ekaterina Shibankova (lớp 6, trường 179, Moscow), Vladimir Shatsky (lớp 6, nhà thi đấu 1514, Moscow), Viktor Volkov (lớp 6, trường 622, Moscow), Alexander Grishutin (lớp 6, trường 827, Moscow), Vladislav Tukachinsky (lớp 6, nhà thi đấu) 1514, Moscow), Boris Zolotov (lớp 6, trường 3, Gatchina), Vlad Rumyantsev (lớp 6, trường 179, Moscow), Ivan Semin (lớp 6, trường 30, St. Petersburg), Sergey Polevoy (lớp 7, “Trí thức”, Moscow), Tatyana Nekrasova (lớp 7, trường 179, Moscow), Timur Iskhakov (lớp 7, Trung tâm Giáo dục Trung ương 218, Moscow), Irina Smirnova (lớp 7, Lyceum 17, Kostroma), Ekaterina Makhlina (lớp 7, nhà thi đấu 1543, Moscow), Antonina Vanchurina (lớp 7, trường 179, Moscow), Nikita Bakunov (lớp 8, FML 27, Kharkov), Anton Savostyanov (lớp 8, Lyceum 14, Tambov), Andrey Uruev (lớp 8, Lyceum 34, Kostroma), Shcherban Ykov (lớp 8, trường 82, Chernogolovka), Yulia Kotelnikova (lớp 8, nhà thi đấu 1543, Moscow), Govorukhin Yaroslav (lớp 8, trường 179, Moscow), Anna Dobrovolskaya (lớp 9, nhà thi đấu 1514, Moscow), Ivan Pogorelov (lớp 9, nhà thi đấu 1514, Moscow), Andrey Popescu (lớp 9, nhà thi đấu 1514, Moscow), Kirill Safronov (lớp 9, nhà thi đấu 1514, Moscow) Moscow), Yaroslava Serdyuk (lớp 9, Lyceum 208, Kyiv), Anatoly Preobrazhensky (lớp 9, Trung tâm Giáo dục Trung ương 218, Moscow). Ngoài ra, nhiều chàng trai còn được tặng giấy khen. Việc lựa chọn bài toán và tổng hợp các phương án được thực hiện bằng phương pháp luận

30

KVANT 2010/№6

Liên minh

Bằng cấp

Đội

Đội trưởng

Người giám sát

Giải hạng 9 Giải hạng 9 Giải hạng 9 Giải hạng 8. Liên đoàn lớp 8. Liên đoàn lớp 8.

I bằng II bằng III bằng tốt nghiệp I bằng II bằng II bằng tốt nghiệp

Đội “Moscow-South”, Moscow TsO 218, Moscow Lyceum 208, Kyiv MMMF-8, Moscow “Eureka-8”, Nhà thi đấu Kharkov 1543, Moscow

L. Sinykov A. Efimov M. Chaudhary O. Zaslavsky E. Lyubchik M. Gracheva

Liên đoàn lớp 8. Liên đoàn lớp 8. Liên đoàn lớp 7. Giải hạng 7 Giải hạng 7. Liên đoàn lớp 7. Liên đoàn lớp 7. Liên đoàn lớp 6. Liên đoàn lớp 6.

Bằng cấp III bằng cấp III bằng cấp I bằng cấp II bằng cấp II bằng cấp III bằng cấp III bằng cấp I bằng cấp II bằng tốt nghiệp

Lyceum 14, Tambov Lyceum 208, Trường Kyiv 179, Câu lạc bộ Fractal Moscow, Trung tâm Giáo dục Trung tâm St. Petersburg 218, Trường Moscow 179, Nhà thi đấu Moscow 1514, Nhà thi đấu Moscow 1514, Trường Moscow 179, Moscow

T. Mukin N. Shcheglov A. Vatuzov E. Tseytina A. Zertsalov E. Gavrilets I. Braude-Zolotarev V. Shatsky T. Zaitseva

Liên đoàn lớp 6. Liên đoàn lớp 6. Liên đoàn lớp 6.

Bằng cấp II Bằng cấp III Bằng cấp III

A. Rybina V. Volkov I. Semin

Giải hạng 7-8. Giải hạng 7-8.

bằng cấp I bằng cấp II

Nhà thi đấu 1514, Câu lạc bộ Matxcova «Kvant» Đội Lyceum 30 (St. Petersburg) và câu lạc bộ DNTTM (Moscow) Matxcơva Nhà thi đấu 1514, Trường Matxcova 179, Mátxcơva

T.P.Zorina A.D.Blinkov, E.S.Gorskaya T.D.Timoshkevich A.V.Spivak, E.B. Pronina A.L.Bershtein T.V.Karavaeva, I.V.Raskina, M.A.Bershtein, A.V.Khachaturyan A.V.Burmistrova T.D.Timoshkevich D.V.Shvetsov, A.Yu.Yurkov, G.A.Kuznetsov A.P.Khrapkina, A.P.Pogoda Yu.A.Blinkov, O.A.Karpov D.V.Shvetsov, A.Yu.Yurkov, G.A.Kuznetsov L.O.Bychkova L.O.Bychkova, N.T.Grebennik D.V.Shvetsov, A.Yu.Yurkov, G.A.Kuznetsov L.O.Bychkova, A.Gordenko I.A.Nikolaeva A.V.Sadovnikov, T.P.Zorina

Giải hạng 7-8. Giải hạng 7-8. Giải hạng 7-8.

Bằng cấp II Bằng cấp III Bằng cấp III

DNTTM, Trường “Trí thức Matxcơva”, Trường Matxcơva 179, Mátxcơva

G. Ionitsa A. Iglina S. Ủy ban y tế dưới sự lãnh đạo chung của A. V. Shapovalov. Các lựa chọn giải đấu cho 9 lớp được thực hiện bởi M.A. Bershtein, M.V. Prasolov, A.A. Zaslavsky, 8 lớp – A.V. Khachaturyan, N.T. Grebenik, P.V. Martynov, 7 lớp – D.V. Prokopenko, Yu.A. Blinkov, A.I. Sgibnev, 6 lớp – I.V. Raskina, Chùa A.P., N.L. Chernyatyev, các phiên bản của giải đấu lớp 7-8 được D.A. Kalinin, E.A. Akopyan. Ngoài họ còn có A.D. Blinkov, E.S. Gorskaya, T.V. Karavaeva, D.V. Shvetsov, A.Yu. Yurkov, O.A. Karpov làm việc trong ủy ban phương pháp. Sách và các giải thưởng khác dành cho người chiến thắng được cung cấp bởi tạp chí «Kvant», Yandex, ABBYY và Quỹ Giáo dục và Khai sáng Toán học. Tất nhiên, một giải đấu như vậy không chỉ nên có sự tham gia của những người tham gia và người chiến thắng. Những cảm xúc sống động từ những chiến thắng (và đôi khi từ những thất bại) được ghi nhớ, nhưng bài toán sống động vẫn còn trong ký ức. Dưới đây là một số giải đấu bài toán. Mỗi bài toán cho biết nó phù hợp với lớp nào nhất và tác giả nếu biết.

Yêu thích bài toán của giải đấu

1 (6–8). Tích của hai số tự nhiên liên tiếp có thể tận cùng là 1000. Ví dụ: $1000 \cdot 1001 = 1001000$ hoặc $8999 \cdot 9000 = 8999 \cdot 9 \cdot 1000 = =...1000.$ a) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có thể kết thúc bằng 1000 không? b) Tích của sáu số tự nhiên liên tiếp có tận cùng là 1000 không?

D. Shnol

2 (6–7). Vẽ một hình 6 giác và vẽ một đường thẳng đi qua hai đỉnh của nó để chia nó thành hai hình ngũ giác.

V. Hurowitz

3 (6–7). Bóng bay năm 2010 được sơn 7 màu cầu vồng. Trên mỗi quả bóng ghi tổng số quả bóng giống nhau

T. Grigoriev A. Raiko

T.V.Zhitnikova D.V.Shvetsov, A.Yu.Yurkov, G.A. Kuznetsov, T.P. Zorina T.P.Zorina, A.V.Spivak A.I.Sgibnev M.V.Prasolov màu sắc, thích cái này. Tổng nghịch đảo của các số đã viết có thể là bao nhiêu?

G. Galperin

4. a) (6–8) Có 10 đồng xu trong ví. Mệnh giá của hai đồng tiền bất kỳ trong cùng một ví khác nhau không quá 1 berendyk. Các đồng xu được trộn lẫn và đặt trong một túi đục. Sasha không biết trước bất cứ điều gì về đồng xu. Anh ta lấy một đồng xu ra khỏi túi, nhìn nó và đặt nó vào một trong 19 hộp có sẵn. Khi bạn bỏ đồng xu vào hộp, nó sẽ không thể di chuyển được nữa. Chứng minh rằng Sasha có thể hành động sao cho trong mỗi hộp mệnh giá của hai đồng xu bất kỳ khác nhau không quá 1 berendyk. b) (7–8) Có những đồng xu trong 10 ví sao cho trọng lượng của hai đồng xu bất kỳ trong một ví khác nhau không quá 1 g (khối lượng của các đồng xu có thể không phải là toàn bộ). Các đồng xu được trộn lẫn và đặt trong một túi đục. Sasha không biết trước gì về khối lượng tiền xu. Anh ta lấy một đồng xu ra khỏi túi, cân nó, sau đó đặt đồng xu vào một trong 20 hộp có sẵn, lấy ra đồng xu tiếp theo, v.v. (Đã bỏ một đồng xu vào hộp thì nó không thể di chuyển được nữa.) Chứng minh rằng Sasha có thể hành động sao cho trong mỗi hộp khối lượng của hai đồng xu bất kỳ khác nhau không quá 1 g. c) Điều kiện bài toán giống phần b) nhưng có 19 ô.

A. Shapovalov

5 (6–7). Đối với hai số có tám chữ số, tích của các chữ số là dương và bằng nhau. Trong mỗi số, tất cả các chữ số đều khác nhau. Chứng minh rằng các số này có tổng các chữ số bằng nhau.

A. Shapovalov

6 (8–9). a) Với n nhỏ nhất nào thì có một n-giác có thể cắt thành 13 phần bằng nhau?

A. Zaslavsky

34

KVANT 2010/№6

(Để bắt đầu, xem trang 28)

Cân bằng cân cốc không có quả cân, kiểm tra xem trong 9 đồng tiền này có ít nhất một đồng tiền giả không? (Đồng thật có trọng lượng như nhau, đồng giả cũng nặng như nhau và nặng hơn tiền thật).

A. Shapovalov

24 (9). Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Một đường tròn khác đi qua hai điểm B và C tiếp xúc với đoạn AD tại điểm $M_{AD}$. Điểm $M_{AB}, M_{BC}, M_{CD}$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng đường thẳng $M_{AB} M_{CD}$ và $M_{AD} M_{BC}$ vuông góc với nhau. A. Volchkevich, D. Shvetsov

25 (9). Điểm N được chọn bên trong tam giác nhọn ABC và các điểm P và Q lần lượt được chọn trên các cạnh AB và BC. Các đoạn thẳng NP, NQ, NA chia tam giác ABC thành một tam giác và hai tứ giác. Hóa ra các hình tứ giác nói trên là hai hình thang bằng nhau. Lý do của họ liên quan như thế nào?

A. Khachaturian

26 (8–9). Có bàn bida ca rô cỡ $101 \times 99$. Có túi ở các góc của bàn. Có thể phóng một quả bóng sao cho trên đường đi của nó nó đi qua tất cả các đỉnh của tất cả các ô vuông bằng vải nằm bên trong bàn không?

A. Yurkov

27 (9). Lộ trình đúng trên mặt phẳng ca rô vô hạn là lộ trình của quân xe có điểm bắt đầu, không có điểm kết thúc và đi qua mỗi ô vuông của mặt phẳng đúng một lần (quân xe di chuyển đến ô vuông liền kề theo chiều dọc hoặc chiều ngang với mỗi nước đi). Có thể sắp xếp các số tự nhiên trong tất cả các ô của mặt phẳng sao cho mỗi số đều đáp ứng

Có phải điều đó đã xảy ra đúng một lần và trên một lộ trình đúng nào đó, các con số chỉ tăng lên, trong khi trên một lộ trình đúng khác, các con số cứ tăng giảm liên tục?

B.Frenkin

28 (7–9). Petya và Vasya đang chơi trò chơi sau trên bàn cờ. Mỗi nước đi, người chơi chọn một số ô trống và vẽ cả hai đường chéo trong đó - một đường chéo màu đỏ, đường kia màu xanh lam. Cấm vẽ một đường chéo sao cho nó có một đầu chung với một đường chéo đã vẽ sẵn cùng màu. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Petya đi trước. Ai trong số họ có thể giành chiến thắng, bất kể đối thủ chơi thế nào?

A. Shapovalov

29 (7–9). Trên bàn cờ $8 \times 8$ một số ô được đánh dấu. Được biết, một quân xe có thể đi từ bất kỳ ô vuông nào được đánh dấu đến bất kỳ ô vuông nào khác mà không cần nhảy qua các ô vuông không được đánh dấu và bằng một tuyến đường duy nhất (nói cách khác, không có tuyến xe nào đóng dọc theo các ô vuông được đánh dấu). Số lượng tế bào lớn nhất có thể được đánh dấu là bao nhiêu?

B.Frenkin

30(9). Một đường thẳng đi qua đỉnh C của hình thoi ABCD cắt các đoạn AB và BD lần lượt tại các điểm M và K. Một đường tròn đi qua các điểm A, M, K cắt các đường thẳng BD, AD lần lượt tại P và L. Chứng minh rằng trực tâm tam giác SKP trùng với tâm ngoại tiếp tam giác CML. Yu. Blinkov

Ấn phẩm được biên soạn bởi D. Kalinin, A. Shapovalov

CÂU ĐỐ

Tangram

(Xem phần mở đầu ở trang bìa thứ 2)

«Kvant» đã viết về tangram ở số 5 năm 1989. Trong số này, chúng tôi đưa ra một số nhiệm vụ khác. Dưới đây bạn nhìn thấy 13 đa giác lồi. Để gấp từng chiếc, bạn sẽ cần toàn bộ bộ bảy chiếc rám nắng. Hãy thử điều này. Hóa ra là không thể thêm các đa giác lồi khác từ bảy tans. Điều này được các nhà toán học Trung Quốc thiết lập vào năm 1942. Tóm lại, chúng ta hãy xây dựng một công thức hài hước bài toán. Anya đã tặng hai em trai Bor và Vita một món tangram nhân dịp năm mới. Chỉ có một nhiệm vụ duy nhất đối với họ: gấp một hình vuông, sử dụng tất cả các bộ phận cho việc này. Vài ngày sau, sau nhiều nỗ lực vô ích để giải câu đố, Borya tin rằng không thể làm được điều đó từ bộ của mình. Nhìn vào bộ của Borya, Anya đoán được có điều gì không ổn: cô ấy đã mắc lỗi và bỏ nhầm hai phần vào hộp! Kết quả là một anh nhận được một bộ năm phần, và phần thứ hai - chín. Borya đề nghị nói với Vita về điều này, nhưng Anya suy nghĩ một chút và nhận ra rằng bộ của Vita vẫn có thể được sử dụng để tạo thành hình vuông. Vậy Anya đã đóng gói sai những bộ phận nào? E.Epifanov

39

PHÒNG THÍ NGHIỆM

cực dương và cực âm, được xác định bằng cách lựa chọn vật liệu điện cực, cũng như chất điện phân có trong nước trái cây. Trong trường hợp này, độ sạch của bề mặt điện cực đóng vai trò quan trọng, do đó, trước khi tiến hành thí nghiệm, cần loại bỏ cẩn thận lớp màng oxit trên bề mặt điện cực bằng giấy nhám mịn. Loại bỏ màng oxit cũng sẽ làm giảm cái gọi là hiệu ứng phân cực, làm giảm lực điện động thực tế của nguồn. Từ định luật Ohm đối với mạch hoàn chỉnh, cường độ dòng điện đạt cực đại ở chế độ ngắn mạch nguồn, khi điện trở tải bên ngoài có xu hướng bằng 0. Một miliampe kế có điện trở trong không đáng kể và khi thiết bị được kết nối trực tiếp với các cực của pin trái cây, người ta có thể nói với độ chính xác cao về hiện tượng đoản mạch. Trong trường hợp này, cường độ dòng điện phải được đo càng nhanh càng tốt, vì nguồn phóng điện nhanh. Bạn có thể tính công suất tối đa của nguồn dòng điện trái cây bằng công thức $P_{max} = UI_{max}$. hình 2 trình bày sơ đồ so sánh về năng lượng của các loại pin trái cây khác nhau với cặp điện cực đồng-kẽm. Các giá trị hiển thị trong biểu đồ không nên được coi là giá trị tuyệt đối mà bạn sẽ có được một bức tranh tương tự. Vì vậy quyền lực

Hình 2. Biểu đồ so sánh dung lượng pin tối đa

Pin chanh cao hơn, có nghĩa là trong số các nguồn dòng trái cây được liệt kê, nó có đặc tính điện tốt nhất. Việc thiếu dòng điện bên trong pin hoa quả bị ngắt kết nối được giải thích là do đặc thù của các phản ứng hóa học oxi hóa khử, do điện áp xuất hiện trên các điện cực. Do phản ứng hóa học dưới ảnh hưởng của nước ép trái cây, các ion kẽm rời khỏi bề mặt của điện cực kẽm và điện cực kẽm thu được điện thế âm so với dung dịch. Phản ứng hóa học không phụ thuộc vào sự hiện diện của điện cực khác trong nước ép. Một phản ứng tương tự xảy ra với điện cực đồng, nhưng theo dãy điện hóa thì cường độ ít hơn. Do đó, một sự khác biệt tiềm năng được thiết lập giữa các điện cực kẽm và đồng. Khi các cực nguồn bị chập mạch, các electron sẽ chạy qua mạch ngoài từ kẽm sang đồng. Đó là lý do tại sao trong mọi trường hợp điện cực đồng là cực dương và điện cực kẽm là cực âm.

35-.p65

“QUANTA”

Hình 3. Minh họa hoạt động của nhiệt kế điện tử sử dụng pin trái cây

Việc loại bỏ các ion của nguyên tố hóa học tương ứng khỏi kim loại trong phản ứng hóa học chắc chắn sẽ dẫn đến sự phá hủy các điện cực, trong trường hợp này không thể đảo ngược được. Tình huống này khiến cho việc sạc lại pin trái cây là không thể và do đó, việc sản xuất pin dựa trên chúng là không thể. Công suất tối đa của pin trái cây rất nhỏ và chỉ bằng một phần mười miliwatt. Do đó, pin trái cây chỉ có thể được sử dụng để cung cấp năng lượng cho các thiết bị sử dụng năng lượng thấp, chẳng hạn như đồng hồ điện tử, máy tính, đèn LED công suất thấp, v.v. Ví dụ: lấy máy tính và pin của bạn. Nếu máy tính có tích hợp pin năng lượng mặt trời thì phải bọc bằng giấy mờ. Nối hai nguồn từ quả chanh hoặc quả táo nối tiếp vào pin và nối máy tính với nó (quan sát cực tính). Bạn sẽ thấy máy tính đang hoạt động. hình 3 hiển thị hình ảnh một nhiệt kế điện tử chạy bằng pin có nguồn dòng điện được làm từ hai quả táo. Để cung cấp năng lượng cho các thiết bị mạnh hơn, cần phải kết nối nguồn điện trái cây với pin. Hãy suy nghĩ xem cần bao nhiêu pin trái cây và cách kết nối chúng để cung cấp năng lượng cho netbook Aspire One (với thông số kỹ thuật là 19 V và 1,58 A) hoặc điện thoại di động và liệu bạn có thể tiết kiệm số lượng trái cây bằng cách kết nối chúng vào pin hay không. Bạn có thể tiếp tục tự mình thử nghiệm pin trái cây. Ví dụ, hãy thử thiết lập sự phụ thuộc của điện áp ở các cực và công suất của phần tử vào diện tích bề mặt của các điện cực hoặc cố gắng vẽ đồ thị đặc tính phóng điện của các nguồn trái cây khác nhau. Chúng tôi chúc bạn thành công!