Thí nghiệm thất bại

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Thí nghiệm thất bại

I.AKULICH

NĂM TRƯỚC, MỘT LYCEUM TỔ CHỨC một buổi tối TOÁN, trong đó tất cả học sinh được yêu cầu làm thí nghiệm sau: “Lấy năm sinh của bạn, viết các số theo thứ tự ngược lại rồi cộng với số ban đầu. Đồng thời viết các chữ số của số thu được theo thứ tự ngược lại và lấy số lớn trừ đi số nhỏ hơn. Kết quả phải chia hết cho 99.” Petya, một học sinh hạng C, đã làm đúng như vậy, nhưng đã xáo trộn thứ tự các hành động và đầu tiên tìm ra sự khác biệt, sau đó mới đến tổng. Vì thế thí nghiệm đã thất bại. Anh ta đã nhận được kết quả gì?

• • • Hãy bắt đầu với một ví dụ. Giả sử Petya sinh năm 1999. Nếu anh ta thực hiện các hành động theo đúng thứ tự thì trước tiên anh ta sẽ nhận được tổng 1999 + 9991 = = 11990. Con số này theo thứ tự ngược lại sẽ là 09911, tức là 9911, và chênh lệch mong muốn – 11990 – $9911 = 2079 = 99 \cdot 21$ – thực sự chia hết cho 99. Và nếu các hành động được trộn lẫn, Petya đầu tiên sẽ nhận được số 9991 – 1999 = 7992, sau đó là số 7992 + 2997 = 10989. Nhưng con số này bằng $99 \cdot 111$, tức là cũng chia hết cho 99. Vẫn chưa rõ tại sao thí nghiệm lại thành công với thứ tự đúng hoặc tại sao nó có thể không hiệu quả với Petya khi anh ta trộn lẫn các bước.

Chúng tôi mời những người muốn tự trả lời các câu hỏi và sau đó kiểm tra phần giải thích của chúng tôi.

• • • Lời giải bài toán (giống như hành tinh Trái đất) nằm trên ba trụ cột - các định lý phụ trợ. Họ đây rồi. Con cá voi thứ nhất Nếu viết các chữ số của số có bốn chữ số theo thứ tự ngược lại và cộng với số ban đầu thì kết quả sẽ chia hết cho 11. Chứng minh như sau. Hãy biểu thị các chữ số của một số có bốn chữ số (từ trái sang phải) bằng các chữ cái a, b, c và d. Khi đó nó bằng 1000a + 100b +10c + d, số “đảo ngược” là 1000d + 100c +10b + a và tổng của chúng là 1001a + 110b +110c + 1001d, rõ ràng chia hết cho 11 (vì mỗi số hạng đều chia hết cho 11). (Nói chung, phát biểu này đúng với bất kỳ số nào có số chữ số chẵn, nhưng chúng ta không cần số chữ số khác.) Trụ cột thứ 2. Nếu các chữ số của một số chia hết cho 11 được viết theo thứ tự ngược lại thì kết quả cũng sẽ chia hết cho 11. Bằng chứng của con cá voi này dựa trên phép thử sau đây về tính chia hết cho 11: một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó ở vị trí chẵn và lẻ là bội số của 11 (chúng tôi sẽ không chứng minh thử nghiệm này ở đây - nó được biết đến rộng rãi và thường được tìm thấy trong tài liệu). Rõ ràng, tổng của các chữ số ở vị trí chẵn và lẻ sẽ không thay đổi khi viết các chữ số theo thứ tự ngược lại, và do đó sự khác biệt giữa chúng, vì nó là bội số của 11, sẽ vẫn như vậy. Con cá voi thứ 3 Nếu bạn viết lại các chữ số của một số theo bất kỳ thứ tự nào khác và trừ nó khỏi số ban đầu thì kết quả sẽ chia hết cho 9. Định lý này ngay sau bài kiểm tra tính chia hết cho 9, vì vậy chúng ta cũng sẽ không dừng lại ở đây. Vì vậy, trước tiên, hãy tìm hiểu lý do tại sao chắc chắn sẽ đạt được kết quả cần thiết nếu tất cả các hành động được thực hiện như mong đợi. Trên thực tế, năm sinh của bất kỳ học sinh nào cũng là một số có bốn chữ số, vì vậy sau khi cộng nó với năm “đảo ngược”, kết quả là một số chia hết cho 11 (cá voi thứ nhất!). Hơn nữa, nếu các chữ số của số này được viết theo thứ tự ngược lại thì kết quả cũng sẽ chia cho 11 (trụ cột thứ 2!). Do đó, sau khi lấy số lớn trừ số nhỏ thì hiệu cũng sẽ chia cho 11. Ngoài ra sẽ chia cho 9 (trụ cột thứ 3!). Do đó, kết quả cuối cùng thực sự phải chia hết cho $11 \cdot 9 = 99$.