Lời giải bài toán M2405—M2413; F2413—F2419

17

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

một ống hình trụ thẳng đứng có đường kính trong d = 10 cm được đặt trên bề mặt. Chiều cao của ống là H. Nguồn sáng và cảm biến ánh sáng được đặt trên trục đối xứng của ống. Các thành bên trong của ống nhẵn, giống như gương và phản chiếu 100% ánh sáng. Cảm biến hiện đang ghi lại mức độ chiếu sáng $E_{2}$ nào? Cảm biến sẽ hiển thị điều gì nếu các bức tường, ở bất kỳ góc tới nào của ánh sáng, phản chiếu 99% ánh sáng tới? (Tính toán số có thể được thực hiện bằng máy tính.) M. Svetlov

Lời giải bài toán M2405–M2413, F2413–F2419

M2405. Đường thẳng nối tâm của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác cắt một trong các cạnh của nó ở chân đường cao và cạnh kia tại điểm tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tương ứng. Tìm góc giữa các cạnh này của tam giác.

Lời giải xem bài viết của A. Zaslavsky “Về hai loại hình tam giác, hoặc bài toán đến từ đâu” trong số tạp chí này.

M2406. K số đã bị loại bỏ khỏi các số nguyên từ 1 đến 100. Có cần chọn k số khác nhau có tổng bằng 100 trong số các số còn lại nếu: a) k = 9; b) k = 8?

a) Đáp số. Không bắt buộc. Hãy loại bỏ các số 1, 2,…, 9. Khi đó tổng của chín số chẵn nhỏ nhất trong các số còn lại (10 + 11 +… + 18 = 126) lớn hơn 100. b) Đáp số. Cần thiết. Xét 12 cặp số có tổng bằng 25: (1, 24), (2, 23),…, (12, 13). Sau khi loại bỏ 8 số, sẽ còn lại ít nhất bốn cặp còn nguyên. Họ sẽ cho tổng cộng 100. A. Shapovalov

M2407. Mọi hệ số của một đa thức đều là số nguyên và mô đun của chúng không vượt quá 2015. Chứng minh rằng mọi nghiệm dương của đa thức này đều lớn hơn 1/2016.

Lời giải xem bài viết của S. Dorichenko, P. Kozhevnikov “Từ thay thế gốc đến số siêu việt” trên tạp chí số này.

M2408. Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ cắt nhau tại điểm M. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MA_{0} B_{0}, MCB_{0}, MA_{0} C_{0}, MBC_{0}$ và điểm M cùng nằm trên một đường tròn.

Đặt $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $MA_{0} B_{0}, MCB_{0}, MA_{0} C_{0}, MBC_{0}$. Chúng ta hãy tiến hành suy luận về vị trí của các điểm thể hiện trong hình (đối với các trường hợp khác, vị trí của các tâm thì lý luận tương tự; để tránh phân tích các trường hợp, chúng ta có thể coi mọi góc đều được định hướng).

“QUANTA”

Chứng minh rằng $O_{4}$ nằm trên đường tròn $( MO_{1} O_{3} ).$ Đường thẳng $O_{1} O_{3}$ là đường phân giác vuông góc với $MA_{0}$. Góc $MO_{1} O_{3}$ bằng nửa góc ở tâm $MO_{1} A_{0}$ của đường tròn $( MA_{0} B_{0} ),$ tức là góc $MB_{0} A_{0}$ nội tiếp. Đường thẳng $O_{4} O_{3}$ là đường trung trực của đoạn $MC_{0}$ nên góc giữa đường thẳng $MO_{4}$ và $MO_{3}$ bằng nửa góc ở tâm $MO_{4} C_{0}$ của đường tròn $( MBC_{0} ),$ tức là góc $MBC_{0}$ nội tiếp. Và các góc $MB_{0} A_{0}$ và $MBC_{0}$ bằng nhau do có sự song song $B_{0} A_{0}$ và $BC_{0}$. Do đó – $MO_{1} O_{3} +$ – $MO_{4} O_{3} = 180 \infty$, tức là $O_{4}$ nằm trên đường tròn $( MO_{1} O_{3} ).$ Tương tự, $O_{2}$ nằm trên đường tròn $( MO_{1} O_{3} ).$ P. Kozhevnikov

M2409. Một hình vuông ca rô 9 ¥ 9 được làm bằng các que diêm, cạnh của mỗi hình vuông là một que diêm. Petya và Vasya thay phiên nhau bỏ que diêm, Petya bắt đầu. Người chiến thắng là người có nước đi không còn 1 ¥ 1 ô vuông. Ai có thể hành động theo cách đảm bảo chiến thắng, bất kể đối thủ của mình chơi như thế nào?

Đáp số. Vasya. Lưu ý rằng sẽ luôn còn một số lẻ trận đấu trước khi Vasya di chuyển. Rõ ràng người chiến thắng sẽ là người chiếm được vị trí khi có một hoặc hai ô vuông liền kề (ở một bên). Vì vậy, chỉ cần Vasya không để lại vị trí như vậy là đủ, khi đó anh sẽ thắng, vì một trận hòa là không thể. Hãy cho thấy anh ấy có thể làm điều này như thế nào trong những trường hợp khác nhau. 1) Còn lại nhiều hơn ba ô vuông. Anh ta sẽ đánh trận cuối cùng, làm hỏng không quá một ô vuông. 2) Còn lại ba hình vuông. Anh ta sẽ lấy một trận đấu không phải của họ, và nếu không có trận đấu nào như vậy, thì do số trận đấu lẻ nên rõ ràng hai hình vuông liền kề và hình vuông thứ ba không liền kề với chúng, thì anh ta sẽ làm hỏng một trong những hình vuông liền kề. 3) Còn lại hai hình vuông và chúng không kề nhau. Do số lẻ nên có một trận đấu không có trong đó mà Vasya sẽ tham gia. Tất cả các vị trí đã được xem xét. A. Shapovalov

M2410. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Các phần kéo dài của các cạnh đối diện của nó cắt nhau tại các điểm P và Q. Gọi K và N là trung điểm của các đường chéo. Chứng minh rằng tổng các góc PKQ và PNQ bằng $180\infty$.

Đặt các điểm như trên hình. Các tam giác ACP và BDP giống nhau vì các góc C và D của chúng cùng chịu một cung và góc P là chung. Do đó, các trung vị tương ứng trong chúng bị cắt bỏ