Bài toán M2454—M2457; F2461—F2464

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2454–M2457 đã được đưa ra ở giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh môn toán. Bài toán F2461–F2464 đã được cung cấp tại Ya.B. Thế vận hội Zeldovich ở thành phố Sarov.

Bài toán M2454–M2457, F2461–F2464

M2454. Ban đầu, một số (nhiều) số tự nhiên được viết lên bảng. Sau đó, cứ sau mỗi phút, một số bằng tổng bình phương của tất cả các số đã viết trên đó sẽ được thêm vào bảng (vì vậy, nếu các số 1, 2, 2 ban đầu được viết lên bảng thì ở phút đầu tiên số $1^{2} + 2^{2} + 2^{2} ).$ sẽ được thêm vào. Chứng minh rằng số thứ trăm được thêm vào có ít nhất 100 thừa số nguyên tố khác nhau. I. Bogdanov, P. Kozhevnikov

M2455. Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn Ω và ngoại tiếp

Hình 1

vòng tròn $\omega$. Trên các cạnh AC và AB lần lượt chọn các điểm P và Q sao cho đoạn PQ tiếp xúc với $\omega$ (hình1). Đường tròn $Ω_{b}$ với tâm P đi qua B và đường tròn $Ω_{c}$ với tâm Q đi qua C. Chứng minh rằng các đường tròn Ω $, Ω_{b}$ và $Ω_{c}$ có điểm chung. A. Akopyan, P. Kozhevnikov

M2456. Một đa giác lồi được cắt bởi các đường chéo rời nhau thành các tam giác cân. Chứng minh rằng đa giác này có hai cạnh bằng nhau. A. Gribalko

M2457. Có tam giác nào có các cạnh x, y và z sao cho $x^{3} + y^{3} + z^{3} = = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )$ không? V. Người gửi

F2461. Một chiếc cốc hình trụ có diện tích đáy $S = 400 см^{2}$ chứa đầy nước, trong đó có một khối nước đá có cạnh a = 2 cm (hình2) được nhúng vào. Một lượng dầu hỏa được đổ vào ly như vậy sao cho cạnh trên của khối lập phương trùng với bề mặt của dầu hỏa. Khối lập phương được lấy ra khỏi ngăn xếp - Hình 2