Bài toán M2466—M2469; F2473—F2476

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2366 – M2369 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh môn toán.

Bài toán M2466–M2469, F2473–F2476

M2466. Cho hình thang cân ABCD có đáy BC và AD (xem hình). Đường tròn đi qua đỉnh B và C rồi cắt cạnh AB và đường chéo BD lần lượt tại các điểm X và Y. Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt tia AD tại điểm Z. Chứng minh rằng các điểm X, Y và Z cùng nằm trên một đường thẳng. A. Kuznetsov

M2467. a) Cho P ( x ) là đa thức bậc $n \ge 2$ với các hệ số không âm và a, b và c là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó. Chứng minh rằng các số n P

$( a ),^{n} P ( b ) и^{n} P ( c )$ cũng là độ dài các cạnh của một số tam giác. b) Tương tự bài toán, trong đó “tam giác” được thay thế bằng “tam giác nhọn”. N. Agakhanov

M2468. Mỗi ô vuông của bảng ¥100 có màu đen hoặc trắng, với tất cả các ô vuông cạnh viền bảng có màu đen. Hóa ra không nơi nào trên bảng có hình vuông ca rô một màu 2 ¥ 2. Chứng minh rằng có một hình vuông ca rô 2 ¥ 2 trên bảng, các ô của ô này được tô màu theo kiểu bàn cờ. M. Antipov

M2469*. Có n số dương $a_{1}, a_{2},^{…} a_{n}$ được viết thành một hàng trên bảng. Vasya muốn viết dưới mỗi số $a_{i}$ số $b_{i} \ge a_{i}$ sao cho với hai số bất kỳ $b_{1}, b_{2},^{…}, b_{n}$ thì tỷ số của một trong số chúng với số kia là một số nguyên. Chứng minh rằng Vasya có thể viết được các số cần tìm sao cho bất đẳng thức n - 1 đúng

$b_{1} b_{2}^{…} b_{n}$ £ $2^{2} a_{1} a_{2}^{…} a_{n}$. F.Petrov

F2473. Trên bề mặt nằm ngang của bàn có một sợi dây dài với khối lượng phân bố đều dọc theo chiều dài của nó. Dây xích nằm vuông góc với mép bàn. Mặt bàn có cạnh tròn với bán kính cong nhỏ hơn đáng kể so với chiều dài của dây xích nhưng lớn hơn đáng kể so với kích thước của các mắt xích. Gắn vào đầu sợi dây gần mép bàn nhất là một sợi dây không trọng lượng, giữ dây xích rất chặt