Kiến thức là sức mạnh!

21

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

TRẺ EM HỌC SINH

Kiến thức là sức mạnh!

S.KUZNETSOV

TRONG BÀI VIẾT NÀY CHÚNG TÔI SẼ THẢO LUẬN MỘT SỐ bài toán hơi khác thường theo quan điểm toán học. Trong những vấn đề này, chúng ta sẽ không chỉ quan tâm đến việc một số phát biểu là đúng hay sai mà còn quan tâm đến việc liệu các nhân vật tham gia các vấn đề có biết về sự thật của những phát biểu này hay không. Bài toán 1. Ilya Muromets, Dobrynya Nikitich và Alyosha Popovich đã được tặng 6 đồng xu cho sự phục vụ trung thành của họ: 3 vàng và 3 bạc. Mọi người đều có hai đồng xu. Ilya Muromets không biết đồng xu nào đã đến Dobrynya và đồng xu nào đến Alyosha, nhưng anh ấy biết mình nhận được đồng xu nào. (Ilya cũng biết rằng chỉ có 6 đồng xu, mỗi kim loại có 3 đồng và mọi người đều có hai đồng xu.) Bạn cần hỏi Ilya Muromets một câu hỏi, gợi ý đáp số “có” hoặc “không” và sử dụng đáp số cho câu hỏi này để tìm ra anh ấy nhận được những đồng xu nào. Thoạt nhìn, có vẻ như bài toán không thể quyết định được: có ba lựa chọn cho loại tiền mà Ilya có (hai vàng, hai bạc, vàng và bạc), nhưng chỉ có hai lựa chọn cho đáp số, “có” hoặc “không”. Nhưng có khả năng thứ ba đáp số – “Tôi không biết.” Để có được nó, bạn không cần phải hỏi về tiền của Ilya mà về tiền của những anh hùng khác. Tuy nhiên, có vẻ như đáp số sẽ luôn là “Tôi không biết”: xét cho cùng, ngay cả trong điều kiện người ta đã trực tiếp tuyên bố rằng Ilya Muromets không biết về đồng tiền của Dobrynya và Alyosha. Tuy nhiên, Ilya có thể tính toán một số thông tin về những đồng tiền này khi chỉ biết những đồng tiền của mình. Ví dụ, nếu Ilya Muromets có hai đồng vàng, thì anh ta biết rằng chỉ còn lại một đồng vàng. Điều này có nghĩa là cả Dobrynya và Alyosha đều không được có hai đồng vàng. Nhưng rõ ràng một số người trong số họ có cả hai đồng bạc. Sự cân nhắc này dẫn chúng ta đến đáp số: chúng ta cần đặt câu hỏi “Đúng

Có thể nào một số trong hai anh hùng còn lại có cả hai đồng bạc? Hãy viết ngắn gọn các tình huống có thể xảy ra: chữ “Z” có nghĩa là đồng vàng, “S” có nghĩa là đồng bạc. Đầu tiên là đồng xu của Ilya, sau đó là Dobrynya, rồi đến Alyosha. Ví dụ: “ЗЗ;СС;ЗС” có nghĩa là Ilya có 2 đồng vàng, Dobrynya có 2 đồng bạc và Alyosha có 1 đồng vàng và 1 đồng bạc. Tại hình 1 tình huống có thể xảy ra được chia thành

Hình 1

ba nhóm. Trong mỗi nhóm, các tình huống không thể phân biệt được theo quan điểm của Ilya Muromets: anh ta chỉ nhìn thấy đồng tiền của mình. Ngoài ra, các tình huống có màu: màu xanh lá cây biểu thị những tình huống trong đó đáp số đúng cho câu hỏi của chúng tôi là “có”; màu đỏ – trong đó đáp số “không”. Bây giờ bạn có thể thấy rằng ở nhóm giữa, khi Ilya có đồng vàng và bạc thì có cả tình huống “đỏ” và “xanh”. Điều này có nghĩa là Ilya, ngay cả về mặt lý thuyết, không thể dựa trên kiến ​​​​thức về tiền của mình để trả lời câu hỏi và anh ấy sẽ nói “Tôi không biết”. Ở nhóm trên cùng, cả hai tình huống đều là “xanh”, và Ilya, sau khi thực hiện lý luận tương tự như chúng tôi đang làm bây giờ, sẽ trả lời “có”. Ngược lại, ở nhóm thấp hơn, cả hai tình huống đều “đỏ” và đáp số sẽ là “không”. Để lý luận của chúng ta có giá trị, chúng ta cần hai giả định về người anh hùng mà chúng ta đang hỏi: 1. Người anh hùng trung thực, tức là trả lời các câu hỏi của chúng ta một cách trung thực.

22

KVANT 2017/№6

2. Anh hùng rất thông minh, tức là chỉ nói “Tôi không biết” trong trường hợp về mặt lý thuyết là không thể lấy được đáp số dựa trên thông tin có sẵn cho anh ta. Điều kiện này cho phép Ilya Muromets sử dụng kiến ​​thức gián tiếp về tiền của các anh hùng khác. Tình trạng thứ hai không vô hại như thoạt nhìn. Để hiểu điều này, chẳng hạn, chúng ta hãy nhìn vào một ván cờ và tự hỏi: kỳ thủ nào (chơi quân đen hoặc quân trắng) có một chiến lược chắc chắn sẽ cho phép anh ta, bất kể sự xảo quyệt của đối thủ, giành chiến thắng hoặc ít nhất là giảm ván cờ xuống còn một trận hòa? Số lượng các ván cờ khác nhau, tuy lớn về mặt thiên văn nhưng vẫn không phải là vô hạn. Điều này có nghĩa là về mặt lý thuyết có thể phân tích tất cả các trò chơi có thể xảy ra và đưa ra đáp số cho câu hỏi này (ngoài ra, có thể chứng minh rằng chính xác một trong hai người chơi có chiến lược thắng hoặc cả hai đều có chiến lược dẫn đến hòa). đáp số này sẽ tuân theo các quy tắc của trò chơi một cách hợp lý, tức là, theo điều kiện của chúng tôi, bất kỳ ai biết các quy tắc này đều phải biết. Tuy nhiên, trên thực tế, đáp số không ai biết đến. Một ví dụ khác, gần với toán học hơn: vì tất cả các định lý của một khóa học hình học ở trường đều tuân theo một cách hợp lý từ các tiên đề, nên theo điều kiện của chúng ta, hóa ra là ai đó đã học tất cả các tiên đề sẽ tự động biết tất cả các định lý. Tất nhiên, trên thực tế, điều này đòi hỏi phải đào tạo lâu hơn và không ai biết tất cả các định lý có thể có. Khó khăn này thường được gọi là vấn đề toàn tri logic. Nó phát sinh trong trường hợp số lượng các tình huống có thể xảy ra quá lớn đến mức một người hoặc thậm chí một máy tính không thể sắp xếp chúng hoặc khi nó thường là vô hạn. Trong ví dụ của chúng tôi, con số này nhỏ và chúng tôi có thể sử dụng điều kiện thứ hai một cách an toàn. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về câu chuyện cổ điển bài toán về những đứa trẻ cáu kỉnh. Bài toán 2. Một số đứa trẻ đi dạo về và bố nói rằng một số

(ít nhất một) người trong số họ có khuôn mặt lấm lem bùn đất. Mỗi đứa trẻ nhìn thấy khuôn mặt của những đứa trẻ khác, nhưng không phải của chính mình. Bố hỏi có đứa trẻ nào biết rằng bản thân bố cũng cáu bẩn không. Trẻ trả lời “không”. Rồi bố hỏi lại câu hỏi tương tự, rồi lại hỏi… Liệu có đứa trẻ nào hiểu rằng bản thân ông cũng là người cáu bẩn không? Dường như không có gì thay đổi, và bọn trẻ sẽ luôn nói “không”. Tuy nhiên, mỗi lần trẻ nhận được kiến ​​thức về sự thiếu hiểu biết của người khác, thông tin này có thể giúp trẻ đoán được liệu bản thân mình có cáu bẩn hay không. Để hiểu rõ hơn điều gì đang xảy ra, hãy xem xét trường hợp khi chỉ có ba đứa trẻ và trong đó có hai đứa - đứa thứ hai và thứ ba - bẩn thỉu, còn đứa thứ nhất thì sạch sẽ. Chúng tôi (và bố) biết ai bẩn và ai sạch, nhưng bản thân bọn trẻ thì không. Vì vậy, chúng ta cần xem xét tất cả các tình huống có thể xảy ra và để ngắn gọn, chúng ta sẽ ký hiệu một đứa trẻ bẩn thỉu bằng số 1 và một đứa trẻ sạch sẽ bằng số 0: ví dụ: 010 có nghĩa là đứa thứ nhất và thứ ba sạch sẽ, đứa thứ hai là bẩn thỉu. Các trường hợp có thể xảy ra có thể được biểu diễn thuận tiện dưới dạng khối lập phương (hình 2). Ở đây hai tình huống được kết nối bằng một $отрез-_{Рис.} 2$ com màu đỏ nếu chúng không thể phân biệt được theo quan điểm của đứa trẻ đầu tiên (nó không biết bản thân mình có bẩn hay không nên không thể phân biệt được, chẳng hạn như 001 với 101). Đoạn màu xanh kết nối các tình huống mà con thứ hai không thể phân biệt được, đoạn màu xanh lam kết nối các tình huống mà con thứ ba không thể phân biệt được. Một đỉnh bị thiếu trong khối này: vì người ta nói rằng có những đỉnh bẩn thỉu nên trường hợp 000 là không thể. Bây giờ chúng ta hãy xem những gì thay đổi sau câu hỏi đầu tiên. Trong những tình huống có đúng một đứa trẻ cáu bẩn (ví dụ: 100), đứa trẻ này ngay lập tức hiểu rằng mình cáu kỉnh. Điều này có nghĩa là nếu mọi người đều trả lời “không”, thì những tình huống này là không thể xảy ra và điều đặc biệt quan trọng đối với chúng tôi là tất cả trẻ em giờ đây đều biết về điều này! Kết quả là hình ảnh hiển thị ở hình 3.