Bài toán

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

2. Ba con ruồi đang đậu trên bậu cửa sổ.

Bị cô chủ dọa sợ, họ bỏ chạy. Xác suất để trong đúng một phút họ sẽ ở trên cùng một mặt phẳng là bao nhiêu?

Masha không có đủ bảy kopecks để mua một cuốn sách ABC và Misha cũng không có đủ.

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6–8. Bài toán 1 và 2 được lấy từ cuốn sách “Mathematical Vinaigrette” của I.F. Sharygin, bài toán 3 và 4 – từ cuốn sách “Bài toán dành cho trẻ từ 5 đến 15 tuổi” của V.I. Arnold.

một xu. Họ góp tiền mua một chiếc sơn lót cho hai người nhưng vẫn không đủ tiền. Lớp sơn lót có giá bao nhiêu?

4. Tìm một khối đa diện có mặt trên và mặt trước như trong hình. Vẽ một mặt bên (vẽ các cạnh vô hình của khối đa diện bằng các đường chấm).

Minh họa của D. Grishukova

Có thể ném boomerang để nó quay trở lại mà không chạm vào bất kỳ bề mặt cứng nào. Có thể ném một quả bóng tennis như vậy không?

22

KVANT 2017/№7

Có thời, các bà già thường bán hạt hướng dương đựng trong những chiếc túi nhỏ cuộn lại từ giấy báo. Và trong các cửa hàng tạp hóa lớn, trước khi phát minh ra túi nhựa, bánh quy gừng, kẹo, mì ống và các sản phẩm khác được treo trong những chiếc túi nhỏ. Bây giờ, hãy dán hai hình nón giống hệt nhau với đế của chúng và sử dụng thân kết quả làm cặp bánh xe, đặt trục của hình nón vuông góc với đường ray (hình 3). Đồng thời, trên thực tế

Hình 5

lei được coi là không đổi. Bây giờ hãy để các đường ray phân kỳ, đường ray ngày càng rộng hơn và lúc đầu bánh xe nằm ở phần hẹp (hình6). Nếu như

Hình 3

kết quả không chỉ là một cặp bánh xe mà là vô số cặp bánh xe có bán kính khác nhau. Thật vậy, giả sử có hai cặp đường ray trên máy bay - với khổ hẹp và khổ rộng. Hãy đặt bánh xe của chúng ta trên một đường ray, rồi trên một đường ray khác (hình4). Tất nhiên, giữa các ray phải có rãnh, rãnh lõm (giống như rãnh

Hình 4

có sẵn trong tàu điện ngầm). Một phần bánh xe của chúng ta có thể chìm vào chỗ trũng này. Nếu đường hẹp thì bánh xe có bán kính R lớn hơn sẽ lăn dọc theo đường đó, còn nếu đường rộng thì bánh xe có bán kính r nhỏ hơn sẽ lăn dọc theo đường đó. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào bánh xe của chúng ta từ bên cạnh (hình5). Tâm của các bánh xe có độ cao H so với khổ hẹp và ở độ cao h so với khổ rộng, đồng thời H > h. Cho đến nay, chiều rộng của đồng ngang

Hình 6

Nếu bạn buông bánh xe như vậy ra, nó sẽ lăn về phía phần rộng. Trong trường hợp này, trọng tâm của bánh xe sẽ hạ xuống. Tình huống này được sử dụng để chứng minh nghịch lý cơ học phổ biến. Trong trường hợp ở hình 6, đường ray bên phải (trong phần rộng của đường ray) có thể được nâng lên một chút nhưng sao cho bánh xe vẫn lăn từ trái sang phải. Trong trường hợp này, người quan sát bên ngoài sẽ thấy rằng bánh xe đang lăn lên trên, trái với mọi định luật cơ học! Rõ ràng là không có mâu thuẫn ở đây - trọng tâm của bánh xe tiếp tục rơi và bánh xe lăn xuống dọc theo hai đường ray, mỗi đường ray đi lên. Tóm lại, một câu hỏi. Hãy để đường ray tô màu cho bánh xe của chúng ta lăn dọc theo chúng. Nếu chiều rộng rãnh không đổi thì trên bề mặt của hai hình nón ta có hai hình tròn. Đường đua sẽ như thế nào nếu chiều rộng đường đua thay đổi?

27

TOÁN HỌC

VÒNG TRÒN

những thứ kia. có một mặt phẳng thuộc về mỗi siêu mặt phẳng. 3. Nếu một đường thẳng không thuộc một mặt phẳng có điểm chung với nó thì tồn tại một siêu phẳng duy nhất chứa đường thẳng này và mặt phẳng này. Nó suy ra trực tiếp từ những tiên đề này. bốn điểm không thuộc cùng một mặt phẳng xác định một siêu phẳng; Tương tự như vậy, ba đường thẳng không thuộc cùng một mặt phẳng nhưng có một điểm chung hoặc hai mặt phẳng khác nhau có một đường thẳng chung thì xác định một siêu phẳng. Chúng tôi sẽ không chứng minh những tuyên bố này; cố gắng tự làm điều đó. Để suy luận sâu hơn, chúng ta cần một thực tế sau đây, vốn đúng trong không gian bốn chiều: ba siêu phẳng khác nhau có một điểm chung thì có một đường thẳng chung. Trên thực tế, theo Tiên đề 2, hai siêu phẳng bất kỳ trong ba siêu phẳng đều có một mặt phẳng chung. Chúng ta hãy lấy hai mặt phẳng mà một trong ba siêu mặt phẳng giao nhau với hai mặt phẳng còn lại. Hai mặt phẳng này thuộc cùng một siêu phẳng - đa tạp ba chiều, có một điểm chung và do đó cắt nhau theo một đường thẳng hoặc trùng nhau.

Tóm lại, tôi muốn cảnh báo người đọc: bạn không nên quá tin tưởng vào “trực giác ba chiều” của mình khi nói đến không gian bốn chiều. Bạn nghĩ một khối đa diện lồi có thể có bao nhiêu đỉnh mà mỗi đoạn nối hai đỉnh bất kỳ của nó là một cạnh? Trên mặt phẳng chỉ có hình tam giác mới có tính chất này; trong không gian, một tứ diện có tính chất này. Trong không gian bốn chiều,

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh khẳng định của chúng ta. Nếu ba mặt phẳng được đề cập trong điều kiện nằm trong không gian bốn chiều thì phát biểu sẽ hiển nhiên. Thật vậy, mỗi góc tam diện xác định một siêu phẳng. Hai siêu phẳng cắt nhau trong một mặt phẳng. Mặt phẳng này không thuộc siêu phẳng thứ ba (theo điều kiện, các siêu mặt phẳng này cắt một trong các mặt phẳng này dọc theo ba đường thẳng không đi qua một điểm) và do đó cắt chúng theo một đường thẳng. Ba mặt tương ứng của các góc tam diện đều nằm trong cùng một siêu mặt phẳng, được xác định bởi hai mặt phẳng chứa các cạnh tương ứng, và do đó mỗi bộ ba mặt tương ứng có một điểm chung. Ba điểm này thuộc về ba siêu mặt phẳng được xác định bởi các góc tam diện và đã được chứng minh là nằm trên cùng một đường thẳng. Bây giờ, để hoàn thành chứng minh, chỉ cần “nhìn thấy” trong điều kiện này bài toán hình chiếu của cấu hình bốn chiều tương ứng của các mặt phẳng và các góc tam diện là đủ.

1. Bốn người đi bộ A, B, C, D đang đi dọc theo bốn mặt phẳng thẳng với vận tốc không đổi. Biết người đi bộ A, B và C gặp nhau, người đi bộ D gặp A và B. Chứng minh người đi bộ C và D gặp nhau. 2. Cho ba đường tròn rời nhau trên một mặt phẳng. Xét sáu điểm, mỗi điểm là giao điểm của các tiếp tuyến chung trong hoặc tiếp tuyến chung ngoài với một số hai đường tròn đã cho. Chứng minh rằng sáu điểm này nằm trên bốn đường thẳng, mỗi đường ba điểm. 3. Cho ba đường thẳng song song và ba điểm trên một mặt phẳng. Xây dựng một tam giác có các đỉnh nằm trên các đường thẳng cho trước và các cạnh đi qua các điểm đã cho. 4. Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Chúng ta hãy lấy một đường tròn tùy ý đi qua A và B và vẽ hai tiếp tuyến với nó từ C - SM và SM. Chứng minh rằng giao điểm của MN và AB không đổi. 5. Cho A là một điểm nằm trong một đường tròn cho trước, BC là một dây cung tùy ý đi qua A. Các tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B và C cắt nhau tại điểm M. Tìm quỹ tích các điểm M. 6. Chứng minh rằng trong không gian bốn chiều, hai mặt phẳng có thể cắt nhau tại một điểm.

Hình 9

Có những khối đa diện như vậy với số lượng đỉnh lớn tùy ý (ví dụ, xem hình9).

Bài tập