Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →
4
KVANT 2017/№7
Tại sao chúng ta học toán?
Bản thân các nhà toán học nghĩ gì về điều này?
V. ARNOLD
TẠI SAO BẠN NÊN NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC? Vào năm 1267, nhà triết học người Anh Roger Bacon đã trả lời câu hỏi này: “Người không biết toán thì không thể học bất kỳ môn khoa học nào khác và thậm chí không thể bộc lộ sự thiếu hiểu biết của mình”. Trên thực tế, đây có thể là phần cuối của bài giảng, nhưng mọi người nghĩ rằng có lẽ điều gì đó đã thay đổi trong bảy thế kỷ… Hãy lắng nghe bằng chứng hiện đại hơn - một trong những người tạo ra cơ học lượng tử, Paul Dirac, tuyên bố rằng khi xây dựng một lý thuyết vật lý, “người ta không nên tin vào tất cả các khái niệm vật lý”. Tin tưởng vào điều gì? “Hãy tin vào một sơ đồ toán học, ngay cả khi thoạt nhìn nó không liên quan đến vật lý.” Thật vậy, tất cả các khái niệm vật lý thuần túy của đầu thế kỷ này đã bị vật lý loại bỏ, và các mô hình toán học được các nhà vật lý áp dụng đang dần dần có được nội dung vật lý. Và điều này cho thấy sự ổn định của toán học. Vì vậy, mô hình toán học là một phương pháp kiến thức hiệu quả trong khoa học tự nhiên. Chúng ta sẽ tiếp cận các mô hình toán học từ một góc độ khác, xem xét các vấn đề trong giáo dục toán học.
Viện sĩ Vladimir Igorevich Arnold đã có bài giảng về chủ đề này vào ngày 16 tháng 4 năm 1992 tại Viện Đào tạo Nâng cao Công nhân Giáo dục của Đảng Cộng hòa (Moscow). Bản ghi âm bài giảng do Phó giáo sư Yu cung cấp cho chúng tôi. Fominykh (Perm). Bài viết này được xuất bản lần đầu vào «Kvant» số 1/2 năm 1993.
Trong nền giáo dục toán học của chúng tôi (cả trung học và cao hơn), chúng tôi đi theo bước chân của hệ thống châu Âu, dựa trên “Bourbakization” của toán học. Một nhóm các nhà toán học trẻ người Pháp, dưới bút danh Nicolas Bourbaki, đã xuất bản một số cuốn sách bắt đầu từ năm 1939 trong đó chính thức (tức là sử dụng phương pháp tiên đề) trình bày các nhánh chính của toán học hiện đại dựa trên lý thuyết tập hợp. Việc hình thức hóa toán học cũng dẫn tới sự hình thức hóa nhất định trong việc giảng dạy môn toán. Đây là nơi thể hiện chi phí của việc “tiêu hóa” giáo dục toán học. Một ví dụ điển hình. Học sinh lớp 2 một trường học ở Pháp được hỏi câu hỏi: “Hai cộng ba bằng mấy?” Đáp số: – Vì phép cộng có tính giao hoán nên nó sẽ là ba cộng hai. Tuyệt vời đáp số! Điều này hoàn toàn đúng, nhưng học sinh thậm chí không nghĩ đến việc cộng hai số này, bởi vì khi dạy, người ta nhấn mạnh vào các tính chất của phép tính. Châu Âu đã nhận ra những thiếu sót của cách tiếp cận giáo dục này và quá trình “bourbakization” đã bắt đầu quay trở lại. Trong những năm gần đây, quá trình Mỹ hóa giáo dục toán học đang diễn ra ở nước ta. Nó dựa trên nguyên tắc: dạy những gì cần thiết cho việc thực hành. Và nếu ai đó nghĩ rằng anh ta không cần toán học, thì anh ta có thể không học môn này nữa. Ở trường trung học ở các trường cao đẳng Mỹ
5
VÌ
CÁI GÌ
CHÚNG TÔI
HÃY HỌC
Khóa học toán này là tùy chọn: chẳng hạn, một phần ba học sinh trung học không học đại số. Ví dụ sau đây cho thấy điều này dẫn đến điều gì. Bài kiểm tra dành cho học sinh Mỹ 14 tuổi được yêu cầu ước tính (không phải tính toán mà chỉ ước tính) điều gì sẽ xảy ra với số 120 nếu chiếm 80% trong số đó. Và ba lựa chọn được đưa ra đáp số: tăng lên; vẫn như cũ; giảm đi. Khoảng 30% số người được hỏi đặt hình chữ thập đối diện với đáp số đúng. Nói cách khác, học sinh đặt các dấu chéo một cách ngẫu nhiên. Kết luận: không ai biết gì cả. Đặc điểm thứ hai trong phương pháp dạy toán của Mỹ là tin học hóa. Bản thân niềm đam mê máy tính không góp phần phát triển tư duy. Đây là một ví dụ khác từ một bài kiểm tra của Mỹ: có 26 học sinh trong một lớp. Bạn cần đưa họ đi tham quan bằng ô tô. Một phụ huynh và 4 học sinh có thể đi trên một ô tô. Bạn nên nhờ bao nhiêu phụ huynh giúp đỡ? Điển hình đáp số: 65 phụ huynh. Máy tính xuất ra: 26:4 = 6.5. Chà, học sinh đã biết rằng nếu lời giải phải chứa số nguyên, thì cần phải làm gì đó với dấu thập phân, chẳng hạn như bỏ đi. Đây là một ví dụ từ kỳ thi đại học ở Mỹ năm 1992: “Điều nào sau đây giống nhất với mối quan hệ giữa góc và độ: a) thời gian và giờ, b) sữa và lít, c) diện tích và inch vuông (v.v.).” Đáp số: diện tích và inch vuông, vì độ là đơn vị tối thiểu của góc và inch vuông là diện tích, trong khi giờ cũng được chia thành phút. Những người biên soạn bài toán này rõ ràng đã được đào tạo bằng tiếng Mỹ Tôi e rằng chúng ta cũng sẽ đạt đến trình độ này.
Giáo sư số 1 New York Joe Bierman giải thích với tôi rằng đối với ông, với tư cách là một người Mỹ, cái “đúng” lời giải của bài toán này là khá rõ ràng. “Vấn đề là,” anh ấy nói, “là tôi có thể tưởng tượng chính xác mức độ ngu ngốc của những người biên soạn những bài toán này.”
TOÁN HỌC?
Người ta chỉ có thể ngạc nhiên khi có rất nhiều nhà toán học và vật lý tuyệt vời ở Hoa Kỳ (mặc dù nhiều người trong số họ là người nhập cư; những sinh viên giỏi nhất tại các trường đại học Mỹ ngày nay là người Trung Quốc). Bây giờ giáo dục toán học của chúng ta đang dần chuyển từ hệ thống châu Âu sang hệ thống Mỹ. Như mọi khi, chúng ta chậm trễ, chúng ta đi sau châu Âu 30 năm, và chúng ta phải sẵn sàng cứu vãn tình hình trong 30 năm nữa và thoát ra khỏi ngõ cụt mà quá trình Mỹ hóa giáo dục với chủ nghĩa thực dụng, tính tùy chọn và tin học hóa rộng rãi sẽ dẫn chúng ta đến. Việc giảng dạy toán học trong nước truyền thống của chúng tôi có trình độ cao hơn và dựa trên văn hóa số học bài toán. Cho đến hai thập kỷ trước, các gia đình vẫn giữ lại “thương gia” cũ bài toán. Bây giờ nó đã bị mất. Việc đại số hóa trong cải cách giảng dạy toán học mới nhất biến học sinh thành máy tự động. Cụ thể, phương pháp số học thể hiện ý nghĩa của môn toán mà chúng tôi dạy. Ví dụ: hãy xem xét bài toán: 1. Có 3 quả táo, 1 quả đã được lấy. Còn lại bao nhiêu? 2. Bạn cần thực hiện bao nhiêu lần cắt để khúc gỗ có thể chia thành 3 phần? 3. Tôi có nhiều hơn anh trai 3 chị gái. Trong gia đình chúng ta có bao nhiêu chị em gái nhiều hơn anh em trai? Từ quan điểm của số học, tất cả những thứ này đều khác nhau bài toán - chúng có nội dung khác nhau. Nỗ lực trí tuệ cần thiết cho lời giải những bài toán này là hoàn toàn khác nhau, mặc dù mô hình đại số giống nhau: 3 – 1 = 2. Điều nổi bật nhất về toán học là tính phổ biến đáng kinh ngạc của các mô hình và tính hiệu quả không thể hiểu nổi của chúng trong các ứng dụng. Chúng ta hãy nhớ đến V.V. Mayakovsky: “Người đầu tiên phát biểu rằng “hai và hai là bốn” là một nhà toán học vĩ đại, ngay cả khi ông ấy tiếp thu chân lý này từ việc cộng hai tàn thuốc với hai tàn thuốc. Tất cả những người sau này, ngay cả khi họ cộng những thứ lớn hơn vô cùng, chẳng hạn như đầu máy hơi nước với đầu máy hơi nước, đều không phải là nhà toán học.”
6
KVANT 2017/№7
Đếm đầu máy xe lửa là phương pháp giáo dục toán học của người Mỹ. Đây là cái chết. Ví dụ về sự phát triển của vật lý cho thấy toán học “đầu máy” vào đầu thế kỷ chúng ta hóa ra còn tệ hơn toán học “đầu thuốc lá”: toán học ứng dụng không theo kịp vật lý, nhưng toán học lý thuyết đã tìm ra mọi thứ cần thiết cho sự phát triển hơn nữa của vật lý. Toán học “đầu máy” không thể theo kịp thực hành: khi chúng ta đang học đếm trên bàn tính thì máy tính xuất hiện. Chúng ta cần dạy cách suy nghĩ chứ không phải cách nhấn nút. Đúng là một mô hình toán học không phải lúc nào cũng mang lại kết quả thực tế ngay lập tức. Nó xảy ra rằng nó sẽ chỉ hữu ích sau hai nghìn năm. Một ví dụ về điều này là các phần hình nón, chúng được phát hiện ở Hy Lạp cổ đại và được Apollonius của Perga (khoảng năm 260 - khoảng năm 170 trước Công nguyên) mô tả trong một chuyên luận gồm 8 tập. Và Johannes Kepler cần đến lý thuyết này vào thế kỷ 16, khi ông suy ra các định luật về chuyển động của hành tinh. Thầy của ông, Tycho Brahe tại Đài quan sát Uraniborg đã đo đạc tỉ mỉ vị trí của các hành tinh trong hệ mặt trời trong 20 năm. Sau cái chết của người thầy của mình, Kepler bắt đầu xử lý toán học các kết quả của những quan sát này và phát hiện ra rằng, ví dụ, quỹ đạo của Sao Hỏa là một hình elip. Hình elip là quỹ tích các điểm trên mặt phẳng, tổng khoảng cách từ đó đến hai điểm cho trước, gọi là tiêu điểm, không đổi. Việc tiết diện một hình nón bởi một mặt phẳng đủ nghiêng với trục của nó là một hình elip là một định lý hình học đáng chú ý, thật không may, định lý này không thể được chứng minh ở trường. Chứng minh của nó rất đơn giản (hình 1). Các quả cầu nội tiếp trong một hình nón và tiếp xúc với mặt phẳng (tại tiêu điểm E và F của hình elip), làm cơ sở cho chứng minh, được gọi là các quả cầu Dandelin. Để hiểu lập luận của Kepler, chúng ta cần một số dữ kiện đơn giản về hình học của hình elip. Độ dài bán trục lớn của hình elip OK (hình 2), thường được ký hiệu là a, bằng độ dài
Hình 1. Hình elip có tiêu điểm F và E và hình cầu Bồ công anh
cạnh huyền EL của tam giác có hai chân b = |OL| (bán trục) và c = |EO|. Tỷ lệ c a đặc trưng cho hình dạng của hình elip và được gọi là độ lệch tâm, do đó
Hình 2. Tiêu điểm, bán trục và độ lệch tâm của hình elip
tỉ lệ thuận với độ dịch chuyển của các tiêu điểm so với tâm của hình elip. Độ lệch tâm thường được ký hiệu bằng chữ e. Theo định lý Pythagore, tỷ lệ độ dài các bán trục của hình elip là
cho e nhỏ. Điều này cho thấy rằng một hình elip có độ lệch tâm nhỏ trên thực tế không thể phân biệt được với một hình tròn. Ví dụ: nếu e = 0,1 thì trục nhỏ ngắn hơn trục chính chỉ 1.200. Đối với một hình elip có chiều dài trục chính là 1 mét, trục phụ ngắn hơn trục chính chỉ nửa centimet, do đó có thể nhìn thấy sự khác biệt bằng mắt
7
VÌ
CÁI GÌ
CHÚNG TÔI
HÃY HỌC
một hình elip như vậy từ một vòng tròn nói chung là không thể nhận thấy được. Các tiêu điểm được dịch chuyển khỏi tâm 5 cm, điều này rất đáng chú ý.
Công thức (có nghĩa là cạnh dài hơn của một tam giác vuông thon dài gần bằng cạnh huyền và cho biết hiệu độ dài của chúng với một giá trị gần đúng rất tốt) là một trong những sự thật toán học tổng quát đáng chú ý nhất (thật không may, điều này không được dạy ở trường). Ví dụ: giả sử bạn lái xe về nhà theo hình sin. Con đường của bạn dài hơn bao nhiêu so với khi bạn đi thẳng (hình3)? Ấn tượng đầu tiên
Hình 3. Sóng hình sin dài hơn đường thẳng bao nhiêu?
(gấp đôi) tất nhiên là phóng đại chiều dài. Tuy nhiên, dường như đường đi dọc theo hình sin dài hơn gấp rưỡi. Thực tế chỉ khoảng 20%. Nguyên nhân là do hầu hết các hình sin hơi nghiêng về trục nên các cạnh huyền tương ứng thực tế không dài hơn hai chân. Đây là một ứng dụng khác của cùng một công thức. Dòng phản lực của động cơ phản lực đầu tiên được lắp trên cánh máy bay gần thân máy bay gây nguy hiểm cho phần đuôi. Các nhà thiết kế, những người biết và cảm nhận được công thức đang được thảo luận, đã quay động cơ một góc nhỏ A (hình 4).
Hình 4. Cách cứu bộ phận đuôi
TOÁN HỌC?
Phần đuôi đã được giữ lại (độ lệch của tia phản lực tỷ lệ với A) và lực đẩy tạo ra hầu như không thay đổi (mất , trong đó A là góc tính bằng radian; đối với góc 3o, chỉ mất khoảng 1.800 công suất). Hãy quay lại với Kepler. Lúc đầu Kepler nghĩ rằng quỹ đạo của Sao Hỏa là một hình tròn. Tuy nhiên, Mặt trời hóa ra không ở trung tâm mà dịch chuyển khoảng 1 10 phần bán kính. Nhưng Kepler không dừng lại ở kết quả (vốn đã đáng chú ý) này - bởi vì ông biết lý thuyết về đường cô-nic. Kepler biết rằng một hình elip có độ lệch tâm nhỏ rất giống với một hình tròn, và ông đã kiểm tra xem độ lệch nhỏ của quỹ đạo so với hình tròn vẫn hoạt động như thế nào. Điều thú vị là điều này chỉ có thể thực hiện được nhờ vào độ chính xác đặc biệt trong các quan sát của Tycho Brahe được thực hiện bằng mắt thường. Vào thời đó, các nhà thiên văn học không thực sự tin tưởng vào kính thiên văn, và thậm chí vào cuối thế kỷ 17 người ta đã phải chứng minh rằng các quan sát bằng kính thiên văn có thể đạt được độ chính xác cao như quan sát bằng mắt thường. Vật lý mới thường bắt đầu bằng việc sàng lọc chữ số có nghĩa cuối cùng của một lý thuyết trước đó - nếu Kepler hài lòng với quỹ đạo tròn lệch tâm của mình, hoặc nếu những quan sát của Tycho Brahe kém chính xác hơn, thì sự phát triển của cơ học thiên thể (và có lẽ là toàn bộ vật lý lý thuyết) có thể đã bị trì hoãn - thậm chí có thể trong nhiều thế kỷ. Quỹ đạo của Sao Hỏa hóa ra hơi dẹt theo hướng vuông góc với đường kính mà Mặt trời nằm - khoảng nửa phần trăm, tức là đến . Đây là cách Kepler nảy ra ý tưởng về quỹ đạo hình elip của các hành tinh. Nếu lý thuyết về đường conic không được các nhà toán học phát triển trước thì các định luật cơ bản của tự nhiên sẽ không được khám phá kịp thời, khoa học và công nghệ hiện đại sẽ không ra đời, và nền văn minh của chúng ta sẽ vẫn ở cấp độ thời trung cổ - hoặc ít nhất, các con đường lịch sử sẽ hoàn toàn khác.
8
KVANT 2017/№7
Kepler đã phát hiện ra định luật chuyển động của các hành tinh, nhưng việc chúng chuyển động theo hình elip đã được Isaac Newton chứng minh trong cuốn sách “Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên” (1687), làm cơ sở cho mọi vật lý lý thuyết hiện đại. Ông thu được tính chất elip của quỹ đạo hành tinh nhờ hệ quả của định luật vạn vật hấp dẫn. Lưu ý rằng trước Newton, vấn đề này đã được Robert Hooke cùng thời với ông giải quyết. Ông nghiên cứu định luật chuyển động của vật thể trong trường hấp dẫn, tin rằng lực hút tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Sau khi tích phân gần đúng phương trình chuyển động, Hooke vẽ các quỹ đạo và thấy rằng chúng trông giống như các hình elip. Sự trung thực về mặt khoa học không cho phép ông gọi chúng là hình elip, và ông không thể chứng minh tính chất elip. Do đó, Hooke gọi quỹ đạo là hình elip và đề nghị Newton chứng minh rằng định luật thứ nhất của Kepler (các hành tinh chuyển động theo hình elip) tuân theo định luật nghịch đảo bình phương. Newton, người hiểu rõ lý thuyết cổ xưa về mặt cắt hình nón, đã giải quyết nhiệm vụ này với sự trợ giúp của các công trình hình học cơ bản khéo léo. Sau đó, các đường cong bậc hai bắt đầu xuất hiện ngày càng thường xuyên hơn trong nghiên cứu khoa học tự nhiên. Tại sao mô hình này lại mang lại hiệu quả ứng dụng cao đến vậy? Đặc biệt tại sao mô hình tiết diện hình nón lại mô tả chuyển động của các hành tinh? Chủ nghĩa thần bí. Bí ẩn. Không có Đáp số cho câu hỏi này. Chúng tôi tin vào sức mạnh của khoa học hợp lý. Newton đã nhìn thấy trong bằng chứng này về sự tồn tại của Chúa: “Sự kết hợp duyên dáng nhất giữa Mặt trời, các hành tinh và sao chổi như vậy không thể xảy ra ngoại trừ ý định và sức mạnh của một sinh vật mạnh mẽ và khôn ngoan… Đấng này cai trị mọi thứ không phải với tư cách là linh hồn của thế giới, mà với tư cách là người cai trị Vũ trụ, và bởi quyền thống trị của Ngài nên được gọi là Chúa là Đức Chúa Trời Toàn năng.” Các nhà nghiên cứu vũ trụ hiện đại khi thiết kế việc phóng vệ tinh nhân tạo cũng sử dụng tính chất của mặt cắt hình nón. Như vậy, cơ sở
vật lý thời gian và cuộc cách mạng khoa học và công nghệ đã được đặt ra bởi tác phẩm cổ điển của Apollonius. Trong khi nghiên cứu các đường conic, anh chỉ nghĩ về vẻ đẹp của mô hình toán học này. Một ví dụ khác là lịch sử tạo ra máy tính. Rất lâu trước khi xuất hiện những chiếc máy tính đầu tiên trong toán học, hai thành phần toán học chính của chúng đã được chuẩn bị: logic toán học (đại số logic được phát triển bởi George Boole, 1815–1864) và sơ đồ mạch của máy tính. Máy cộng đầu tiên được thiết kế vào năm 1641 bởi nhà toán học người Pháp Blaise Pascal. Ví dụ thứ ba là sự phát triển cơ học sóng của E. Schrödinger. Vào thời điểm Schrödinger chuyển sang rung động bài toán, phiên bản ma trận của cơ học lượng tử của W. Heisenberg đã được biết đến. Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để thu được từ lý thuyết sóng trong mọi không gian một phổ rời rạc thay vì một phổ liên tục? Schrödinger được nhà toán học nổi tiếng người Đức Hermann Weil giúp đỡ. Nếu không có kết quả của ông về lý thuyết quang phổ trong khoảng không giới hạn, chúng ta sẽ không bao giờ biết đến phương trình Schrödinger nổi tiếng. Lại câu chuyện tương tự: một nhà toán học được tìm thấy, người đã có sẵn một lý thuyết - điều kiện biên ở vô cực - tất cả những gì còn lại là sử dụng nó.
(Còn tiếp)