4
КВАНТ 2017/№7
Для чего мы изучаем математику?
Что об этом думают сами математики
В.АРНОЛЬД
ДЛЯ ЧЕГО НАДО ИЗУЧАТЬ МАТЕМАТИ- ку? В 1267 году на этот вопрос уже ответил английский философ Роджер Бэкон: «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества». Собственно, на этом можно было бы и закончить лекцию, но люди думают, что, может быть, что-то изменилось за семь веков… Послушаем более современное свидетельство – один из создателей квантовой механики, Поль Дирак, утверждает, что при построении физической теории «следует не доверять всем физическим концепциям». А чему же доверять? «Доверять математической схеме, даже если она, на первый взгляд, не связана с физикой». Действительно, все чисто физические концепции начала века физикой отброшены, а математические модели, взятые физиками на вооружение, постепенно обретают физическое содержание. И в этом проявилась устойчивость математики. Итак, математическое моделирование – продуктивный метод познания в естествознании. Мы подойдем к математическим моделям с другой стороны, рассматривая проблемы математического образования.
С лекцией на эту тему академик Владимир Игоревич Арнольд выступил 16 апреля 1992 года в Республиканском институте повышения квалификации работников образования (Москва). Запись лекции нам предоставил доцент Ю.Фоминых (Пермь). Впервые эта статья была опубликована в «Кванте» №1/2 за 1993 год.
В нашем математическом образовании (и среднем, и высшем) мы идем в фарватере европейской системы, основанной на «бурбакизации» математики. Группа молодых французских математиков, выступавшая под псевдонимом Никола Бурбаки, начиная с 1939 года опубликовала несколько книг, в которых формально (т.е. с помощью аксиоматического метода) излагались основные разделы современной математики на основе теории множеств. Формализация математики приводит и к определенной формализации ее преподавания. В этом и проявляются издержки «бурбакизации» математического образования. Характерный пример. Ученикам второго класса во французской школе задают вопрос: – Сколько будет два плюс три? Ответ: – Так как сложение коммутативно, то будет три плюс два. Замечательный ответ! Он совершенно правильный, но ученику и в голову не приходит сложить эти два числа, потому что при обучении упор делается на свойства операций. В Европе уже осознали недостатки такого подхода к образованию, и начался откат от «бурбакизации». В нашей стране в последние годы происходит американизация математического образования. В ее основе лежит принцип: учить тому, что нужно для практики. А если кто-то считает, что ему математика не нужна, то он может не изучать ее совсем. В старших классах американских коллед-
5
ДЛЯ
ЧЕГО
МЫ
ИЗУЧАЕМ
жей курс математики факультативен: третья часть старшеклассников, например, не изучает алгебру. К чему это приводит, показывает следующий пример. В тесте для 14-летних американских школьников предлагалось оценить (не вычислить, а лишь оценить), что произойдет с числом 120, если от него взять 80%. И предлагалось три варианта ответа: увеличилось; осталось прежним; уменьшилось. Крестики напротив правильного ответа поставили примерно 30% опрашиваемых. Иными словами, школьники ставили крестики наудачу. Вывод: никто ничего не знает. Вторая особенность американского подхода к преподаванию математики – его компьютеризация. Само по себе увлечение компьютерами не способствует развитию мышления. Вот еще пример из американского теста: в классе 26 учеников. С ними нужно провести экскурсию на автомобилях. В одной машине могут ехать один родитель и 4 школьника. Сколько родителей нужно попросить помочь? Типичный ответ: 65 родителей. Компьютер выдает: 26: 4 = 6,5. Ну а школьник уже знает, что если в решении должны быть целые числа, то с десятичной запятой надо что-то сделать, например отбросить. А вот пример из официального американского экзамена 1992 года для студентов: «Что из нижеследующего больше всего походит на соотношение между углом и градусом: а) время и час, б) молоко и кварта, в) площадь и квадратный дюйм (и т.д.)». Ответ: площадь и квадратный дюйм, так как градус – минимальная единица угла, а квадратный дюйм – площади, в то время как час делится еще и на минуты. Составители этой задачи явно обучены по американской Боюсь, что и мы придем к этому уровню.
1 Нью-Йоркский профессор Джо Бирман объяснил мне, что для него как американца «правильное» решение этой задачи совершенно очевидно. «Дело в том, – сказал он, – что я точно представляю себе степень идиотизма составителей этих задач».
МАТЕМАТИКУ?
Можно только удивляться, что в США так много замечательных математиков и физиков (правда, многие из них иммигранты; лучшие студенты в американских университетах сегодня – китайцы). Сейчас наше математическое образование медленно поворачивается от европейской системы к американской. Как всегда, мы опаздываем, отстаем от Европы лет на 30, и надо быть готовыми к тому, чтобы через 30 лет спасать ситуацию и выходить из этого тупика, в который нас приведет американизация образования с ее прагматичностью, факультативностью, повальной компьютеризацией. Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет назад в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим. Рассмотрим, например, задачи: 1. Имеется 3 яблока, 1 взяли. Сколько осталось? 2. Сколько нужно сделать распилов, чтобы бревно распалось на 3 части? 3. У меня сестер на 3 больше, чем братьев. На сколько в нашей семье сестер больше, чем братьев? С точки зрения арифметики это все разные задачи – у них разное содержание. Интеллектуальные усилия, нужные для решения этих задач, совершенно разные, хотя алгебраическая модель одна: 3 – 1 = 2. В математике прежде всего поражает удивительная универсальность ее моделей и их непостижимая эффективность в приложениях. Вспомним В.В.Маяковского: «Человек, впервые сформулировавший, что «два и два четыре», – великий математик, если даже он получил эту истину из складывания двух окурков с двумя окурками. Все дальнейшие люди, хотя бы они складывали неизмеримо бульшие вещи, например паровоз с паровозом, – не математики».
6
КВАНТ 2017/№7
Считать паровозы – это и есть американский путь математического образования. Это гибель. Пример с развитием физики показывает, что «паровозная» математика в начале нашего века оказалась хуже «окурочной»: прикладная математика не успевала за физикой, а в теоретической нашлось все, что необходимо было для дальнейшего развития физики. «Паровозная» математика не может успеть за практикой: пока мы учим считать на счетах, появляются компьютеры. Надо учить думать, а не тому, как нажимать на кнопки. Правда, математическая модель не всегда дает немедленную практическую отдачу. Бывает, что она окажется полезной только через две тысячи лет. Примером тому – конические сечения, они были открыты в Древней Греции и описаны Аполлонием Пергским (ок. 260 – ок. 170 до н.э.) в 8-томном трактате. А понадобилась эта теория Иоганну Кеплеру в XVI веке, когда он выводил законы движения планет. Его учитель Тихо Браге в обсерватории «Ураниборг» в течение 20 лет скрупулезно измерял положения планет Солнечной системы. После смерти учителя Кеплер взялся за математическую обработку результатов этих наблюдений и обнаружил, что, например, траектория движения Марса – эллипс. Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, постоянна. Тот факт, что сечение конуса плоскостью, достаточно сильно наклоненной к его оси, является эллипсом, – замечательная геометрическая теорема, к сожалению, не доказываемая в школе. Доказательство ее очень простое (рис. 1). Вписанные в конус и касающиеся плоскости (в фокусах Е и F эллипса) сферы, на рассмотрении которых основано доказательство, называются сферами Данделена. Чтобы понять рассуждения Кеплера, нам потребуются некоторые простые факты из геометрии эллипса. Длина большой полуоси эллипса ОK (рис. 2), обычно обозначаемая через а, равна длине
Рис. 1. Эллипс с фокусами F и E и сферы Данделена
гипотенузы EL треугольника с катетами b = |OL| (малая полуось) и с = |EO|. Отношение c a характеризует форму эллипса и называется эксцентриситетом, так
Рис. 2. Фокусы, полуоси и эксцентриситет эллипса
как пропорционально смещению фокусов от центра эллипса. Эксцентриситет обычно обозначается буквой е. По теореме Пифагора отношение длин полуосей эллипса есть
при малых e. Отсюда видно, что эллипс с малым эксцентриситетом практически неотличим от окружности. Например, если е = 0,1, то малая ось короче большой всего на 1 200. Для эллипса с длиной большой оси 1 метр малая ось короче большой всего на полсантиметра, так что на глаз отличие
7
ДЛЯ
ЧЕГО
МЫ
ИЗУЧАЕМ
такого эллипса от окружности вообще незаметно. Фокусы же смещены от центра на 5 сантиметров, что очень заметно.
Формула (означающая, что больший катет вытянутого прямоугольного треугольника практически столь же длинен, как и гипотенуза, и дающая с очень хорошим приближением разность их длин) – один из самых замечательных общематематических фактов (к сожалению, в школе этому не учат). Например, предположим, что вы возвращаетесь домой по синусоиде. На сколько ваш путь длиннее, чем если бы вы шли прямо (рис. 3)? Первое впечатление
Рис. 3. На сколько синусоида длиннее прямой?
(что вдвое), конечно, преувеличивает длину. Все же кажется, что путь по синусоиде длиннее раза в полтора. На самом деле всего примерно на 20%. Причина в том, что большая часть синусоиды слабо наклонена к оси, поэтому соответствующие гипотенузы практически не длиннее катетов. Вот еще одно применение той же формулы. Реактивные струи первых реактивных двигателей, установленные на крыльях самолета вблизи фюзеляжа, представляли опасность для хвостового оперения. Конструкторы, знавшие и чувствовавшие обсуждаемую формулу, повернули двигатели на небольшой угол A (рис. 4).
Рис. 4. Как спасти хвостовое оперение
МАТЕМАТИКУ?
Хвостовое оперение было спасено (отклонение струи пропорционально A ), а результирующая сила тяги практически не изменилась (потеря , где A – угол в радианах; для угла в 3o теряется всего порядка 1 800 мощности). Вернемся к Кеплеру. Сначала Кеплер думал, что орбита Марса – окружность. Однако Солнце оказалось не в центре, а сдвинутым примерно на 1 10 часть радиуса. Но Кеплер не остановился на этом (уже замечательном) результате – потому что он знал теорию конических сечений. Кеплер знал, что эллипс с малым эксцентриситетом очень похож на окружность, и проверил, как ведет себя то небольшое отклонение орбиты от окружности, которое еще оставалось. Интересно, что сделать это можно было только благодаря исключительной точности наблюдений Тихо Браге, сделанных невооруженным глазом. В те времена астрономы не очень доверяли телескопам, и еще в конце XVII века приходилось доказывать, что телескопические наблюдения могут достигать столь же большой точности, как наблюдения невооруженным глазом. Новая физика часто начинается с уточнения последней значащей цифры предыдущей теории – если бы Кеплер удовлетворился своей эксцентрической круговой орбитой или если бы наблюдения Тихо Браге были менее точны, развитие небесной механики (а возможно, и всей теоретической физики) могло бы задержаться – может быть, даже на века. Орбита Марса оказалась слегка сплюснутой в направлении, перпендикулярном диаметру, на котором лежит Солнце, – примерно на полпроцента, т.е. на . Так Кеплер пришел к мысли об эллиптических орбитах планет. Если бы теория конических сечений не была заранее разработана математиками, то фундаментальные законы природы не были бы своевременно открыты, не возникла бы современная наука и технология, а наша цивилизация оставалась бы на средневековом уровне – или, по меньшей мере, пути истории были бы совсем иными.
8
КВАНТ 2017/№7
Кеплер открыл закон движения планет, но тот факт, что они движутся по эллипсам, доказал Исаак Ньютон в своей книге «Математические начала натуральной философии» (1687 г.), которая послужила основой всей современной теоретической физики. Он получил эллиптичность планетных траекторий как следствие закона всемирного тяготения. Заметим, что до Ньютона этой проблемой занимался его современник Роберт Гук. Он изучал закон движения тела в поле тяготения, считая, что притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния. Приближенно проинтегрировав уравнение движения, Гук нарисовал орбиты и увидел, что они похожи на эллипсы. Назвать их эллипсами ему не позволила научная честность, а доказать эллиптичность он не мог. Поэтому Гук назвал траекторию эллиптоидом и предложил Ньютону доказать, что первый закон Кеплера (планеты движутся по эллипсам) следует из закона обратных квадратов. Ньютон, хорошо знавший древнюю теорию конических сечений, справился с этой задачей при помощи хитроумных элементарно-геометрических построений. Впоследствии кривые второго порядка стали все чаще появляться в естественнонаучных исследованиях. Почему эта модель оказалась столь плодотворной для приложений? Почему, в частности, модель сечения конуса описывает движения планет? Мистика. Загадка. Ответа на этот вопрос нет. Мы верим в силу рациональной науки. Ньютон видел в этом доказательство существования Бога: «Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа… Сей управляет всем не как душа мира, а как властитель Вселенной, и по господству своему должен именоваться Господь Бог Вседержитель». Современные исследователи космоса, проектируя запуск искусственных спутников, тоже используют свойства конических сечений. Таким образом база со-
временной физики и научно-технической революции закладывалась и классическим произведением Аполлония. Тогда как он, исследуя конические сечения, думал лишь о красоте данной математической модели. Другой пример – история создания ЭВМ. Задолго до появления первых ЭВМ в математике были заготовлены два их основных математических компонента: математическая логика (алгебру логики разработал Джордж Буль, 1815–1864) и принципиальная схема устройства вычислительной машины. Первую суммирующую машину сконструировал в 1641 году французский математик Блез Паскаль. Третий пример – разработка волновой механики Э.Шредингером. К моменту, когда Шредингер обратился к колебательной задаче, уже был известен матричный вариант квантовой механики В.Гейзенберга. Встал вопрос: как получить из теории волн во всем пространстве дискретный, а не непрерывный спектр? Шредингеру помог известный немецкий математик Герман Beйль. Без его результатов по спектральной теории на неограниченном интервале мы бы никогда не узнали о знаменитом уравнении Шредингера. Опять та же история: нашелся математик, у которого уже была готова теория – граничные условия на бесконечности, – оставалось ее использовать.
(Продолжение следует)