Геометрическая олимпиада имени И. Ф. Шарыгина

ОЛИМПИАДЫ

Геометрическая олимпиада имени И.Ф.Шарыгина

Игорь Федорович Шарыгин был непревзойденным композитором геометрических задач. Его задачи регулярно появлялись в «Кванте» и в «Математике в школе», предлагались на Международных, Всесоюзных и Всероссийских, Московских, Соросовских олимпиадах и еще на десятке олимпиад рангом ниже. Он задал весьма жесткие стандарты при отборе задач на любую олимпиаду. Задача должна быть: а) новой, содержащей свежие идеи; б) нестандартной, разбивающей стереотипы; в) имеющей геометрическое, а не «счетное» решение; г) наконец, задача должна просто быть красивой! Для этого ее автор обязан иметь хороший геометрический вкус. Предпочтение всегда отдавалось задачам, пришедшим из высокой науки, а не специально придуманным. После ухода Игоря Федоровича у его друзей, коллег и учеников родилась идея организовать олимпиаду его имени, которая (по мере сил) должна была соответствовать этим высоким стандартам. Олимпиада проходит ежегодно, начиная с 2005 года, и содержит только геометрические задачи. Однако в ней нет «однобокости», чего опасались скептики. Темы задач, кроме классической геометрии, включают комбинаторную геометрию, экстремальные задачи, задачи «из жизни», задачи с элементами математического анализа. Геометрия оказалась богаче и разнообразнее, чем нам пред-

ставлялось ранее. Целью олимпиады является популяризация геометрии как отдельной науки, а также выявление геометрически одаренных ребят. Среди победителей часто встречаются дети, которые никогда до этого не добивались больших успехов на других, общематематических олимпиадах. Форма проведения олимпиады также соответствует ее геометрической направленности. Первый тур – заочный, где школьникам дается несколько месяцев на неторопливое обдумывание сложных задач. Вариант заочного тура из 20–25 задач (для каждой задачи указываются классы, которым она предназначается) в начале года публикуется на интернет-портале www.geometry.ru. Варианты публикуются на русском и английском языках. Решения можно присылать до начала апреля. Победителей заочного тура приглашают на финальный тур, проходящий в Дубне (Московская область) в конце июля. На финальный тур приглашаются также победители устных геометрических олимпиад, которые проводятся в ряде городов России. Всего в финальном туре принимают участие около 100 школьников 8– 10 классов из более чем 10 стран. Финальный тур проводится в два дня. Каждый день участники решают по 4 задачи. Решение каждой задачи школьник должен защитить сам, объясняя его (устно) членам жюри. Во время финального тура для ребят и их родителей (или учителей) организуются популярные лекции по геометрии, культурная и спортивная программы. В жюри олимпиады входят профессиональные математики, школьные учителя, студенты – победители и призеры олимпиад прошлых лет из России, Украины, Казахстана, Болгарии, Ирана и других стран. Условия и решения задач заочных и финальных туров можно найти на сайте www.geometry.ru. Материалы первых десяти олимпиад были опубликованы в 113 и 134 выпусках «Библиотечки Квант».

36

КВАНТ 2017/№7

15. Дана трапеция ABCD с основанием AD. Центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой BD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABD лежит на прямой AC. XIII-З-8–9, Е.Бакаев

16. На плоскости отмечено несколько точек, причем не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками? XIII-З-8–11, А.Толесников каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки A, B и C (известно, что точка X ни разу не попала на сторону треугольника)? XII-Ф-8, В.Протасов

17. В треугольнике ABC O – центр описанной окружности, I – центр вписанной. Прямая, проходящая через I и перпендикулярная OI, пересекает AB в точке X, а внешнюю биссектрису угла C – в точке Y. В каком отношении I делит отрезок XY? XII-Ф-9, В.Калашников

18. Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник. XII-Ф-9, А.Заславский

19. Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму s и называет 97 троек [ i, j, k ], где i, j, k – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник $A_{1} A_{2}$ … $A_{100}$ с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников $A_{i} A_{j} A_{k}$. При каком наибольшем s Человеку выгодно согласиться? XII-Ф-10, Н.Белухов (Болгария)

20. Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых $A_{0}, B_{0}, C_{0}$ и $D_{0}$ соответственно. Докажите, что отрезки $A_{0} C_{0}$ и $B_{0} D_{0}$ равны. XIII-З-8, Л.Штейнгарц

21. В треугольнике ABC провели чевианы AA a, BB a и CC a, которые пересекаются в точке P. Описанная окружность треугольника PA a B a пересекает прямые AC и BC в точках M и N соответственно, а описанные окружности треугольников PC a B a и PA a C a повторно пересекают AC и BC соответственно в точках K и L. Проведем через середины отрезков MN и KL прямую c. Прямые a и b определяются аналогично. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке. XIII-З-10–11, Д.Прокопенко

22. Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим $y_{b}$ как образ прямой y при симметрии относительно XB, а $y_{c}$ – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть $y_{b}$ и $y_{c}$ пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих $y_{b}$ и $y_{c} ).$ XIII-З-10–11, В.Лучкин, М.Фадин

23. На диагонали AC вписанного четырехугольника ABCD взяли произвольную точку P и из нее опустили перпендикуляры PK, PL, PM, PN, PO на AB, BC, CD, DA, BD соответственно. Докажите, что расстояние от P до KN равно расстоянию от O до ML. XIII-З-10–11, М.Панов

Публикацию подготовил А.Заславский