Заключительный этап XLIII Всероссийской олимпиады школьников по математике

37

ОЛИМПИАДЫ

Заключительный этап XLIII Всероссийской олимпиады школьников по математике

Заключительный этап Всероссийской математической олимпиады школьников прошел в городе Калининграде с 24 по 30 апреля 2017 года. В олимпиаде приняли участие 364 юных математика из более 60 регионов России. Кроме того, традиционно в олимпиаде участвовали гости – команды Китая и Болгарии. Туры олимпиады, а также церемонии открытия и закрытия проводились в здании очень большой, но в то же время уютной и гостеприимной Гимназии №40 имени Ю.А.Гагарина. На олимпиаде работала большая команда волонтеров, которые вместе с оргкомитетом организовали знакомство участников как с памятными местами Калининграда, так и с его живописными окрестностями. Несмотря на то что задания олимпиады этого года были непростыми, в 9 и в 11 классах нашлись участники, сумевшие решить все задачи: девятиклассник Петр Мишура (Санкт- Петербург, ранее – Новосибирск), получивший специальный приз за абсолютный результат, и одиннадцатиклассник Никита Добронравов (Новосибирск), получивший специальный приз за решение самой сложной задачи олимпиады. После туров олимпиады было проведено голосование, в котором участники указали наиболее понравившиеся задачи. В 9 классе тройка лучших по мнению школьников задач это задачи 8 (I место), 3 (II место), 6 (III место); в 10 классе – 7 (I место), 4 (II место), 3 (III место); в 11 классе – 4 (I место), 7 (II место), 3 (III место). По окончании Всероссийской олимпиады была определена команда России на Международную математическую олимпиаду 2017 года, которая пройдет в Рио-де-Жанейро (Бразилия). В нашу сборную вошли пятеро выпускников: Никита Добронравов (Новосибирск),

Георгий Вепрев (Ярославль), Тимофей Зайцев (Москва), Михаил Иванов (Санкт-Петербург) и Кирилл Тыщук (Санкт-Петербург), а также десятиклассник Вадим Ретинский (Москва, ранее – город Ливны Орловской области). Ниже публикуем условия задач и список победителей заключительного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Условия задач

9 класс 1. В стране некоторые пары городов соединены односторонними прямыми авиарейсами (между любыми двумя городами есть не более одного рейса). Скажем, что город A доступен для города B, если из B можно долететь в A, возможно с пересадками. Известно, что для любых двух городов P и Q существует город R, для которого и P, и Q доступны. Докажите, что существует город, для которого доступны все города страны. (Считается, что из города можно долететь до него самого.) В.Дольников

2. См. задачу М2466 «Задачника «Кванта».

3. Сто гномов, веса которых равны 1, 2, 3, …, 100 фунтов, собрались на левом берегу реки. Плавать они не умеют, но на этом же берегу находится гребная лодка грузоподъемностью 100 фунтов. Из-за течения плыть обратно трудно, поэтому у каждого гнома хватит сил грести с правого берега на левый не более одного раза (грести в лодке достаточно любому из гномов; гребец в течение одного рейса не меняется). Могут ли все гномы переправиться на правый берег? А.Шаповалов, С.Усов

38

КВАНТ 2017/№7

4. Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, … натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трех различных членов последовательности? С.Берлов 5. На доске написаны n > 3 различных натуральных чисел, меньших чем n 1! 1 – 2 – … – n 1. Для каждой пары этих чисел Сережа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он получил бы 100 14 – 7 2 и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных. С.Берлов

5. Верно ли, что для любых трех различных натуральных чисел a, b и c найдется квадратный трехчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения $a^{3}, b^{3}$ и $c^{3}$? А.Храбров

6. Неравнобедренный треугольник ABC, в котором  ABC 60 o, вписан в окружность 7. На биссектрисе угла BAC выбрана точка A a, а на биссектрисе угла ABC – точка B a так, что AB a P BC и BA a P AC. Прямая A a B a пересекает 7 в точках D и E. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный. А.Кузнецов 8. См. задачу М2468 «Задачника «Кванта».

10 класс 1. На координатной плоскости нарисованы графики двух приведенных квадратных трехчленов и две непараллельные прямые $l_{1}$ и $l_{2}$. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на $l_{1}$, равны и отрезки, высекаемые графиками на $l_{2}$, также равны. Докажите, что графики трехчленов совпадают. А.Голованов

2. Остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) вписан в окружность с центром в точке O. Лучи BO и CO пересекают стороны AC и AB в точках B a и C a соответственно. Через точку C a проведе-

на прямая l, параллельная прямой AC. Докажите, что прямая l касается окружности, описанной около треугольника B a OC. А.Кузнецов

3. Изначально на столе лежат три кучки из 100, 101 и 102 камней соответственно. Илья и Костя играют в следующую игру. За один ход каждый из них может взять себе один камень из любой кучки, кроме той, из которой он брал камень на своем предыдущем ходе (на своем первом ходе каждый игрок может брать камень из любой кучки). Ходы игроки делают по очереди, начинает Илья. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может выиграть, как бы ни играл соперник? Д.Белов, И.Богданов, К.Кноп

4. См. задачу М2469 «Задачника «Кванта».

5. На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа n, увеличенные на 1. Найдите все такие числа n, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа m. (Собственными делителями натурального числа a > 1 называются все его натуральные делители, отличные от a и от 1.) А.Храбров

6. См. задачу М2467,б) «Задачника «Кванта».

7. См. задачу 8 для 9 класса.

8. Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром O и описан около окружности с центром I. Точка B a, симметричная точке B относительно прямой OI, лежит внутри угла ABI. Докажите, что касательные к окружности, описанной около треугольника BB a I, проведенные в точках B a и I, пересекаются на прямой AC. А.Кузнецов

11 класс

1. Число x таково, что обе суммы S sin 64 x sin 65 x и C cos 64 x cos 65 x – рациональные числа. Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны. Н.Агаханов