Lời giải bài toán M2538—M2541; F2545—F2548

16

KVAN T 2019/№3

Cơm. 2

và một sợi dây không giãn nối hai quả cầu giống hệt nhau có khối lượng m. Sợi có phần dọc và ngang. Các quả bóng chạm vào các thanh. Ban đầu, những thanh này được giữ bất động bởi ngoại lực. Sau đó các thanh được thả ra và họ bắt đầu tiến về phía trước. Các vật chuyển động với gia tốc ban đầu bằng bao nhiêu? Không có ma sát ở bất cứ đâu trong hệ thống. M.Romashka

F2558. Một khối băng hình cầu có bán kính $R_{0}$ và nhiệt độ $0 \infty C$, trong điều kiện không trọng lượng, bắt đầu tan chảy (tan chảy) ở nhiệt độ môi trường xung quanh “thấp” không đổi $T_{0} ( T_{0} \sim 2 - 5 \infty C ).$ Bỏ qua sự bay hơi, xác định thời gian tan của khối băng. Một tảng băng tan bao nhiêu lần khi bán kính của nó tăng gấp đôi? Nhiệt dung riêng khi tan chảy của băng là O, độ dẫn nhiệt của nước là K. Xét rằng khi tan chảy, mảnh băng vẫn giữ hình dạng hình cầu và được bao quanh đối xứng bởi nước hình thành trong quá trình tan chảy, vì nước làm ướt băng. Nhiệt độ ở mặt ngoài của nước, hình cầu, luôn bằng nhiệt độ môi trường xung quanh $T_{0}$. A. Vlasov

F2559. Tại điểm A, cách tâm O một khoảng r, của một quả cầu dẫn điện không tích điện có bán kính R, có một điện tích điểm q (Hình 3). Quả cầu được nối đất bằng một dây dẫn mỏng dài. Điện thế M của điểm B, là đỉnh của tam giác đều ABO, sẽ thay đổi bao nhiêu sau khi nối đất? Vectơ cường độ điện trường tại cùng một điểm sẽ thay đổi như thế nào? S. Kryukov

Cơm. 3

F2560. Có một mạng lưới vô tận làm bằng dây có tiết diện không đổi,

Cơm. 4

như hình 4. Độ dài đoạn AB bằng a. Điện trở trên một đơn vị chiều dài của dây dẫn là U. Tìm điện trở R AB giữa hai điểm A và VA. A. Bychkov

Lời giải bài toán M2538–M2541, F2545–F2548

M2538. Petya đặt 500 quân vua lên các ô vuông trên bàn cờ $100 u^{50}$ để chúng không đánh nhau. Và Vasya đặt 500 quân vua lên các ô vuông màu trắng (theo màu cờ vua) của bàn cờ 100 và 100 để chúng không đánh nhau. Ai có nhiều cách hơn để làm điều này?

Đáp số. Vasya có nhiều cách hơn. Идея lời giải – сопоставить каждой Петиной расстановке некоторую Васину расстановку так, чтобы разным расстановкам были сопоставлены разные, а кроме того, указать Васину расстановку, neu сопоставленую никакой Hãy thử đi. Bạn có thể sử dụng nó để đạt được điều đó.

19

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

ке ABC на прямых BC, CA, AB взяты точки K a, K b, K c соответственно так, что прямые AK a, BK b, CK c пересекаются в одной đó. Определим точку K ab как точку пересечения прямой AC и прямой, параллельной BK b, проходящей через точку K một. Аналогичным образом определим K ac, K ba, K bc, K ca, K cb. Тогда шесть точек K ab, K ac, K ba, K bc, K ca, K cb лежат на одной конике. В случае, когда точки K a, K b, K c лежат на сторонах BC, CA, AB (а не на их продолжениях), конструкция аффинным преобразованием может быть сведена к условию данной bài toán M2540. Отметим еще несколько свойств данной конструкции (читатель может попробовать вывести их самостоятельно): 1) H ca H cb H ab H ac H bc H ba (фактически, мы видели это при доказательстве); 2) треугольники H ab H bc H ca и H ac H ba H cb равны между собой и подобны треугольнику ABC; 3) U является центром симметрии, переводящей треугольник H a H b H c в треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AH b H c, H a BH c, H a H b C; 4) U является серединой отрезка, соединяющего O (центр описанной окружности треугольника ABC) và ортоцентр треугольника H a H b H c. Окружность Z, существование которой доказано нами, известна как окружность Тэйлора. Bạn có thể làm được điều đó, bạn có thể sử dụng nó để đạt được mục tiêu của mình определить, например, таким образом. Рассмотрим $треугольники_{»}^{XYZ}$ ABC такие, что X лежит на прямой AB, Y – на BC, а Z – на CA. Окружности Таккера – описанные окружности таких треугольников XYZ. Другие описания и интересные свойства окружностей Таккера можно найти, например, в книге: R.Honsberger «Các tập phim ở phần mười chín và Hình học Euclid thế kỷ 20”. I. Weinstein

$М2541^{*}$. Mặt phẳng được chia thành các hình bảy cạnh lồi có đường kính đơn vị. Докажите, что любой круг радиуса 200

“QUANTA”

Gọi O là tâm của một đường tròn cho trước và gọi K R là đường tròn bán kính R có tâm ở O. Gọi C là tập hợp các góc của tất cả các hình bảy giác đã cho và C R C là tập con của các góc có đỉnh thuộc đường tròn K R. Với lời giải bài toán chỉ cần chứng minh rằng $C_{200} t 7$ $10^{9}$ (như thường lệ, |X| biểu thị số phần tử trong tập X). Thật vậy, số hình bảy cạnh giao nhau với đường tròn $K_{200}$ ít nhất là $C_{200} 7 t 10^{9}$. Chúng ta hãy chứng minh rằng giá trị trung bình của góc trong tập hợp C R không vượt quá 2 S 3. Thật vậy, trong một “bộ ba ngã ba”, giá trị trung bình của góc là 2 S 3 (Hình 1), và trong một bộ ba ngã ba, nó thậm chí còn nhỏ hơn. Nếu đỉnh nằm trên cạnh

Cơm. 1

Cơm. 2

của một số hình bảy cạnh (Hình 2), thì giá trị trung bình của góc tại một đỉnh đó không lớn hơn S 2. Mặt khác, xét tập các góc T R của tất cả các hình bảy cạnh có giao điểm không trống với đường tròn K R. Vì đường kính của mỗi hình bảy cạnh không vượt quá 1, T R $C R_{1}$. Với mỗi đa giác, giá trị trung bình của góc tại đỉnh là 5 S 7 nên giá trị trung bình của góc trong tập T R cũng bằng 5 S 7. Đặt k C R, m T R, sao cho T R \ C R m k. Cho rằng mỗi góc trong tập hợp T R \ C R nhỏ hơn S (điều này đúng với mọi góc của đa giác lồi), sự cân bằng của các giá trị trung bình cho m k S k 2 S 3! m 5 S 7. Từ đây