Hình tròn khác với hình vuông như thế nào?

23

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

TRẺ EM HỌC SINH

Hình tròn khác với hình vuông như thế nào?

S.VOLCHENKOV

TẦM NHÌN CÂU HỎI CÓ vẻ lạ lùng. Mọi người đều biết hình tròn là gì và hình vuông là gì. Và mọi người đều biết rằng đây là những vật thể hình học khác nhau. Nhưng trong bài viết này, chúng ta sẽ không nói nhiều về hình học mà nói về hình học tổ hợp, trong đó các đối tượng hình học được xem xét từ quan điểm tổ hợp - như các phần tử của tập hợp hữu hạn. Chúng tôi sẽ phân tích ba bài toán, trong đó hình tròn và hình vuông, thoạt nhìn, có một số khác biệt không đáng kể, dẫn đến đáp số khác nhau. Bài toán 1 về vòng tròn. Trên mặt phẳng có 5 đường tròn, mỗi đường tròn có một điểm chung. Có đúng là sẽ luôn có 3 đường tròn có một điểm chung? Đáp số: đúng. Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị các vòng tròn (và tâm của chúng) lần lượt bằng các chữ cái $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}, O_{5}$. Hãy kết nối các trung tâm với nhau bằng các phân đoạn. Một số hai đoạn được vẽ phải giao nhau. Đây là một thực tế đã biết (ngay cả khi bạn cố gắng nối các dấu chấm bằng các đường đứt nét) - hãy thử tự chứng minh điều đó hoặc đọc nó trong phần Phụ lục ở cuối bài viết. Để các đoạn $O_{1} O_{2}$ và $O_{3} O_{4}$ cắt nhau tại điểm X (Hình 1). Vẫn còn phải chứng minh rằng bổ đề này là đúng.

Cơm. 1

Bổ đề. Nếu có hai cặp đường tròn giao nhau (một cặp $O_{1}, O_{2}$ và một cặp $O_{3}, O_{4} ),$ và các đoạn nối chúng

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190403

tâm $( O_{1} O_{2}$ và $O_{3} O_{4} ),$ có một điểm chung (X), thì ba trong số bốn đường tròn này có một điểm chung. Vì các đường tròn $O_{1}$ và $O_{2}$ cắt nhau nên có một điểm F trên đoạn $O_{1} O_{2}$ thuộc cả hai đường tròn đó. Tương tự, trên đoạn $O_{3} O_{4}$ có điểm E thuộc các đường tròn $O_{3}$ và $O_{4}$. Đặt chúng như Hình 1, với XE t XF (các trường hợp khác tương tự). Khi đó $O_{4} E t O_{4} X XF t O_{4} F$, tức là điểm F thuộc các đường tròn $O_{1}, O_{2}$ và $O_{4}$. Bổ đề đã được chứng minh. Bài toán 1 về hình vuông. Trên mặt phẳng có 5 hình vuông, mỗi hình có một điểm chung. Có đúng là sẽ luôn có 3 hình vuông có điểm chung?

Cơm. 2

Đáp số: không đúng. Một phản ví dụ được hiển thị trong Hình 2. Bài toán 2 về hình tròn. Trên mặt phẳng có 3 hình tròn đỏ và 3 hình tròn xanh, hai hình tròn khác màu đều có một điểm chung. Có đúng là sẽ luôn có hai đường tròn cùng màu có một điểm chung? Đáp số: đúng. Lời giải. Hãy kết nối tâm của các vòng tròn nhiều màu với nhau bằng các đoạn thẳng. Một số hai đoạn được vẽ phải

24

KVAN T 2019/№4

chúng ta sẽ băng qua đường. Đây cũng là một sự thật nổi tiếng, thường được gọi là “ba nhà, ba giếng” (bạn tự chứng minh hoặc đọc ở phần Phụ lục). Khi đó, theo bổ đề từ bài toán 1, có ba đường tròn có một điểm chung. Và trong số ba vòng tròn này sẽ có hai vòng tròn cùng màu, đó là điều bắt buộc. Bài toán 2 về hình vuông. Trên mặt phẳng có 3 hình vuông màu đỏ và 3 hình vuông màu xanh, mỗi hình vuông có màu khác nhau đều có một điểm chung. Có đúng là sẽ luôn có hai hình vuông cùng màu có một điểm chung? Đáp số: không đúng. Một phản ví dụ được hiển thị trong Hình 3.

nó có thể luôn được cắt thành N đa giác lồi, mỗi đa giác sẽ chứa chính xác một điểm được đánh dấu không? Đáp số: đúng. Lời giải. Hãy chia các điểm của đa giác thành các vùng có số từ 1 đến N theo quy tắc sau: vùng có số k bao gồm các điểm gần điểm k hơn bất kỳ điểm được đánh dấu nào khác (phân vùng này được gọi là sơ đồ Voronoi). Với cách phân chia như vậy, diện tích có số k bị giới hạn bởi các đường trung trực của các đoạn kẻ từ điểm k đến các điểm đánh dấu còn lại, tức là một đa giác lồi. Một ví dụ về sơ đồ như vậy được hiển thị trong Hình 4.

Cơm. 4

Cơm. 3

Bình luận. Trong bài toán 1 và 2, các hình vuông có thể được thay thế bằng các đa giác khác, đặc biệt là bằng N-giác đều, trong đó N có kích thước lớn tùy ý. Trong trường hợp này, đa giác gần như không thể phân biệt được với hình tròn. Đúng, Hình 2 và Hình 3 sẽ phải được xem xét dưới kính hiển vi để thấy được tất cả các điểm giao nhau trong đó. Bài toán 3 về vòng tròn. Một đa giác lồi chứa N đường tròn rời nhau. Có đúng là một đa giác luôn có thể được cắt thành N đa giác lồi, mỗi đa giác sẽ chứa chính xác một trong các hình tròn? Trước khi chuyển sang lời giải bài toán này, chúng ta hãy xem xét bài toán đơn giản hơn. Bài toán 3 về điểm. Trong một đa giác lồi, N điểm (được đánh số từ 1 đến N) được đánh dấu. Có đúng là một đa giác

Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán 3 về vòng tròn. Hóa ra, phân vùng của đa giác mà chúng ta cần có thể được hình thành không phải bằng các đường phân giác vuông góc mà bằng cái gọi là trục đẳng phương của các đường tròn. Trục đẳng phương của hai đường tròn không giao nhau là quỹ tích các điểm mà các tiếp tuyến của chúng với hai đường tròn cho trước có độ dài bằng nhau. Dễ dàng chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn có bán kính bất kỳ có tâm phân kỳ là một đường thẳng (xem Phụ lục). Nếu các đường tròn không giao nhau thì chúng sẽ nằm hoàn toàn ở hai phía đối diện của trục đẳng phương. Sau đó, chúng ta hãy chia các điểm của đa giác (nằm bên ngoài các đường tròn) thành các vùng gồm các điểm, các tiếp tuyến của chúng với một đường tròn ngắn hơn các đường tròn khác. Tương tự, chúng ta thu được rằng mỗi đường tròn nằm hoàn toàn trong một vùng và vùng này là một đa giác lồi.

25

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

Nhân tiện, trong trường hợp “vòng tròn” có bán kính bằng 0, các tiếp tuyến biến thành khoảng cách đến tâm và thu được bài toán trước đó. Và cái cuối cùng bài toán. Bài toán 3 về hình vuông. Một đa giác lồi chứa N hình vuông rời nhau. Có đúng là một đa giác luôn có thể được cắt thành N đa giác lồi, mỗi đa giác đó sẽ chứa chính xác một hình vuông? Đáp số: không đúng. Một phản ví dụ được thể hiện trong Hình 5.

TRẺ EM HỌC SINH

một cầu sẽ ở bên trong, cầu kia sẽ ở bên ngoài (Hình 6). Kết quả là mặt phẳng sẽ được chia thành ba “tam giác” và một vô hạn

Cơm. 6

Cơm. 5

Giải thích. Có ba hình vuông trong một hình ngũ giác. Không thể cắt một hình ngũ giác thành ba phần lồi, mỗi phần chứa một hình vuông. Điểm ở giữa hình ảnh không thể thuộc về bất kỳ phần nào, vì mỗi phần trong số ba đoạn đi từ nó đến một trong các điểm của hình vuông sẽ giao nhau với đường viền của một hình vuông khác, tức là không có đoạn nào trong số này thuộc về một hình lồi.

Ứng dụng

Năm ngôi nhà. Hãy chứng minh rằng trên một mặt phẳng không thể nối năm ngôi nhà với nhau bằng những con đường không giao nhau sao cho mỗi ngôi nhà được nối với nhau bằng một con đường riêng. Giả sử cuối cùng chúng ta đã làm được điều này. Hãy xóa tất cả các bản nhạc và trả lại chúng một cách tuần tự. Đầu tiên, chúng ta thêm bốn con đường nối bốn ngôi nhà theo một chu trình, chúng ta sẽ có được một “tứ giác” gồm các con đường. Bây giờ chúng ta nối các cặp đỉnh đối diện của tứ giác này (vẽ các đường chéo). Một phần đường kính, ranh giới của nó cũng sẽ là một hình tam giác (hãy gọi phần này là tam giác “vô hạn”). Ngôi nhà thứ năm sẽ nằm trong một trong những hình tam giác này và chỉ có thể nối với ba đỉnh của tam giác đó. Một điều mâu thuẫn - sẽ có thêm một ngôi nhà nữa không thể kết nối với ngôi nhà thứ năm. Ba ngôi nhà và ba cái giếng. Hãy chứng minh rằng trên một mặt phẳng không thể nối ba ngôi nhà với ba cái giếng bằng những con đường không giao nhau sao cho mỗi ngôi nhà được nối với mỗi cái giếng bằng một con đường riêng. Giả sử cuối cùng chúng ta đã làm được điều này. Hãy xóa tất cả các bản nhạc và trả lại chúng một cách tuần tự. Đầu tiên, chúng ta sẽ đi vòng quanh tất cả các ngôi nhà và giếng nước theo một vòng khép kín. Vì các con đường không giao nhau nên nó sẽ là một “hình lục giác” gồm các con đường, với những ngôi nhà và giếng nước xen kẽ trong đó (Hình 7). Vẫn còn phải vẽ thêm ba đường nối các đỉnh đối diện của hình lục giác. Ít nhất hai trong số

Cơm. 8

27

PHÒNG THÍ NGHIỆM

“QUANTA”

Trước đây, chất hàn được tìm thấy ở dạng thanh dày hơn nhiều, và với chúng, thí nghiệm này thậm chí còn hiệu quả hơn, nhưng nó chỉ đòi hỏi nhiều thời gian hơn. Tôi đã phải gắn một thanh ngang khi bắt đầu cuộc trò chuyện hoặc bài giảng và thu hút sự chú ý đến nó một giờ rưỡi sau - thanh kim loại, dày gần bằng ngón tay, đã bị uốn cong vài cm! Một que hàn rất mỏng, đường kính khoảng một milimet, uốn cong rất nhanh dưới sức nặng của chính nó. Tất nhiên, chiều dài ở phiên bản này có thể khá nhỏ, khoảng 10–15 cm. Nếu bạn có trong tay một thanh hàn có độ dày trung bình và chiều dài ba mươi cm, thì độ dẻo của kim loại có thể được minh họa khá đơn giản và nhanh chóng - chỉ cần treo thanh hàn trên một sợi ở giữa hoặc chèn nó vào vị trí nguyên thủy nhất.

lăng kính ABCD gắn vào tường; một tải tác dụng lên đầu tự do của nó (khắc từ “Cuộc trò chuyện” của Galileo)

Một bản khắc đẹp được tái hiện trong Galileo’s Discourses cho thấy một thanh xà khá dày được cố định ở một đầu trên bức tường đá, trong khi đầu kia tác dụng một tải trọng nhất định với trọng lượng của nó. Nhân tiện, Galileo viết cuốn sách cuối cùng này của mình phần lớn là do những người bảo vệ của Tòa án dị giáo đã cho phép ông nghiên cứu chủ đề này, và vào thời điểm đó ông đã hoàn toàn mồ côi và mù lòa. Vì vậy rất có thể chính Galileo đã không nhìn thấy hình khắc này. Ngày nay chúng ta có thể thay đổi trải nghiệm này và cho học sinh và học sinh thấy phiên bản đơn giản và hiệu quả của nó. Để làm điều này, hãy lấy một que hàn chì nằm ngang và gắn nó vào một đầu. Nếu chiếc gậy mỏng, có đường kính nhỏ hơn ba mm một chút và chiều dài khoảng 20–30 cm, thì nó sẽ tự uốn cong dưới sức nặng của chính nó. Không cần thêm trọng lượng nào để đầu tự do của thanh giảm đi vài cm trong một phần tư giờ. Điều này gây ấn tượng rất tốt cho người xem. Chúng ta chỉ cần quan sát tận mắt sự biến dạng dẻo của kim loại.

Một que hàn chì khi bắt đầu thí nghiệm…

…và khi kết thúc thí nghiệm, một cái đĩa có lỗ. Trong vài phút nữa, người ta sẽ thấy rõ cả hai đầu của cành cây đã hạ xuống như thế nào. Các thành viên của nhóm kỹ thuật viên trẻ có thể dễ dàng bổ sung thiết lập thử nghiệm đơn giản này bằng chuông điện hoặc bộ điều chỉnh độ dài của phần tự do của thanh treo để so sánh thời gian biến dạng.