Một lần nữa về đồ thị sin

Một lần nữa về đồ thị sin

E.BAKAEV

Bài viết của P. Panov (xem «Kvant» Số 3) thảo luận về đồ thị sin(314x) trông như thế nào, bao gồm các điểm có hoành độ là bội số của $10^{-} 3$. Điều tự nhiên là khái quát hóa câu hỏi này và tìm ra đồ thị của sin ( ax ) trông như thế nào nếu chỉ đánh dấu các điểm có hoành độ là bội số của d. Ở đây chúng ta sẽ xem xét một cách tiếp cận khác cho vấn đề này bài toán. Để đơn giản, chúng ta cũng sẽ lấy một trường hợp đặc biệt, nhưng khác: a = d = 1. Hãy xây dựng một biểu đồ: Hình 1 cho thấy các điểm tương ứng với các giá trị của sin x cho số nguyên x từ 0 đến 50. Nhưng kích thước của biểu đồ và theo đó, tỷ lệ của các trục có thể được chọn theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ: đây là 1000 điểm đầu tiên của sin x cho x tự nhiên (Hình 2) và 10.000 điểm đầu tiên (Hình 3). Hóa ra a và d không phải là tham số duy nhất quyết định những gì chúng ta nhìn thấy trên biểu đồ; quy mô của các trục cũng rất quan trọng.

Hình 1

Hình 3

Các biểu đồ không giống nhau: một mặt xuất hiện mô hình hình lục giác, mặt khác xuất hiện các đường đan xen tương tự như hình sin. Nhưng chúng có cấu trúc giống nhau, chỉ là biểu đồ có 1000 điểm là một phần của biểu đồ có 10.000 điểm được kéo dài theo chiều rộng 1 10 (với cách kéo dài này, bản thân các điểm không kéo dài thành hình bầu dục mà vẫn giữ nguyên hình tròn). Bạn có thể xác minh điều này bằng cách nhìn vào biểu đồ trong Hình 2 từ một góc nhọn. Tuy nhiên, các đồ thị trông khác nhau vì việc kéo dài làm tăng khoảng cách giữa nhiều cặp điểm và các điểm xuất hiện gần nhau trong Hình 3 có thể không xuất hiện như vậy trong Hình 2. Câu hỏi này được đặt ra trong cuốn sách của Gilbert Strang [1]. Nó được thảo luận chi tiết hơn trong bài viết “Những nhân vật kỳ lạ của Strang” của Norman Richert [2]. Cách tiếp cận của chúng tôi phần lớn sẽ tuân theo các nguồn này. Nhưng nó sẽ khác.

Thẳng, quấn trên một hình trụ

Hình 2

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200402

Để lý luận và tính toán tiếp theo trở nên đơn giản hơn, chúng ta hãy chuyển từ hàm sin sang xét đường thẳng. Để làm điều này, hãy tưởng tượng một hình trụ. Nếu bạn vẽ một đường thẳng trên một tấm phim trong suốt và cuộn phim trên một hình trụ trong suốt