Olympic Toán học LXXXIII Mátxcơva

45

Thế Vận Hội

7. (12) Với k, có thể sơn một số ô (một số hữu hạn lớn hơn 0) trên một mặt phẳng ca rô trắng màu đen sao cho trên bất kỳ ô ca rô nào theo chiều dọc, ngang và chéo có chính xác k ô đen hoặc không có ô đen nào cả? A. Dinev, K. Garov, N. Belukhov

Vòng miệng lớp 11

1. Dòng chứa 2020 số tự nhiên. Mỗi cái trong số chúng, bắt đầu từ cái thứ ba, được chia cho cả cái trước và tổng của hai cái trước. Giá trị nhỏ nhất mà số cuối cùng trong dòng có thể nhận là bao nhiêu? A. Gribalko

2. Ở các độ cao $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ của tam giác nhọn ABC, tương ứng, các điểm $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ được đánh dấu sao cho $AA_{1} = BB_{1} = CC_{1} = R,$ trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. E. Bakaev 3. 40 ô được đánh dấu trên mặt phẳng ca rô. Có phải luôn có một hình chữ nhật ca rô chứa chính xác 20 ô được đánh dấu không? M. Evdokimov 4. Xem bài toán M2603 “Bài toán Kvant trong số tiếp theo của tạp chí.

5. Trên một hình cầu có bán kính 1, một hình tam giác có các cạnh là các cung của ba hình tròn khác nhau có bán kính 1 với tâm ở tâm hình cầu, có chiều dài nhỏ hơn $\pi$ và diện tích bằng 1/4 diện tích hình cầu. Chứng minh rằng bốn bản sao của một tam giác như vậy có thể bao phủ toàn bộ hình cầu. A. Zaslavsky

6. Với nguồn cung cấp vô tận các khối màu trắng, xanh và đỏ. N bất kỳ trong số chúng được đặt trong một vòng tròn. Robot, đứng ở bất kỳ vị trí nào trong vòng tròn, đi theo chiều kim đồng hồ và cho đến khi còn lại một khối, liên tục lặp lại thao tác sau: phá hủy hai khối gần nhất ở phía trước nó và đặt phía sau nó một khối mới cùng màu nếu các khối bị phá hủy giống nhau và màu thứ ba nếu các khối bị phá hủy có hai màu khác nhau. Chúng ta gọi sự sắp xếp các hình khối là tốt nếu màu sắc của hình khối còn lại ở cuối không phụ thuộc vào vị trí xuất phát của robot. Chúng ta gọi N thành công nếu, với bất kỳ lựa chọn N khối nào, tất cả sự sắp xếp của chúng đều tốt. Tìm tất cả N. I. Bogdanov thành công

Tài liệu được chuẩn bị bởi E. Bakaev, I. Bogdanov, S. Dorichenko, M. Evdokimov, A. Zaslavsky, P. Kozhevnikov, M. Malkin, L. Mednikov, V. Retinsky, E. Ryabov, A. Semenov, B. Frenkin, I. Frolov, A. Yuran

Olympic Toán học LXXXIII Mátxcơva

Vào ngày 1 tháng 3 năm 2020, Kỳ thi Olympic Toán học Moscow tiếp theo đã được tổ chức (đồng thời với một vòng thi khó của Giải đấu các thành phố, nhiều bài toán là điểm chung). Dưới đây là một số bài toán Olympic (lớp mà nó được tổ chức được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán). Tất cả các điều kiện và lời giải có thể được tìm thấy trên trang web olympiads.mccme.ru / mmo /

Yêu thích bài toán

1. (8) Tom viết chữ MMO trên hàng rào làm bằng ván, còn Huck viết con số 2020. Chiều rộng

mỗi chữ và số là 9 cm, chiều rộng của bảng hàng rào là 5 cm. Huck có thể nhuộm ít ván hơn Tom không? (Các bảng được sắp xếp theo chiều dọc, các từ và số được viết theo chiều ngang. Số và chữ được viết cách đều nhau.) D. Mukhin, A. Fedulkin, I. Elman

2. (8) Trên đồ thị hàm số y = 1 x, Misha đánh dấu liên tiếp tất cả các điểm có hoành độ 1, 2, 3, … cho đến khi mệt mỏi. Sau đó Masha đến và sơn lên tất cả các hình chữ nhật, một trong các đỉnh của nó là điểm đã đánh dấu, và

51

Thế Vận Hội

chiều cao của ghế so với mặt sàn là H = 72cm. Chúng ta có thể giả định rằng điểm này nằm chính xác phía trên đường của chân sau. Phải tác dụng lực tối thiểu $F_{3}$ vào sợi dây để nhấc chân trái của ghế lên khỏi sàn nếu ghế được đặt dựa vào thanh bằng chân phải? Gia tốc trọng trường g = 10 m $с^{2}$. Nửa bên phải và bên trái của ghế đối xứng. S. Varlamov

Hình 6

2. Điện trở bắt đầu nóng chảy (10 điểm) Khi dòng điện chạy qua điện trở quấn dây, nó nóng lên và nhiệt độ của nó thay đổi phi tuyến tùy thuộc vào dòng điện chạy qua. Ở dòng điện thấp, đối với các điện trở thông thường ở mức 10 mA, nhiệt độ của điện trở T thực tế không thể phân biệt được với nhiệt độ môi trường $T_{0}$. Khi dòng điện tăng đến một giá trị giới hạn nhất định $I_{max}$, điện trở rất nhanh (gần như ngay lập tức) nóng lên đến nhiệt độ rất cao và tan chảy (cháy hết). Đặt điện trở của một điện trở nhất định ở nhiệt độ phòng và dòng điện 1 mA bằng 10 Ohms. Được biết, giá trị dòng điện giới hạn của điện trở này là $I_{max} = 1,35$ A. Tìm điện trở của điện trở và hiệu điện thế trên nó khi có dòng điện $0,8I_{max}$. Chúng ta có thể giả sử rằng điện trở của điện trở phụ thuộc tuyến tính vào nhiệt độ: $R ( T ) = R_{0} ( 1 + \alpha ( T - T_{0} ) )$, trong đó $R_{0}$ là điện trở của điện trở ở nhiệt độ $T_{0}, \alpha$ là một hệ số chưa biết. Công suất truyền nhiệt tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa điện trở và môi trường. Việc thay đổi điện trở của điện trở không ảnh hưởng đến cường độ dòng điện trong mạch. P. Kryukov

3. Bóng bầu dục (10 điểm) Bóng bầu dục là môn thể thao đồng đội dùng bóng. Mục tiêu của trò chơi là đưa bóng vào trong khung thành đối phương, nằm phía sau đường khung thành (Hình 6). Cầu thủ có bóng có thể chuyền bóng cho một cầu thủ khác trong đội của mình, nhưng đường chuyền không thể được thực hiện về phía trước so với đường tưởng tượng song song với đường khung thành và đi qua cầu thủ (đường a trong hình). Bạn chỉ có thể vượt ngang hoặc lùi so với đường này. Các cầu thủ của đội đối phương có quyền ngăn cản cầu thủ có bóng. Hình vẽ là một mảnh sân có ba cầu thủ bóng bầu dục: A và B là cầu thủ của một đội, C là cầu thủ của đội đối phương. Cầu thủ C chuẩn bị cản cầu thủ A nên chuyền cho cầu thủ B. Để thực hiện đường chuyền chính xác, đầu tiên cầu thủ A giảm tốc độ và tại thời điểm ném tốc độ của anh ta hướng về phía vạch cầu môn và bằng v = 2 ms. Gọi tốc độ của người chơi B là 8 m/s khi di chuyển theo quỹ đạo bất kỳ. Vị trí của các cầu thủ A, B và C trên sân như hình vẽ tương ứng với thời điểm ném biên. Chúng ta có thể giả sử rằng sau khi người chơi ném quả bóng, nó sẽ chuyển động theo đường thẳng với tốc độ không đổi. 1) Cầu thủ A phải ném bóng cho cầu thủ B với tốc độ tối thiểu (so với mình) là bao nhiêu để nhận đường chuyền và đến khung thành đối phương trong thời gian tối thiểu? (2 điểm) 2) Cho người chơi A chuyền cho người chơi B với tốc độ tương đối là 6 m/s. Cầu thủ B nhận bóng đang chuyển động và chạy về phía khung thành trong thời gian t. Chứng minh rằng đạt được giá trị nhỏ nhất của thời gian $t_{min}$ khi sau khi cầu thủ A ném, bóng bay song song với đường khung thành. (4 điểm) 3) Tìm thời gian $t_{min}$. Tuyên bố từ điểm 2) có thể được sử dụng mà không cần bằng chứng. (4 điểm) A. Bychkov

4. Vova bắt đầu tính toán (10 điểm) Vova và bố lái ô tô từ Moscow đến St. Trên đường cao tốc, tốc độ xe của họ không quá 110 km/h, nhưng không dưới 80 km/h. Vì buồn chán, Vova quyết định quay video trên điện thoại thông minh của mình. Một chiếc xe jeep tiến vào trường bắn, di chuyển một lúc ở làn đường bên cạnh với tốc độ ngang với xe của bố Vovin. Và rồi Vova phát hiện ra trên màn hình điện thoại của mình có một hình tròn

53

Thế Vận Hội

lớp 10

1. Đo độ lệch (10 điểm) Điện trở của nhiệt điện trở phụ thuộc rất nhiều vào nhiệt độ (Hình 12) nên nó được sử dụng trong các máy đo độ lệch chính xác.

Hình 12

Hình 13

thay đổi nhiệt độ $\Delta T$ so với giá trị cài đặt $T_{0}$. Mạch đo như hình 13, nhiệt điện trở được ký hiệu là $R_{t}$. Điện trở của biến trở $R_{1}$ có thể thay đổi trong khoảng từ 0 đến 900 Ohms. Các thiết bị đầu cuối được kết nối với nguồn điện áp lý tưởng $U_{0} = 6$ V. Trước khi bắt đầu đo độ lệch $\Delta T$ so với nhiệt độ $T_{0}$, đồng hồ đo được hiệu chỉnh bằng cách chọn điện trở của điện trở $R_{1}$ sao cho mili vôn kế lý tưởng hiển thị bằng 0. Sau đó, khi nhiệt độ thay đổi $\Delta T$, điện trở của nhiệt điện trở thay đổi, milivolt kế hiển thị điện áp U. 1) Đối với $T_{0} = 50 ^\circ C$, hãy xác định sự phụ thuộc $U ( \Delta T )$, coi sự thay đổi điện trở của nhiệt điện trở là nhỏ. Trong phạm vi nhiệt độ nào (cao hay thấp), máy đo có sai số đo tương đối nhỏ hơn? (7 điểm)

Ghi chú. Nó có thể hữu ích để $- 1$ công thức gần đúng $( 1 + x ) \approx 1 - x$, hợp lệ với x nhỏ ( x 1 ).

2. Đồng hồ đo này có thể hoạt động ở phạm vi nhiệt độ nào nếu nhiệt điện trở không mong muốn giải phóng năng lượng nhiệt lớn hơn $P_{0} = 0,15$ W? (3 điểm) P. Kryukov

2. Cậu bé với quả bóng bay (10 điểm) Cậu bé Vlad chạy theo vòng tròn, cầm trên tay một đầu sợi chỉ dài 2 2 m, đầu kia gắn một quả bóng bơm hơi nhỏ có chứa khí heli bên trong. Vlad chạy một vòng trong $2\pi$ giây. Bàn tay cầm sợi chỉ chuyển động tròn đều có bán kính 2 m. Quả bóng di chuyển theo một vòng tròn có cùng bán kính cách bàn tay hai mét theo phương thẳng đứng. Quả bóng sẽ bay đi với tốc độ ổn định như thế nào nếu sợi dây được thả ra? Chúng ta có thể giả sử rằng lực cản của không khí tỷ lệ với bình phương tốc độ của quả bóng và bán kính của quả bóng nhỏ hơn nhiều so với chiều dài của sợi dây. Gia tốc trọng trường g = 10 m $с^{2}$. S. Varlamov, P. Kryukov

3. Aeolipile (10 điểm) Aeolipile (động cơ hơi nước được phát minh ở Hy Lạp cổ đại) là một nồi hơi bằng kim loại có hai ống trên nắp, trên đó giống như một trục, một tuabin dạng quả bóng rỗng với hai ống (vòi phun) hình chữ L giống hệt nhau có thể quay. Nước được đổ vào nồi hơi, đậy kín và đốt cháy. Hơi nước hình thành trong quá trình sôi đi vào quả bóng qua các ống và thoát ra với tốc độ cao qua các vòi, khiến quả bóng quay (Hình 14; lấy từ Wikipedia). Gọi công suất cung cấp nhiệt trong nước là P = 1 kW, diện tích $сечения^{Рис.} 14$