LXXXIII Московская математическая олимпиада

45

ОЛИМПИАДЫ

7. (12) Для каких k можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в черный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно k черных клеток, либо вовсе не было черных клеток? А.Динев, К.Гаров, Н.Белухов

Устный тур для 11 класса

1. В строку записано 2020 натуральных чисел. Каждое из них, начиная с третьего, делится и на предыдущее, и на сумму двух предыдущих. Какое наименьшее значение может принимать последнее число в строке? А.Грибалко

2. На высотах $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ остроугольного неравностороннего треугольника ABC отметили соответственно точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ так, что $AA_{1} = BB_{1} = CC_{1} = R,$ где R – радиус описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC. Е.Бакаев 3. На клетчатой плоскости отметили 40 клеток. Всегда ли найдется клетчатый прямоугольник, содержащий ровно 20 отмеченных клеток? М.Евдокимов 4. См. задачу М2603 «Задачника «Кванта» в следующем номере журнала.

5. На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого – дуги трех различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше $\pi$, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу. А.Заславский

6. Дан бесконечный запас белых, синих и красных кубиков. По кругу расставляют любые N из них. Робот, став в любое место круга, идет по часовой стрелке и, пока не останется один кубик, постоянно повторяет такую операцию: уничтожает два ближайших кубика перед собой и ставит позади себя новый кубик того же цвета, если уничтоженные одинаковы, и третьего цвета, если уничтоженные двух разных цветов. Назовем расстановку кубиков хорошей, если цвет оставшегося в самом конце кубика не зависит от того, с какого места стартовал робот. Назовем N удачным, если при любом выборе N кубиков все их расстановки хорошие. Найдите все удачные N. И.Богданов

Материал подготовили Е.Бакаев, И.Богданов, С.Дориченко, М.Евдокимов, А.Заславский, П.Кожевников, М.Малкин, Л.Медников, В.Ретинский, Е.Рябов, А.Семенов, Б.Френкин, И.Фролов, А.Юран

LXXXIII Московская математическая олимпиада

1 марта 2020 года прошла очередная Московская математическая олимпиада (одновременно со сложным туром Турнира городов, многие задачи были общими). Приводим некоторые задачи олимпиады (в скобках после номера задачи указан класс, в котором она предлагалась). Все условия и решения см. на сайте olympiads.mccme.ru / mmo /

Избранные задачи

1. (8) Том написал на заборе из досок слово ММО, а Гек – число 2020. Ширина

каждой буквы и цифры 9 см, а ширина доски забора 5 см. Мог ли Гек испачкать меньше досок, чем Том? (Доски расположены вертикально, а слова и числа пишутся горизонтально. Цифры и буквы пишутся через равные промежутки.) Д.Мухин, А.Федулкин, И.Эльман

2. (8) На графике функции y = 1 x Миша отмечал подряд все точки с абсциссами 1, 2, 3, …, пока не устал. Потом пришла Маша и закрасила все прямоугольники, одна из вершин которых – это отмеченная точка, еще

51

ОЛИМПИАДЫ

ки стула над полом H = 72 см. Можно считать, что эта точка находится ровно над линией задних ножек. Какую минимальную силу $F_{3}$ нужно приложить к веревке, чтобы от пола оторвались левые ножки стула, если стул приставлен к планке правыми ножками? Ускорение свободного падения g = 10 м $с^{2}$. Правая и левая половинки стула симметричны. С.Варламов

Рис. 6

2. Резистор начинает плавиться (10 баллов) При пропускании тока через проволочный резистор он нагревается, при этом его температура в зависимости от протекающего тока изменяется нелинейно. При малых токах, составляющих для типичных резисторов величину порядка 10 мА, температура резистора T практически неотличима от температуры окружающей среды $T_{0}$. При увеличении тока до некоторого предельного значения $I_{max}$ резистор очень быстро (почти мгновенно) нагревается до очень высокой температуры и плавится (сгорает). Пусть сопротивление некоторого резистора при комнатной температуре и токе 1 мА равно 10 Ом. Известно, что значение предельного тока для этого резистора $I_{max} = 1,35$ А. Найдите сопротивление резистора и напряжение на нем при токе $0,8I_{max}$. Можно считать, что сопротивление резистора зависит от температуры линейно: $R ( T ) = R_{0} ( 1 + \alpha ( T - T_{0} ) )$, где $R_{0}$ – сопротивление резистора при температуре $T_{0}, \alpha$ – неизвестный коэффициент. Мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур резистора и окружающей среды. Изменение сопротивления резистора не влияет на величину силы тока в цепи. П.Крюков

3. Регби (10 баллов) Регби – это командная игра с мячом. Цель игры – принести мяч в зачетное поле соперника, расположенное за линией ворот (рис. 6). Игрок с мячом может отдать передачу другому игроку своей команды, причем передачу нельзя делать вперед относительно воображаемой линии, параллельной линии ворот и проходящей через игрока (прямая a на рисунке). Пасовать можно только вбок или назад относительно этой линии. Игроки команды соперника имеют право остановить игрока с мячом. На рисун- ке представлен фрагмент поля с тремя регбистами: A и B – игроки из одной команды, C – игрок команды соперника. Игрок C вот-вот остановит игрока A, поэтому тот делает передачу игроку B. Чтобы сделать точную передачу, игрок A предварительно притормозил, и в момент броска его скорость направлена в сторону линии ворот и равна v = 2 м с. Пусть скорость игрока B равна 8 м / с при движении по любой траектории. Расположение игроков A, B и C на поле, показанное на рисунке, соответствует моменту броска. Можно считать, что мяч после броска игрока движется прямолинейно с постоянной скоростью. 1) С какой минимальной скоростью (относительно себя) должен бросить мяч игрок A, чтобы игрок B принял передачу и добежал до зачетного поля соперника за минимальное время? (2 балла) 2) Пусть игрок A отдает передачу «на ход» игроку B с относительной скоростью 6 м с. Игрок B принимает мяч в движении и добегает до линии ворот за время t. Докажите, что минимальное значение времени $t_{min}$ достигается в том случае, когда после броска игрока A мяч летит параллельно линии ворот. (4 балла) 3) Найдите время $t_{min}$. Утверждением из п. 2) можно пользоваться без доказательства. (4 балла) А. Бычков

4. Вова начинает расчеты (10 баллов) Вова с папой поехали на машине из Москвы в Санкт-Петербург. На трассе скорость их автомобиля была не более 110 км ч, но не менее 80 км ч. От скуки Вова решил снять видео на смартфон. В поле съемки попал джип, двигавшийся некоторое время по соседней полосе с той же скоростью, что и автомобиль Вовиного папы. И тут Вова обнаружил, что на экране его телефона радиаль-

53

ОЛИМПИАДЫ

10 класс

1. Измерение отклонений (10 баллов) Сопротивление терморезистора сильно зависит от температуры (рис. 12), поэтому его используют в точных измерителях отклоне-

Рис. 12

Рис. 13

ния температуры $\Delta T$ от заданного значения $T_{0}$. Схема измерителя показана на рисунке 13, терморезистор обозначен $R_{t}$. Сопротивление переменного резистора $R_{1}$ можно изменять в диапазоне от 0 до 900 Ом. Выводы подключают к идеальному источнику напряжением $U_{0} = 6$ В. Перед началом измерения отклонения $\Delta T$ от температуры $T_{0}$ измеритель калибруют, подбирая сопротивление резистора $R_{1}$ так, чтобы идеальный стрелочный милливольтметр показывал ноль. В дальнейшем при изменении температуры на $\Delta T$ сопротивление терморезистора изменяется, милливольтметр показывает напряжение U. 1) Для $T_{0} = 50 ^\circ C$ определите зависимость $U ( \Delta T )$, считая изменение сопротивления терморезистора малым. В области каких температур (высоких или низких) измеритель обеспечивает меньшую относительную погрешность измерения? (7 баллов)

Примечание. Может оказаться полезной при- $- 1$ ближенная формула $( 1 + x ) \approx 1 - x$, справедливая для малых х ( x 1 ).

2. В каком диапазоне температур может работать данный измеритель, если нежелательно, чтобы на терморезисторе выделялась тепловая мощность больше $P_{0} = 0,15$ Вт? (3 балла) П.Крюков

2. Мальчик с шариком (10 баллов) Мальчик Влад бегает по кругу, держа в руке конец нитки длиной 2 2 м, к другому концу которой прикреплен небольшой надувной шарик с гелием внутри. Один круг Влад пробегает за $2\pi$ секунд. Рука, держащая нить, движется по окружности радиусом 2 м. Шарик движется по окружности такого же радиуса на два метра выше руки по вертикали. С какой установившейся скоростью будет взлетать шарик, если нить отпустить? Можно считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости шарика, а радиус шарика много меньше длины нити. Ускорение свободного падения g = 10 м $с^{2}$. С.Варламов, П.Крюков

3. Эолипил (10 баллов) Эолипил (паровой двигатель, изобретенный в Древней Греции) представляет собой металлический котел с двумя трубками на крышке, на которых, как на оси, может вращаться турбина в виде полого шара с двумя одинаковыми Г-образными патрубками (соплами). В котел заливают воду, герметично закрывают его и ставят на огонь. Образовавшийся при кипении водяной пар по трубкам поступает в шар и выходит с большой скоростью через сопла, заставляя шар вращаться (рис. 14; взят из «Википедии»). Пусть мощность подвода тепла в воде равна Р = 1 кВт, площадь $сечения^{Рис.} 14$