Задачи М2598—М2601; Ф2605—Ф2608

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2598 – М2601 предлагались на весеннем туре XLI Турнира городов. Задачи Ф2605–Ф2608 предлагались на заключительном туре Инженерной олимпиады школьников в 2019/20 учебном году. Автор задач – С.Муравьев.

Задачи М2598–М2601, Ф2605–Ф2608

M2598. Может ли в сечении какого-то тетраэдра двумя разными плоскостями получиться два квадрата: один – со стороной не больше 1, а другой – со стороной не меньше 100? М.Евдокимов

M2599. К Ивану на день рождения пришли 2N гостей. У Ивана есть N черных и N белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно (2N)! различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.) Г.Погудин

M2600. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в двух точках X 1 и Y 1. Окружности с диаметрами ВС и АD пересекаются в двух точках X 2 и Y 2. Окружности с диаметрами AС и ВD пересекаются в двух точках $X_{3}$ и $Y_{3}$. Докажите, что прямые $X 1 Y 1, X 2 Y 2, X_{3} Y_{3}$ пересекаются в одной точке. М.Дидин

M2601. Глеб задумал натуральные числа N и a, где a < N. Число a он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить N с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие N и a, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100N? И.Митрофанов

Ф2605. Два маленьких шарика – легкий от пинг-понга и тяжелый каучуковый – бросают вместе на пол с высоты h (шарик от пинг-понга – сверху, каучуковый – снизу; рис.1). Шарики падают на землю, и каучуковый шарик отражается от земли. Считая, что все столкновения шариков упругие, что между шариками есть небольшой зазор и шарик от пингпонга много легче $каучуково-_{Рис.} 1$ го шарика, найдите, на какую высоту подпрыгнет шарик от пинг-понга. Размеры шариков много меньше высоты h. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ф2606. Шесть одинаковых зацепляющихся зубчатых колес связаны рычагом, вращающемся с угловой скоростью $\omega$ относи-

18

КВАН T 2020/№4

в которой биссектриса внутреннего угла многоугольника горизонтальна. М.Скопенков

М2587. В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят а) ровно три фишки; б) ровно четыре фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?

Ответ: а) за 50 рублей; б) за 61 рубль. Занумеруем клетки по порядку от 1 до 100, а текущим номером фишки будем считать номер клетки, на которой она стоит. а) Оценка. Пусть фишки переставили в обратном порядке. Тогда каждая фишка должна была поменять четность своего номера. Но заметим, что бесплатная операция не меняет четность номеров фишек, а платная операция меняет ее у двух фишек. Поэтому потребуется сделать не менее 100 2 = 50 операций. Пример. Предварительно заметим, что бесплатная операция не меняет остаток номера фишки при делении на 4 и, наоборот, можно бесплатно переставить в любом порядке 25 фишек, номера которых дают один и тот же остаток при делении на 4. Выполним 49 обменов: 2–3, 4–5, 6–7, 8– 9, …, 98–99. Затем бесплатными операциями фишку 1 переставим на клетку 5, а фишку 100 – на клетку 4, после чего поменяем их местами за 1 рубль. Теперь каждая фишка заняла клетку с номером нужного остатка при делении на 4, для того чтобы бесплатными операциями переставить их в порядке, обратном к исходному. б) В этом пункте бесплатная операция не меняет остаток номера клетки при делении на 5. Наоборот, можно бесплатно переставить в любом порядке 20 фишек, номера которых дают один и тот же остаток при делении на 5. Для решения удобна следующая модель: разложим фишки в 5 кучек по 20 фишек, в кучку номер 0 – фишки с остатком 0 при делении на 5, в кучку номер 1 – фишки с остатком 1 при делении на 5

и так далее. Расположим кучки фишек по кругу – сначала кучка 0, потом – 1, и так далее до 4 (см. рисунок). Теперь платная операция представляет собой обмен пары фишек из соседних кучек. Бесплатные операции можем больше не рассматривать (бесплатная операция «перемешивает» фишки внутри одной кучки). Нам требуется переложить все фишки из кучки 0 в кучку 4 и, наоборот, из кучки 4 в кучку 0, а также переложить все фишки из кучки 1 в кучку 3 и, наоборот, из кучки 3 в кучку 1; фишки из кучки 2 должны в итоге остаться в той же кучке. Оценка. Каждая фишка из кучки 0 должна участвовать хотя бы в одном обмене между кучками, чтобы добраться до кучки 4. Аналогично для фишек кучки 4. Каждая фишка из кучки 1 должна участвовать хотя бы в двух обменах, чтобы добраться до кучки 3. Аналогично для фишек кучки 3. Значит, потребуется не менее ( 20 + 20 + 40 + 40 ) 2 = 60 обменов. Но если в доказанной оценке будет достигаться равенство (т.е. будет сделано ровно 60 обменов), то фишкам из кучки 1 придется идти через кучку 2, поэтому хотя бы одна фишка из кучки 2 будет участвовать в обмене. Следовательно, необходимо больше 60 обменов. Пример. Сделаем 20 обменов, меняющих местами фишки из кучек 0 и 4. Далее, обозначим по-новому фишки, которые вначале были в кучке 1: 1.1, 1.2, …, 1.20, и аналогично занумеруем фишки в кучках 2 и 3. Выполним последовательно 41 обмен: 2.1–1.1, 1.1–3.1, 3.1–1.2, 1.2–3.2, 3.2–1.3, 1.3–3.3, 3.3–1.4,…, 1.20–3.20, 3.20–2.1. Нетрудно убедиться, что все фишки из кучки 2 остались в итоге в той же кучке, а фишки из кучек 1 и 3 поменялись местами. Е.Бакаев

М2588*. Точка M лежит внутри выпуклого четырехугольника ABCD на одинаковом расстоянии от прямых AB и CD и