Lời giải bài toán M2590—M2593; F2597—F2600

29

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Ở góc D nào của độ nghiêng của ngọn núi so với đường chân trời thì tốc độ của bóng con tàu trên mặt đất là nhỏ nhất? V.Greben

F2610. Một hình trụ có thành cứng bán kính R được đổ đầy lên trên một chất lỏng không nén được có mật độ U. Trục đối xứng của hình trụ là trục thẳng đứng. Nắp phẳng nằm ngang của hình trụ được gắn vào đáy của nó bằng một sợi cáp mỏng thẳng đứng căng với một lực F, sợi cáp nằm trên trục đối xứng của hình trụ. Chiếc bình này được quay quanh một trục thẳng đứng trùng với trục đối xứng của nó với vận tốc góc Z. Lực căng của sợi cáp thay đổi như thế nào? H. Xi lanh

F2611. Hai điện tích dương $q_{1}$ và $q_{2}$ được cố định cách nhau một khoảng d (Hình 3). Một liên kết không co giãn được gắn vào các điện tích.

Hình 3

Có thể là một sợi dây không dẫn điện có chiều dài L. Một vòng nhỏ tích điện dương có thể trượt dọc theo sợi dây mà không ma sát. Hệ thống ở trạng thái không trọng lực. Tìm khoảng cách từ vòng đến các điện tích ở vị trí cân bằng. M. Nicholson

F2612. Họ nói rằng trong kho lưu trữ của Snell, họ đã tìm thấy một sơ đồ quang học mô tả một thấu kính mỏng lý tưởng, một vật và ảnh của nó. Từ văn bản, vật thể là một thanh có chiều dài l với hai nguồn sáng điểm ở hai đầu. Thanh và trục quang chính của thấu kính nằm trong mặt phẳng hình vẽ và thanh không cắt mặt phẳng của thấu kính. Theo thời gian, mực đã phai và chỉ còn nhìn thấy bản thân các nguồn và hình ảnh của chúng trong bản vẽ, và không biết điểm nào trong bốn điểm tương ứng với điểm nào. Điều thú vị là những điểm này

“QUANTA”

nằm ở các đỉnh và ở tâm của một tam giác đều (Hình 4). 1) Xác định xem điểm trong hình thuộc về chính vật đó hay ảnh của nó. 4 ở trung tâm của tam giác. 2) Khôi phục thiết kế quang học (vật thể, hình ảnh, thấu kính, trục quang chính và tiêu điểm của nó) theo góc xoay của mẫu 120° và phản xạ. 3) Tìm tiêu cự của thấu kính.

Ghi chú. Một thấu kính được gọi là lý tưởng nếu bất kỳ chùm tia song song nào tập trung vào mặt phẳng tiêu cự của nó.

A. Apollonsky

Lời giải bài toán M2590–M2593, F2597–F2600

M2590. Lời giải trong số bài toán này sẽ được xuất bản sau.

M2591. Có 100 đường thẳng màu xanh vẽ trên một mặt phẳng, trong đó không có đường thẳng nào song song và không có đường thẳng nào đi qua cùng một điểm. Các điểm giao nhau của các đường màu xanh được đánh dấu màu đỏ. Có thể nào khoảng cách giữa hai điểm đỏ bất kỳ nằm trên cùng một đường màu xanh bằng một số nguyên không?

Đáp số: có thể. Đầu tiên, lưu ý rằng chỉ cần xây dựng một ví dụ trong đó khoảng cách giữa hai điểm đỏ bất kỳ nằm trên cùng một đường màu xanh là đủ bằng một số hữu tỉ. Thật vậy, nếu có một cấu trúc có khoảng cách hợp lý, thì bạn có thể tăng kích thước theo số lần n yêu cầu, tức là xem xét một cấu trúc tương đồng với cấu trúc đã cho với hệ số n, trong đó n được chia cho mẫu số của tất cả các số hữu tỷ biểu thị khoảng cách (điều quan trọng ở đây là có một số khoảng cách hữu hạn). Ý tưởng xây dựng ví dụ được yêu cầu có thể như sau. Nếu ta lấy các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ xác định bằng các phương trình có hệ số hữu tỉ thì các điểm màu đỏ sẽ có tọa độ hữu tỉ (điều này dễ dàng