Bài toán M2626—M2633; F2633—F2640

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2630–M2632, M2633a đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XLII. Tác giả bài toán F2633–F2640 – A. Vlasov.

Bài toán M2626–M2633, F2633–F2640

M2626. Vô số người tham gia cuộc thi Olympic giữa các thiên hà đã tập trung vào các số 1, 2, 3,… Hóa ra với mỗi n = 1, 2, …, người tham gia có số n có ít nhất n người bạn trong số những người tham gia còn lại (tình bạn là tương hỗ). Có một khách sạn dành cho người tham gia ở với vô số phòng đôi. Chứng minh rằng những người tham gia có thể được ở trong phòng đôi sao cho mỗi phòng có một cặp bạn. V. Bragin, P. Kozhevnikov

M2627. Một cấp số cộng vô hạn được đưa ra. Sản phẩm của các cặp thành viên của nó được xem xét. Chứng minh rằng tích của một số cặp khác nhau khác nhau không quá 1. A. Kuznetsov

M2628*. Có N thang đo bên ngoài giống hệt nhau. Người ta biết rằng chính xác một trong số chúng có sai sót - chúng thể hiện bất cứ điều gì và trọng lượng của chúng khác với trọng lượng của những cái khác, có cùng trọng lượng và luôn hiển thị kết quả chính xác. Trong một lần cân, bạn có thể đặt nhiều cân lên mỗi bát của một số cân khác. Ở mức N tối đa trong ba lần cân, người ta có thể đảm bảo tìm được những chiếc cân bị hư hỏng? A. Gribalko, O. Mangina

M2629*. Trong Hình 1, một tam giác tùy ý (màu xanh lá cây) được mô tả ở giữa. Các ô vuông màu trắng được xây ở hai bên hướng ra bên ngoài. Một số đỉnh của chúng được nối với nhau bằng các đoạn thẳng, các hình vuông màu trắng lại được xây dựng trên chúng ở bên ngoài, v.v. Trong khoảng trống giữa các hình vuông, các hình tam giác và tứ giác được hình thành, được sơn bằng các màu khác nhau. Chứng minh rằng a) mọi hình tứ giác được tô màu đều là hình thang; b) diện tích của tất cả các đa giác cùng màu đều bằng nhau; c) Các tỉ số đáy của các hình thang một màu bằng nhau; d) nếu $S_{0}^{1}$ là diện tích của hình tam giác ban đầu và $S_{i}$ là diện tích của đa giác màu ở lớp thứ i, thì $S 1^{1}, S 2 5$, và đối với

Cơm. 1

15

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

kah trước khi đổ nhiên liệu dự trữ lên máy bay. Sau bao lâu thì bể chứa hết chất lỏng? Thời gian này sẽ thay đổi như thế nào nếu áp suất khí ban đầu tăng lên 4 lần? Xét các đại lượng đã biết sau: D S s – tỷ lệ diện tích mặt cắt ngang của bể và lỗ thoát nước, $p_{0}$ – áp suất khí ban đầu, $x_{0}$ – chiều cao ban đầu của cột khí, n – kích thước thẳng đứng của bể, $единицах_{0}^{x}, U$ – mật độ của chất lỏng. Coi sự giãn nở của khí là đẳng nhiệt và lấy áp suất bên ngoài bằng 0. Bỏ qua độ nhớt và trọng lực của chất lỏng; bể đã được cố định.

F2636*. Một học sinh đã vào lớp 11 thành công đã có một kỳ nghỉ hè vui vẻ ở nhà gỗ như sau. Anh ấy đã tạo ra một chiếc nhiệt kế đặc biệt từ một chiếc thùng lớn và những vật liệu phế liệu khác. Sơ đồ của phát minh đơn giản này được thể hiện trên Hình 5. Có nước trong một thùng kín. Chiều cao của cột nước trong ống trong suốt phụ thuộc vào nhiệt độ - Hình 5 ry. Xác định độ nhạy của nhiệt kế như vậy trong khoảng nhiệt độ mùa hè và mùa thu từ 10–40 độ C. Đường kính trong của ống nhỏ hơn đáng kể so với đường kính trong của thùng. Với lời giải bài toán bạn không thể làm gì nếu không có bảng về sự phụ thuộc của áp suất hơi nước bão hòa vào nhiệt độ:

F2637. Hình 6 cho thấy sơ đồ của một bộ trao đổi nhiệt đơn giản. Bể cách nhiệt chứa chất làm mát ở nhiệt độ cao. Một ống cuộn dài và mỏng làm bằng kim loại có tính dẫn nhiệt cao đi qua bể. Xác định nhiệt độ cuối cùng của chất lỏng (đồ uống) lạnh ban đầu chảy qua cuộn dây trao đổi nhiệt. Ở chế độ hoạt động, tốc độ

“QUANTA”

Coi lưu lượng và khối lượng chất lỏng trong cuộn dây là nhỏ. Các đại lượng sau đây đã được biết: $M, T_{0}$ – khối lượng và nhiệt độ ban đầu của chất làm mát, $m, t_{0}$ – lần lượt là khối lượng và nhiệt độ ban đầu của chất lỏng (đồ uống) được làm nóng. Coi nhiệt dung của chất lỏng là $равными,^{Рис.} 6$ tổn thất nhiệt có thể bỏ qua. Kết quả sẽ thay đổi như thế nào nếu chất lỏng được “hoán đổi” - chất lỏng được làm nóng được đổ vào bể và chất làm mát được đổ qua cuộn dây?

F2638. Một quả cầu có thành mỏng bán kính A được làm từ vật liệu có điện trở suất U (Hình 7). Độ dày của tường

Cơm. 7

hình cầu $d E A, E_{≪} 1$. Những vùng nhỏ của các cực của quả cầu (vùng tiếp xúc) được làm bằng chất siêu dẫn; chúng có thể được coi là những đĩa có bán kính r. Xác định điện trở quả cầu giữa các vùng tiếp xúc. Lực cản này sẽ trở thành bao nhiêu nếu tất cả các kích thước hình học của quả cầu tăng lên n lần?

F2639. Một thanh kim loại được treo nằm ngang trên hai sợi dây song song (Hình 8). Thiết kế này là một con lắc hấp dẫn, có ba bậc tự do và theo đó, có thể thực hiện ba dao động tự nhiên khác nhau. Rõ ràng là chu kỳ dao động nhỏ của chế độ trực giao (thanh trong quá trình dao động như vậy di chuyển qua trục đối xứng) được xác định bởi $формулой^{T} 2 S l g$. Nó sẽ thay đổi như thế nào-