Bài toán

30

KVAN T 2020/№11–12

Đoạn AB cần tìm là cạnh huyền của hình chữ nhật $треугольника_{1}^{BB} A, катет_{1}^{BB}$ được xác định từ tam giác vuông $CB_{1}^{B} :_{1}^{BB} 2 r$ sin M. Còn lại là tìm chân $AB_{1}$. Các đường thẳng OA $и_{1}^{BB}$ vuông góc với mặt phẳng P nằm trong cùng một mặt phẳng. Hãy vẽ một đường thẳng $ON_{P} AB_{1}$; thì $AONB_{1}$ là hình chữ nhật và do đó $AB_{1} ON, NB_{1} OA r$. Bởi vì

NB

BB 1 NB 1

2 r sin M r,

Hình 9

sau đó từ $треугольника^{ONB}$

$ON^{2}$

$OB^{2} NB^{2}$

$4 r^{2}$ sin M 1 sin M, và từ $треугольника_{1}^{BB} A$

AB

$AB_{1}^{2} BB_{1}^{2}$

$ON^{2} BB_{1}^{2}$

2 r sin M.

Tuy nhiên, người ta không nên nghĩ rằng bài toán đã được giải quyết. Trên thực tế, khi tính đoạn $^{NB}$, về cơ bản, chúng tôi đã sử dụng thực tế là các điểm $В,^{N} и_{1}^{B}$ nằm chính xác như trong Hình 8. Nhưng từ điều kiện bài toán thì không hề suy ra rằng $точка^{N}$ nằm giữa B $и_{1}^{B}$; điểm B có thể nằm giữa $точками^{N} и_{1}^{B}, точки^{N}$ và B thậm chí có thể trùng nhau. Chỉ bằng cách xem xét tất cả các trường hợp này, chúng tôi mới có thể khẳng định rằng chúng tôi đã tiến hành lời giải bài toán toàn diện.

Nếu điểm B nằm $между^{N} и_{1}^{B}$ (Hình 9), thì $NB NB_{1}^{BB} 1 r 2 r$ sin M, và việc tính tiếp theo $отрезков^{ON}$ và AB được thực hiện theo cách tương tự như trên; Kết quả là chúng ta có được công thức tương tự cho đoạn AB. Cuối cùng, nếu $точки^{N}$ và B trùng nhau thì rõ ràng là $что_{1}^{BB} ON r$ và AB r 2. Trong trường hợp này, trong tam giác $CB_{1}^{B} катет_{1}^{BB} r$ tạo thành một nửa cạnh huyền CB 2r, và do đó M 30 q, tức là AB 2 r sin M. Do đó, đẳng thức AB 2 r sin M có giá trị cho mọi giá trị có thể có của M. Lời giải này bài toán cũng có thể được thực hiện bằng cách sử dụng lý luận không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của các điểm $В,_{1}^{B} и^{N}$ - hãy tự mình thử xem.

KONK URS IM ENI A.P.S AVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo về lời giải toán học bài toán. Các nhiệm vụ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh bắt đầu từ lớp 8–9 và chúng tôi khuyên các học sinh nhỏ tuổi hơn nên thử sức mình trong cuộc thi tạp chí «Kvant» (xem trang web kvantik.com). Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý bằng e-mail đến địa chỉ: savin.contest@gmail.com hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu “Cuộc thi mang tên A.P. Savin”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi về của bạn. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được công bố trên Site.google.com xem savin-contest Chúc bạn thành công!

9. Có thể viết một số tự nhiên ở mỗi đỉnh của hình lập phương sao cho 8 số đó khác nhau nhưng tích các số ở các đỉnh của mỗi mặt thì bằng nhau? M. Evdokimov

10. a) Trên một tờ giấy ca rô, vẽ một hình tứ giác có các đỉnh tại các nút lưới (Hình 1). Chứng minh rằng một góc của nó lớn gấp đôi góc kia. b) Vẽ một tứ giác lồi có các đỉnh thắt nút trên một tờ giấy ca rô