Bài toán M2730—M2733; F2737—F2740

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ.

Bài toán M2730–M2733, F2737–F2740 M2730. Trên mỗi ô vuông của bảng 3 và 6 có một đồng xu. Được biết, có hai đồng tiền nằm ở các ô liền kề là tiền giả, tức là có trọng lượng bằng nhau nhưng nhẹ hơn tiền thật, còn lại là tiền thật. Làm thế nào để tìm ra cả hai đồng tiền giả trong ba lần cân trên cân đòn bẩy hai đĩa mà không cần quả cân? K.Knop

M2731. 2023 số tự nhiên được viết liên tiếp. Số đầu tiên là 12 và mỗi số, bắt đầu từ số thứ ba, bằng tích của hai số trước đó hoặc bằng số trước đó tăng thêm 4. Số bình phương hoàn hảo lớn nhất trong số 2023 số đã cho là bao nhiêu? Dựa trên Olympic Toán học Anh

M2732. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chúng ta hãy vẽ trên các tia AC và BC tương ứng các đoạn $AC_{a}$ và $BC_{b}$, có độ dài bằng AB (Hình 1). Đặt $O_{c}$ là tâm của đường tròn $( CC_{a} C_{b} ).$ Tương tự, chúng ta xác định các điểm $O_{a}$ và $O_{b}$. Chứng minh điểm O là trực tâm của tam giác $O_{a} O_{b} O_{c}$. A. Zaslavsky

M2733. Cho một 51-giác lồi. Đối với mỗi đỉnh và mỗi đường chéo của nó không chứa đỉnh này, chúng ta đánh dấu màu đỏ

Cơm. 1

một điểm đối xứng với đỉnh so với giữa đường chéo. Chứng minh rằng không có quá 20400 điểm đỏ bên trong đa giác. P.Kozhevnikov

F2737. Có một lò xo được tải trước - lò xo như vậy chỉ bắt đầu thay đổi chiều dài của nó ở một giá trị ngưỡng nhất định của lực kéo. Lò xo được treo thẳng đứng. Chiều dài của nó đối với hai khối lượng treo khác nhau M 1 và M 2 tương ứng bằng L 1 và L 2. Trong trường hợp này, tất cả các cuộn dây của lò xo đã được thả ra. Chiều dài lò xo không tải L 0 nhỏ hơn L 1 và L 2, khối lượng của lò xo bằng m. Xác định hệ số đàn hồi của lò xo, độ lớn lực dự ứng lực và sự phụ thuộc của chiều dài lò xo vào độ giãn

24

k 3

KVAN T 2023/№1

2mhzh ‘$x^{2}$

2 0,02 4 3,4 Nm | 0,00138

| 400 N·m.

Bây giờ, đối với mỗi sợi dây thun, chúng ta tính toán xem nó sẽ bay được bao nhiêu nếu bị kéo căng thêm ’ x 7 cm:

h 1

$k_{1}$ ’ $x^{2} 2$ mzh

100 $0,07^{2}$ m | 3,6 m, 2 0,02 3,4 giờ 2

$k_{2}$ ’ $x^{2} 2$ mzh

250 $0,07^{2}$ m | 9 phút, 2 0,02 3,4 giờ 3

$k_{3}$ ’ $x^{2} 2$ mzh

400 $0,07^{2}$ m | 14,4m. 2 0,02 3,4

A. Ivanov

F2722. Một bình ở nhiệt độ 0 q C chứa nước ở dạng lỏng và hơi của nó. Ước tính số lượng tác động mà một phân tử trên bề mặt nước trải qua trong một giây từ các phân tử tạo nên hơi nước. Áp suất hơi bão hòa ở nhiệt độ này là 611 Pa.

Biết thể tích chiếm của một mol nước: V 18 $10^{6} м^{3}$và số phân tử có trong một mol chất: $N N_{A} 6$ ˜ $10^{23}$, bạn có thể tìm thấy thể tích đặc trưng của một phân tử nước: $D^{3} V N$ và kích thước của nó: D | 3 $10^{10}$ m. Diện tích trên bề mặt nước trên mỗi phân tử xấp xỉ $10^{19} м^{2}$. Ta tìm tốc độ trung bình chuyển động tịnh tiến của các phân tử nước v ở trạng thái hơi từ hệ thức $0 v^{2} 2 3 RT 2$. Do đó v 615 ms. Khi chạm vào bề mặt nước, trong hầu hết các trường hợp, phân tử hơi sẽ bật ra khỏi bề mặt này với tốc độ xấp xỉ như nhau. Do đó, sự va chạm của các phân tử của một mol nước lên một bề mặt dẫn đến sự truyền động lượng cực đại lên bề mặt này 2 0 v | 22 N·s mol. Vì áp suất hơi bão hòa là 611 Pa, điều này có nghĩa là đối với diện tích $1 м^{2}$ trong 1 giây có đòn 611 22 | 27,6

mol phân tử. Nhân giá trị này với số Avogadro và diện tích mà một phân tử chiếm giữ trên bề mặt nước lỏng, chúng ta thấy rằng trong một giây phân tử này chịu 1,65 triệu tác động. Giá trị này thu được với giả định rằng mỗi va chạm ở tốc độ phân tử 615 ms đều kèm theo sự truyền động lượng cực đại lên bề mặt. Nếu chúng ta tính đến góc mà tốc độ của phân tử rơi với bề mặt có thể nhận giá trị từ 0 đến 90 độ thì số lần va chạm sẽ lớn hơn. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể chọn xấp xỉ gấp đôi giá trị này làm ước tính. Điều này có nghĩa là số lượng tác động lên một phân tử nằm ở bề mặt “vật chất ngưng tụ – hơi” vào khoảng 3 $10^{6}$ mỗi giây. S. Udarov

F2723. Với một kg nước $( H_{2} O )$ chúng tôi đã thực hiện một quy trình bao gồm hai phần. Trong phần thứ nhất, ở áp suất không đổi $p 10^{5}$ Pa, nhiệt độ tăng từ 0 q C lên 200 q C. Trong phần thứ hai, ở nhiệt độ không đổi, áp suất giảm xuống $10^{3}$ Pa. Nội năng của nước thay đổi như thế nào trong quá trình này? Nước đã thực hiện công gì khi tác dụng lên các vật thể bên ngoài ở mỗi khu vực này?

Nếu chúng ta giả sử rằng nhiệt dung của nước ở trạng thái lỏng xấp xỉ không đổi và bằng 4200 J kg K, thì cần 0,42 MJ năng lượng để làm nóng nước từ 0 q C đến 100 q C. Vì độ biến thiên của thể tích nước chỉ là 4% nên mật độ của nước ở 100 q C bằng 960 kg $м^{3}$, nên công thực hiện ở vùng này là $10^{5}$ 0,04 $10^{3}$ J | 4 J. Và toàn bộ năng lượng còn lại đã biến đổi nội năng của nước, bằng | 0,42MJ. Sau đó nước bay hơi, cần thêm 2,3 MJ năng lượng. Trong trường hợp này, công được thực hiện chống lại các lực áp suất bên ngoài bằng 1000 18 RT J 0,172 MJ, và 2,3 0,172 MJ 2,128 MJ được sử dụng để làm thay đổi năng lượng bên trong. Sau đó nước