Olympic Khoa học trẻ quốc tế lần thứ 20

51

Thế Vận Hội

tăng tất cả các số trên bảng lên 1. Những số nào nhiều hơn trên bảng: dương hay âm? A. Glebov

2 (5). Xem bài toán M2771 “Bài toán Kvant. 3. Hình vuông được chia thành nhiều hình chữ nhật sao cho tâm của các hình chữ nhật tạo thành một đa giác lồi. a) (3) Mỗi ​​hình chữ nhật có nhất thiết phải tiếp giáp một cạnh của hình vuông không? b) (6) Số hình chữ nhật có thể là 23 không? A. Shapovalov

trên một vòng tròn. Chứng minh các điểm A, P, Q, C cùng thuộc một đường tròn. A. Mardanov

6 (12). Bảng 2 u 2024 chứa đầy các số nguyên và dòng đầu tiên chứa các số từ tập ^ 1,…, 2023`. Hóa ra là cho dù chúng ta chọn hai cột nào, thì hiệu số của chúng ở hàng đầu tiên được chia cho hiệu số của chúng ở hàng thứ hai. Biết rằng tất cả các số ở dòng thứ hai đều phân biệt theo từng cặp. Vậy tất cả các số ở dòng đầu tiên có phải bằng nhau không? I. Kukharchuk

4 (9). Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S. Đánh dấu một điểm bên trong mỗi cạnh của nó và các điểm này nối tiếp nhau bằng các đoạn thẳng sao cho ABCD được chia thành một tứ giác nhỏ hơn và 4 hình tam giác. Chứng minh rằng ít nhất một trong các tam giác này có diện tích không lớn hơn S 8. M. Malkin

7 (14). Có 2n đồng xu dường như không thể phân biệt được trên bàn. Biết rằng n trong số chúng có khối lượng 9 g, n còn lại có khối lượng 10 g. Bạn cần chia chúng thành n cặp sao cho tổng khối lượng của mỗi cặp là 19 g. Chứng minh rằng điều này có thể được thực hiện với ít hơn n lần cân trên cân cốc không có quả cân (cho biết các cốc có bằng nhau không, và nếu không thì cốc nào nặng hơn). A. Gribalko

5 (10). Dây cung DE của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm P và Q, điểm P nằm giữa D và Q. Trong các tam giác ADP và QEC vẽ các đường phân giác DF và EG. Hóa ra các điểm D, F, G, E nằm

Tài liệu được chuẩn bị bởi E. Veretennikov, A. Glebov, A. Gribalko, S. Dorichenko, A. Zaslavsky, P. Kozhevnikov, M. Malkin, L. Mednikov, A. Terteryan, A. Tolpygo, B. Frenkin, A. Shapovalov, A. Yuran

Olympic Khoa học trẻ quốc tế lần thứ 20

Học sinh có độ tuổi không quá 15 tuổi tham gia Olympic này. Việc lựa chọn các ứng cử viên cho đội Nga được thực hiện trong số những thí sinh tham gia các vòng khu vực của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn vật lý hoặc hóa học, những người đã đạt trên 30% số điểm tối đa. Vào tháng 6, 30–35 học sinh thành công nhất được mời đến trại huấn luyện tại MIPT, nơi việc đào tạo được thực hiện theo chương trình Olympic và phát triển các kỹ năng thực nghiệm. Sau đó, vào tháng 8, các em tham gia một buổi học khoa học tự nhiên tại trung tâm giáo dục Sirius, và vào cuối tháng 9 - đầu tháng 10, các trại huấn luyện thường xuyên được tổ chức tại MIPT - vào cuối thời gian đó

Trong chuyến tham quan

54

KVANT 2024/№2

Hình 6

Tew trong bóng râm. Cho chiết suất của nước là 1,33. A) 15 giờ; B) 15 giờ 30; C) 16 giờ; $D) 16:30.^{8.}$ Một bình cách nhiệt chứa 200 g nhựa nhiệt dẻo rắn, được cung cấp nhiệt với tốc độ 400 Js trong 180 giây. Nhiệt độ của nhựa nhiệt dẻo là hàm số của thời gian được thể hiện trong Hình 7. Hãy xem xét các phát biểu sau.

x 0,0 cm kể từ thời điểm t. Sóng truyền theo hướng +x với tốc độ 5,0 cm s. Xác định bước sóng. A) 2,0 cm; B) 5,0 cm; C) 8,0 cm; $D) 10,0 см.^{10.}$ Điện thoại thông minh được sử dụng làm đồng hồ bấm giờ âm thanh để đo khoảng thời gian giữa hai tín hiệu âm thanh liên tiếp được ghi lại bằng micrô. Thời gian bắt đầu khi micrô phát hiện được xung âm thanh đầu tiên và dừng khi phát hiện được xung âm thanh thứ hai. Trong một thí nghiệm với mục đích đo tốc độ âm thanh trong không khí (v = 340 ms), hai điện thoại thông minh ở chế độ đồng hồ bấm giờ âm thanh được đặt sao cho chúng cách nhau l 5,00 m (Hình 9). Trong lúc

Hình 9

Hình 7

I. Nhiệt dung riêng của nhựa nhiệt dẻo là 2,00 kJ kg K. II. Điểm nóng chảy của nhựa nhiệt dẻo là $160 \infty^{C}$. III. Sau 120 giây, chỉ còn lại nhựa nhiệt dẻo ở trạng thái lỏng trong bình. IV. Nhiệt dung riêng của sự nóng chảy của nhựa nhiệt dẻo là 12,0 kJ $кг.^{Какие}$ những phát biểu này có đúng không? A) Chỉ I và II; B) chỉ II và III; C) chỉ I, II và IV; D) chỉ I, II và $III.^{9.}$ Đồ thị (Hình 8) thể hiện sự phụ thuộc của chiều cao sóng D tại điểm có tọa độ

Hình 8

đo, một học sinh vỗ tay cạnh micrô A và vài giây sau, một học sinh khác vỗ tay cạnh micrô $B.^{Каждый}$ Tiếng vỗ tay sẽ kích hoạt cả hai điện thoại, nhưng ở những thời điểm khác nhau do tốc độ âm thanh hữu hạn. Từ các tùy chọn được trình bày bên dưới, hãy chọn tùy chọn mà điện thoại thông minh A và B có thể hiển thị. A) Điện thoại thông minh A: 0,0147 giây; điện thoại thông minh B: 0,0147 giây. B) Điện thoại thông minh A: 2,0147 giây; điện thoại thông minh B: 2,0000 giây. C) Điện thoại thông minh A: 3,1000 giây; điện thoại thông minh B: 3.1294 giây. D) Điện thoại thông minh A: 2,1294 giây; điện thoại thông minh B: 2.1000 giây. Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Slobodyanin

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(xem «Kvant» số 1)

1. 9. Nếu có ít nhất 10 chàng trai trong vòng tròn thì có một chàng trai đã gửi ít nhất 10 tấm bưu thiếp (vì hai chàng trai bất kỳ đã gửi một số lượng bưu thiếp khác nhau và mỗi người gửi ít nhất một tấm bưu thiếp). Điều này có nghĩa là có ít nhất 10 cô gái trong vòng tròn. Như vậy, tổng cộng có ít nhất 20 học sinh trong vòng tròn. Chúng tôi có một sự mâu thuẫn. Vì vậy, không có nhiều hơn 9 chàng trai. Có thể có đúng 9 chàng trai và 10 cô gái trong một vòng tròn. Con trai có thể gửi 1,2, 3…, 9 tấm bưu thiếp. 2. 14. Tổng cộng, hộp thứ nhất và hộp thứ hai chứa 5 viên kẹo (nếu kẹo A ở hộp thứ nhất có 4 viên lân cận) hoặc 9 viên kẹo (nếu viên kẹo này có 8 viên lân cận). Điều thứ hai là không thể, vì khi đó kẹo B từ hộp thứ hai có hơn 8 người hàng xóm: tất cả 7 người hàng xóm cho A (không có B), chính kẹo A và ít nhất một viên kẹo nữa từ hộp thứ ba. Khi đó kẹo B sẽ có 4 viên kẹo lân cận từ hộp thứ nhất và hộp thứ hai, tức là có 4 viên kẹo từ hộp thứ ba. Tương tự như cách suy luận đầu tiên, có tổng cộng 5 viên kẹo ở hộp thứ tư và thứ năm. Tổng số kẹo là 5 4 5 14. 3. 5. Hãy chứng minh rằng cả 6 tích không thể là số nguyên. Lưu ý rằng tích của cả 18 số đều bằng 1. Do đó, nếu cả 6 tích đều là số nguyên thì mỗi tích bằng 1. Xét một bộ ba số chứa số 1 7. Để tích của chúng là số nguyên thì bộ ba này nhất thiết phải gồm số 7. Và để tích này bằng 1 thì số còn lại phải bằng 1. Tương tự, bộ ba có số 1 5 sẽ bao gồm các số 5 và 1. Cần lưu ý rằng bây giờ đối với số 1 9, không thể chọn hai số trong số những số còn lại sao cho tích của chúng bằng 1. Do đó, không có quá 5 sản phẩm nguyên. Ví dụ: có thể thu được năm sản phẩm nguyên bằng cách chia thành các bộ ba như thế này: 1 7;7;1, 1 5;5;1, 2;4;1 8, 1 2;1 4;8, 1 9;9;3, 1 3;6;1 6. 5 sản phẩm trong 5 sản phẩm đầu tiên sẽ là bộ ba nguyên. 4. 300. Lưu ý rằng hiệp sĩ đứng giữa những người khác loại và những kẻ nói dối đứng giữa những người cùng loại trả lời “có”, trong khi những người còn lại trả lời “không”. Do đó, nếu cả hai hàng xóm của bất kỳ cư dân nào thay đổi loại của họ thì đáp số của nó sẽ giữ nguyên. Ngoài ra, nếu một cư dân thay đổi loại cùng với một trong những người hàng xóm của mình, thì anh ta sẽ không thay đổi đáp số của mình.

Hãy đánh số tất cả những người đứng trong vòng tròn như sau: 1, 2, 3, 1, 2, 3, … Nếu tất cả cư dân có số 1 và 2 đều thay đổi loại thì từ trên suy ra sẽ không có ai thay đổi đáp số của họ. Vì người du hành có thể xác định có bao nhiêu hiệp sĩ trong vòng tròn, nên sự thay đổi về loại như vậy không làm thay đổi số lượng của họ, điều đó có nghĩa là trong số những cư dân có số 1 và 2 có 200 hiệp sĩ và kỵ sĩ. Tương tự, có 200 hiệp sĩ trong số những cư dân có số 2 và 3, cũng như trong số những cư dân có số 3 và 1. Tổng hợp những số lượng này, chúng ta có 600 hiệp sĩ và chúng ta sẽ đếm mỗi cư dân hai lần, vì vậy có tổng cộng 300 hiệp sĩ trong vòng tròn.

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

(xem «Kvant» Số 11-12 cho năm 2023)

9. Đầu tiên. Tốc độ của Grisha và Bori là như nhau (dù sao thì họ cũng rời đi cùng lúc và đến điểm hẹn cùng lúc); Tốc độ của Alyosha và Vasya cũng như nhau. Nếu Vasya quay lại A sau cuộc gặp với Alyosha thì họ sẽ quay lại cùng lúc, nhưng Vasya đã đến muộn hơn những người khác. Điều này có nghĩa là Vasya đã đến B sau cuộc họp và anh ta phải đi một quãng đường xa hơn Alyosha. Khi đó địa điểm gặp nhau gần A hơn B. Alyosha và Borya sẽ cùng lúc quay lại A và B, vì sau khi gặp nhau cả hai sẽ đi cùng quãng đường như trước khi gặp nhau, với cùng tốc độ. Đầu tiên Grisha sẽ đi cùng quãng đường với Borya, sau đó đi một quãng đường ngắn hơn Borya - từ điểm hẹn đến A. Điều này có nghĩa là Grisha sẽ đến nhanh hơn Alyosha và Vasya. 10. 14400. Ở hàng 4 không quá hai quân, ở các hàng còn lại không nhiều hơn một, tổng cộng bạn có thể đặt không quá 9 quân không tấn công lẫn nhau. Vì có tổng cộng 9 quân xe nên dòng 4 phải chứa chính xác hai quân xe và các dòng còn lại phải chứa chính xác một quân xe. Tương tự với cột Trước tiên chúng ta hãy chọn vị trí đặt bốn quân xe này: 1) ở hàng 4 ở bên trái quân chip, 2) ở hàng 4 ở bên phải quân chip, 3) ở cột c bên dưới quân chip, 4) ở cột c phía trên con chip. Sau khi đếm số lượng ô trong các khu vực tương ứng (chúng được hiển thị bằng màu xanh lam trong Hình 1), chúng tôi thấy rằng điều này có thể thực hiện được 2 5 3 4 5! cách. Còn lại 5 hàng trống và 5 cột trống, nơi bạn cần đặt 5 quân xe còn lại. Điều này được thực hiện bởi 5! cách: đầu tiên chúng ta chọn,

58

KVANT 2024/№2

bằng 45q. Điều này có nghĩa là tổng các góc được đánh dấu bằng 90 q 45 q 45 q 180 q. 16. Người chơi thứ hai có chiến lược chiến thắng. Để người chơi thứ hai, trong nước đi đầu tiên của mình, sơn chữ L màu vàng, nằm gần một trong các góc của hình vuông như trong Hình 4. Anh ta sẽ có thể làm được điều này, vì với nước đi đầu tiên, đối thủ của anh ta đã có thể “làm hỏng” không quá một trong bốn góc của hình vuông. Các ô được đánh dấu màu xanh lục trong hình là màu Hình thứ 4, hãy gọi chúng là ô dự trữ, người chơi đầu tiên không thể truy cập được. Sau đó, người chơi thứ hai di chuyển để không chạm vào quân dự bị trong quá trình di chuyển của mình. Và chỉ trong trường hợp không còn nước đi nào khác, anh ta sơn lại các ô dự trữ màu vàng (điều này có thể được thực hiện vì các ô dự trữ tạo thành chữ L) và thắng. Hãy giải thích tại sao người chơi thứ hai lại thắng. Nếu sau khi người chơi thứ hai di chuyển vào dự bị, người chơi thứ nhất vẫn có cơ hội thực hiện nước đi quay lại, thì điều này có nghĩa là một quân cờ nào đó có dạng chữ T hoặc dạng chữ Z vẫn có màu đỏ. Nhưng bên trong mỗi hình này đều có hình L. Vì vậy, cầu thủ thứ hai có cơ hội không vào sân dự bị. Điều này mâu thuẫn với quy tắc dành cho người chơi thứ hai mà chúng tôi đã xây dựng.

tuyến tính, và do đó đường đi của chúng phải giao nhau tại vị trí của cầu thủ bóng đá đứng yên. Chính tại nơi này, họ có thể gặp nhau cùng một lúc. 6. Tương tự - điều này tuân theo nguyên lý tương đối của Einstein. 7. Trong hệ quy chiếu của người chạy, cũng như trong bất kỳ hệ quy chiếu quán tính nào khác, ánh sáng có cùng tốc độ. Người chạy sẽ nhìn thấy hình ảnh của mình giống hệt như ở bất kỳ tốc độ chạy không đổi nào khác. 8. Trong hệ quy chiếu Starship, khoảng cách từ Trái đất đến Sirius chỉ là hai năm ánh sáng. 9. Không - đây là hiệu ứng của sự co chiều dài tương đối tính. 10. Kích thước ngang của khối không đổi, nhưng chiều dài giảm đi k lần. Do đó, âm lượng sẽ giảm k lần. Vì trong trường hợp này khối lượng của khối tăng k lần nên mật độ của nó sẽ tăng $k^{2}$ lần. 11. Không thể được, vì trong trường hợp này hạt không có động lượng cũng như động năng. 12. Định luật nối khối lượng của một vật với năng lượng của nó: $E 0 mc^{2}. 13.$ Khi vận tốc của electron và positron có độ lớn bằng nhau và ngược chiều nhau. 14. “Dịch chuyển đỏ” ​​được giải thích bằng khoảng cách của thiên hà với Trái đất.

Kính vạn hoa «Kvant»

Giải đấu thành phố XLV

1. Trong hệ thống tham chiếu “đạn”. 2. Vận tốc dòng nước là như nhau nếu đo trong hệ quy chiếu gắn liền với ô tô. Nếu không, người ta có thể phát hiện ra sự chuyển động đều của đoàn tàu mà không cần nhìn ra ngoài cửa sổ, điều này mâu thuẫn với nguyên lý tương đối. 3. Mỗi điểm của bánh xe lăn đều tham gia vào hai chuyển động: quay và tịnh tiến. Ở phần trên của bánh xe, tốc độ của các chuyển động này được cộng vào, ở phần dưới chúng bị trừ đi để điểm tiếp xúc với đường không chuyển động. Từ xe buýt, chỉ quan sát được chuyển động quay “thuần túy” của bánh xe. 4. Theo chiều chuyển động của ô tô khách với tốc độ bằng một nửa vận tốc xe buýt. 5. Trong hệ quy chiếu gắn liền với bất kỳ cầu thủ bóng đá nào (trong đó anh ta bất động), tất cả các vận động viên sẽ chuyển động đều và thẳng

Phiên bản cơ bản lớp 8–9

Câu hỏi và bài toán

Kinh nghiệm vi mô

Tốc độ của vận động viên so với đường đua bằng và ngược chiều với tốc độ của đường đua so với mặt đất.

Bài toán chuyến du lịch mùa thu

1. Không nhất thiết phải như vậy. Để biết ví dụ, hãy xem Hình 5: Đoạn văn của Anya được chỉ định phía trên dải và đoạn văn của Varya được chỉ báo bên dưới dải.

Hình 5

2. Không nhất thiết phải như vậy. Cho A, D, C, B là các đỉnh liên tiếp của một lục giác đều. Khi đó ABCD (Hình 6) là hình thang cân (nửa

Hình 6