Bạn có quen thuộc với lý thuyết tương đối?

…không có điều gì xảy ra với chính bạn lại có thể xác định được con tàu đang chuyển động hay đứng yên, …trừ khi chuyển động đều… Galileo Galilei

…với sức mạnh toán học,…với sự hiểu biết không thể nhầm lẫn về thực tại vật lý…Einstein đã dành mười năm để xây dựng lâu đài lý thuyết của mình… Arnold Sommerfeld

…trông như con thuyền đang đứng bất động trên mặt nước; và nếu một chướng ngại vật vụt qua, thì… bạn nghĩ: chướng ngại vật đó đang bay rất tuyệt! Bạn thậm chí còn không nhận ra rằng mình đang bay một mình. Huckleberry Finn

Thuyết tương đối bùng nổ trên thế giới với sức mạnh khủng khiếp. Đột nhiên mọi người bắt đầu nói về cô ấy… Paul Dirac

Từ nay trở đi, không gian và thời gian trong chính nó phải trở thành những cái bóng, và chỉ có một dạng kết hợp đặc biệt nào đó giữa chúng mới giữ được sự độc lập. Herman Minkowski

Không gian ảnh hưởng đến vật chất, “bảo” nó chuyển động như thế nào. Ngược lại, vật chất lại có tác dụng ngược lại đối với không gian, “bảo” nó uốn cong như thế nào. John Wheeler

…khi một con bọ mù bò dọc theo bề mặt của một quả bóng, nó không nhận thấy rằng đường nó đi qua là cong, nhưng tôi đã may mắn nhận ra điều này. Albert Einstein

…theo thuyết tương đối của Einstein, mọi thứ, bất kỳ vật thể nào có năng lượng, cũng có khối lượng theo nghĩa là nó phải hút về phía các vật thể khác. Richard Feynman

?

Nó có quen thuộc với bạn không?

LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI

Một phần tư thế kỷ trước, tạp chí “Thế giới vật lý” do Hiệp hội các nhà vật lý Anh xuất bản, đã thực hiện một cuộc khảo sát quy mô lớn giữa các nhà khoa học. Theo ông, Albert Einstein đã giành chức vô địch trong số các nhà vật lý vĩ đại nhất trong lịch sử, và thuyết tương đối của ông được công nhận là khám phá vật lý quan trọng nhất. Việc sáng tạo và hình thành một bức tranh vật lý mới về thế giới chứa đựng trong lý thuyết này cũng giống như một câu chuyện trinh thám hay một cuốn tiểu thuyết phiêu lưu thú vị. Tuy nhiên, chỉ một số ít, có lẽ không phải là những trang thú vị nhất, của tác phẩm đồ sộ này được đưa vào sách giáo khoa ở trường. Mặc dù vậy, hãy nhớ rằng, bạn phải gặp thuật ngữ “thuyết tương đối” ngay cả trước khi bạn bắt đầu nghiên cứu vật lý. Chúng ta hãy cố gắng xây dựng một cây cầu hẹp nhưng đầy hy vọng vững chắc từ những ý tưởng cơ bản về khái niệm sâu sắc này cho đến vẻ ngoài hiện đại của nó.

Câu hỏi và bài toán

1. Khoảng cách giữa sự kiện “bắn súng” và sự kiện được quy chiếu theo hệ quy chiếu nào?

“Độ nổ của đạn” (khi trúng mục tiêu) bằng 0? 2. Vận tốc nước chảy qua lỗ thủng trên thành tàu nằm trong toa tàu phụ thuộc vào việc đoàn tàu đứng yên hay chuyển động đều và theo đường thẳng? 3. Tại sao các nan hoa của bánh xe đạp ở phần dưới của bánh xe đạp chuyển động khá rõ ràng nhưng phần trên lại không nhìn thấy được? Hiệu ứng này có biến mất nếu bạn nhìn một người đi xe đạp từ cửa sổ xe buýt đang di chuyển với tốc độ tương tự không? 4. Một ô tô đang chuyển động dọc theo đường cao tốc về phía xe buýt với vận tốc gấp đôi vận tốc xe buýt. Xe tải đang chuyển động với tốc độ bao nhiêu và hướng nào, tốc độ của ô tô và xe buýt bằng bao nhiêu? 5. Một số cầu thủ bóng đá đang chạy trên sân theo đường thẳng với vận tốc 10 km/h theo các hướng khác nhau. Được biết, mọi người đã gặp tất cả mọi người. Liệu tất cả họ có thể gặp nhau ở một nơi trên cánh đồng không? 6. Vật có một điện tích q trong một hệ quy chiếu quán tính

đếm ngược. Điện tích của nó trong hệ quy chiếu quán tính khác là bao nhiêu? 7. Giả sử người chạy chạy với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng. Liệu anh ta có nhìn thấy mình trong chiếc gương mà anh ta cầm trước mặt bằng bàn tay dang rộng của mình không? 8. Khoảng cách từ Trái đất đến Sirius là 10 năm ánh sáng. Các phi hành gia (theo quan điểm riêng của họ) sẽ giải thích thế nào về việc họ đến Sirius hai năm sau khi Starship rời Trái đất? 9. Chiều dài của thanh chuyển động so với người quan sát nhỏ hơn chiều dài của chính nó. Điều này có nghĩa là thanh bị biến dạng? 10. Một khối hình chữ nhật di chuyển về phía một trong các cạnh của nó. Chuyển động nhanh ảnh hưởng đến khối lượng của nó như thế nào? Và về mật độ của nó? 11. Khái niệm hạt không khối lượng có khả thi trong cơ học Newton không? 12. Định luật nào của thuyết tương đối được xác nhận qua hiện tượng hủy nhau của một electron đứng yên và positron và sự hình thành một cặp hạt bởi lượng tử gamma? 13. Khi nào năng lượng của lượng tử gamma hình thành trong quá trình hủy cặp electron và positron sẽ bằng nhau và chúng sẽ chuyển động ngược chiều nhau? 14. Khi quan sát quang phổ của hydro từ một thiên hà xa xôi, hóa ra vạch quang phổ màu xanh lá cây của nó đã chuyển sang vùng màu đỏ. Tại sao điều này xảy ra?

Kinh nghiệm vi mô

Xem một vận động viên chạy dọc theo máy chạy bộ. Tại sao anh ta có vẻ như đang chạy “tại chỗ”? Làm thế nào để xác định tốc độ chạy của anh ấy?

Thật thú vị rằng…

… Thí nghiệm theo sơ đồ do Galileo mô tả (xem phần ngoại văn) lần đầu tiên được thực hiện bởi nhà khoa học người Pháp Pierre Gassendi vào năm 1651. Từ đỉnh cột buồm của một chiếc thuyền buồm đang chèo thuyền ở cảng Marseille với tốc độ khoảng 3,5 m/s, những viên đá được ném ra, chúng luôn rơi song song với cột buồm. … đáp số cho câu hỏi thành phần nào trong hai thành phần tương tác – điện hay từ – biểu hiện trong quá trình chuyển động của các hạt mang điện tự do, hoàn toàn chỉ phụ thuộc vào hệ quy chiếu. … Các phương trình Maxwell dự đoán sự lan truyền của bức xạ điện từ ở một tốc độ rất cụ thể - tốc độ ánh sáng. Tuy nhiên, họ không nói gì về việc tốc độ sẽ chính xác như vậy trong hệ quy chiếu nào. Vấn đề này làm phiền lòng Albert Einstein. … trong công trình nghiên cứu về thuyết tương đối do Einstein trình bày tại Đại học Bern, không ai hiểu được điều gì. Sau này, nhà khoa học người Pháp Paul Langevin nói đùa rằng trên thế giới chỉ có 12 người hiểu được lý thuyết này. … những ý tưởng của Lorentz, Einstein và Poincaré đã được nhà toán học và vật lý người Đức Hermann Minkowski tóm tắt, đưa ra khái niệm về thế giới không-thời gian. Như vậy, ông đã hoàn thành việc xây dựng thuyết tương đối đặc biệt, tạo cho nó một dạng toán học đầy đủ. … trong các máy gia tốc chùm tia va chạm, cả trong trường hợp cổ điển và trường hợp tương đối tính, toàn bộ động năng của các hạt va chạm đều có thể chuyển hóa thành năng lượng nghỉ của các hạt được sinh ra. … vài năm trước, một trong những sao xung đã không còn nhìn thấy được, tức là các sao neutron siêu đặc. Theo các nhà khoa học, điều này xảy ra do trường hấp dẫn mạnh làm thay đổi hình dạng của không-thời gian gần xung. … thành tựu chính của người đoạt giải Nobel Paul Dirac, người đã tiên đoán sự tồn tại của positron, là sự tổng hợp hài hòa của lý thuyết tương đối và cơ học lượng tử.

Đọc gì trong «Kvant» về thuyết tương đối

(xuất bản những năm gần đây)

1. “Sự ra đời của Thiên văn học Sóng hấp dẫn” – 2018, Số 3, tr. 14; 2. “Từ bong bóng đến lỗ đen” – 2019, số 6, tr. 21; 3. “Có tồn tại lỗ đen” – 2021, số 3, tr. 2; 4. “Ai đã bẻ cong không-thời gian?” – 2021, số 10, tr. 26; 5. “Dấu vết của những điều vô hình…” – 2022, số 8, tr.2.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

34

KVAN T 2024/№2

Làm thế nào để chúng ta thiết lập tần số? Nhưng thực tế là khi chia cho một góc, chúng ta làm việc với một dãy số dư (nhân, trừ, lấy số dư; trừ một số, tìm thương không đầy đủ, nhân, trừ, lấy số dư, v.v.). Vì vậy, mỗi số dư xác định duy nhất thương từng phần (chữ số thập phân) và số dư tiếp theo. Phần còn lại được lặp lại, có nghĩa là số thập phân được lặp lại. Bạn nên xem xét một trình tự khác tạo ra trình tự ban đầu, trong đó mỗi thành viên xác định duy nhất trình tự tiếp theo. Bây giờ chúng ta có thể tiến tới “đa bào” bài toán. Bài toán 3. Cư dân Quần đảo Hawaii tự hào rằng họ đã có hình thức chính phủ tổng thống từ thời xa xưa. Cứ 4 năm một lần, một người thuộc Đảng Cộng hòa hoặc Đảng Dân chủ được bầu làm tổng thống. Các nhà xã hội học địa phương đã phát hiện ra một luật nghiêm ngặt xác định đảng phái của tổng thống tiếp theo. Mặc dù luật này là bí mật nhưng thông tin đã bị rò rỉ với báo chí rằng đảng phái của tổng thống tiếp theo hoàn toàn được quyết định bởi đảng phái của 10 người trước đó. Hawaii đã được cai trị bởi một đảng viên Cộng hòa trong ba nhiệm kỳ vừa qua. Chứng minh rằng sẽ luôn có các giai đoạn có ba đảng viên Cộng hòa liên tiếp. Lời giải. Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng tính đảng phái của các tổng thống tái diễn theo chu kỳ là đủ. Hãy gọi “tiểu bang trước bầu cử” hay đơn giản là “tiểu bang” theo trình tự các đảng mà 10 tổng thống gần đây nhất thuộc về. Mỗi bang xác định đảng phái của tổng thống tiếp theo và do đó là bang tiếp theo trước bầu cử. Có một số lượng hữu hạn các bang (không nhiều hơn $2^{10} ),$ do đó, theo nguyên lý Dirichlet, một trong số chúng sẽ được lặp lại. Sự lặp lại của một trạng thái sẽ gây ra sự lặp lại của các trạng thái sau, và từ thời điểm này các bang sẽ bắt đầu lặp lại theo định kỳ, nghĩa là trình tự các đảng cầm quyền sẽ tuần hoàn. Nhưng vì hình thức chính quyền tổng thống ở Hawaii đã tồn tại từ thời xa xưa nên sự lặp lại của hai trạng thái đã xảy ra và các bang đã lặp lại trong một thời gian dài. Như bạn có thể thấy, ở tất cả các vấn đề được phân tích đều giống nhau ở lý luận hiện tại,

thiết lập tính tuần hoàn. Hãy để chúng tôi xây dựng nó một cách tổng quát. Lý luận 1. Nếu một vật nào đó chỉ có thể tồn tại ở một số hữu hạn trạng thái và trạng thái tại một thời điểm nhất định sẽ xác định duy nhất trạng thái tại thời điểm tiếp theo, thì bắt đầu từ một thời điểm nhất định, các trạng thái đó sẽ bắt đầu lặp lại theo chu kỳ. Tuy nhiên, trong bài toán về các tổng thống, cần phải kiểm tra xem hiện tại chúng ta đang ở trong một thời kỳ - chỉ khi đó chúng ta mới có thể nói rằng sẽ luôn có những khoảnh khắc cai trị của ba đảng viên Cộng hòa liên tiếp. Để làm được điều này phải mất “thời xa xưa”. Đây là một điểm quan trọng: lý luận 1 chỉ nêu tính tuần hoàn, bắt đầu từ một vị trí nhất định, nhưng không nhất thiết phải lặp lại trạng thái đầu tiên. (Điều này có thể được thấy trong ví dụ bài toán 1. Một ví dụ khác là phân số tuần hoàn có điều kiện.) Nếu một khoảng thời gian không bắt đầu ngay lập tức thì chuỗi các trạng thái trước khoảng thời gian đó được gọi là tiền kỳ. Để chứng minh rằng trạng thái ban đầu sẽ xảy ra, chúng ta cũng phải chứng minh rằng không có tiền kỳ. Để làm điều này, một ý tưởng hơi khác so với trong bài toán về các tổng thống thường được sử dụng - ý tưởng “đảo ngược”. Lý do 2. Nếu số lượng trạng thái là hữu hạn và mỗi trạng thái xác định duy nhất cả trạng thái tiếp theo và trạng thái trước đó, thì không có giai đoạn trước trong chuỗi các trạng thái. Lý do đơn giản này không rõ ràng ngay lập tức. Hãy thử giải thích nó. Đến một lúc nào đó sẽ xuất hiện dấu chấm (lý do 1). Ví dụ, hãy chọn một trạng thái từ giai đoạn thứ ba. Nó xác định duy nhất trạng thái trước đó. Ở tiết thứ hai, trạng thái này sẽ được lặp lại, và sự lặp lại sẽ gây ra sự lặp lại nhiều hơn (lý luận 1 trong “nước đi ngược”). Khoảng thời gian này sẽ được “chuyển về quá khứ”, có nghĩa là tất cả các trạng thái đều được lặp lại theo định kỳ. Đây là một ví dụ điển hình (xem bài viết “Nguyên lý Dirichlet” của A. Orlov ở «Kvant» Số 7, 1971). Bài toán 4. Chứng minh tồn tại một số hạng của dãy Fibonacci chia hết cho 1990. (Nhớ lại dãy Fibonacci bắt đầu bằng hai đơn vị

35

TOÁN HỌC

phủ phục, và mỗi học kỳ tiếp theo bằng tổng của hai học kỳ trước.) Lời giải. Hãy viết công thức xác định số Fibonacci tiếp theo:

u n u n 1 u n 2.

Trước hết chúng ta hãy nghiên cứu số dư của các số Fibonacci khi chia cho 1990. Ta muốn tìm số dư bằng 0. Làm thế nào để tìm kiếm nó? Đó chính xác là bài toán. Tuy nhiên, hãy quay về quá khứ. (Bài toán về các tổng thống cho thấy tính hữu ích của việc nghiên cứu lịch sử.) Lưu ý rằng trình tự có thể “tiếp tục về quá khứ” bằng cách sử dụng công thức un 2 un un un 1.

Sau đó, chúng tôi nhận được $u_{0} 0$. Tuyệt vời! Số 0 được chia cho năm 1990. Vẫn còn phải thiết lập tính tuần hoàn của số dư, bắt đầu từ số hạng 0. Lưu ý: chúng ta không cần tìm thành viên của dãy Fibonacci có số dư bằng 0 - chỉ cần thiết lập sự tồn tại của nó là đủ. Không khó hiểu rằng phần còn lại của một số Fibonacci không thể nói về phần còn lại của số tiếp theo. Đây là lúc bài toán về các tổng thống được giải cứu: xét cho cùng, để dự đoán kết quả của một cuộc bầu cử, việc biết đảng phái của tổng thống trước đó là chưa đủ - cần có kết quả của 10 cuộc bầu cử gần đây nhất. Đó là lý do tại sao chúng tôi gọi quan điểm đảng phái của 10 vị tổng thống gần đây nhất là “tiểu bang trước bầu cử”. Bây giờ rõ ràng là ở trạng thái của số hạng $u_{n}$, chúng ta cần lấy một cặp số dư từ phép chia cho các số hạng năm 1990 $u_{n} 1$ và $u_{n} 2$. Hai số dư trước đã xác định số dư tiếp theo. Đây là chìa khóa của lời giải: đầu tiên, “trạng thái” xác định phần còn lại của một số và thứ hai, mỗi “trạng thái” xác định trạng thái tiếp theo. Bây giờ mọi thứ đã rõ ràng: có một số lượng trạng thái hữu hạn (ước tính có bao nhiêu), chúng sẽ bắt đầu lặp lại, có nghĩa là phần còn lại của các số Fibonacci sẽ lặp lại. Tuy nhiên, còn quá sớm để vui mừng. Tại sao kỳ bắt đầu bằng số 0? Ở đây, ý tưởng về “chuyển động ngược” sẽ giúp chúng ta: trạng thái của mỗi phần dư xác định trạng thái của không chỉ phần tiếp theo mà còn cả phần trước đó (công thức $u_{n} 2 u_{n} u_{n} 1 ),$ thuyết phục chúng ta về điều này và điều này ngụ ý sự vắng mặt của một giai đoạn trước.

Bài tập 2. Hai số Fibonacci liền kề có thể chia hết cho 1990 được không?

Bài toán 5 (tổng quát hóa bài toán 1, 2, 4). Trình tự $u_{n}$ đối với một số người

VÒNG TRÒN

trong đó $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{k}$ đẳng thức $u_{n} a_{1} u_{n} 1 a_{2} u_{n} 2$ … $a_{k} u_{n} k$ đúng. (Chuỗi như vậy được gọi là hồi quy hoặc hồi quy. Ví dụ là dãy Fibonacci hoặc dãy lũy thừa của số nguyên m: nếu $u_{n} m^{n}$, thì $u_{n} mu_{n} 1 ).$ Đặt tất cả $a_{i}$ và $u_{n}$ là số nguyên. Chứng minh rằng phần dư của các số $u_{n}$ khi chia cho một số nguyên l được lặp lại định kỳ. Trong trường hợp nào trong chuỗi số dư này sẽ không có dấu chấm trước? Hãy ước tính số Cho một ví dụ về thời kỳ trước. Cho đến nay, chúng ta đã đưa càng nhiều đặc điểm càng tốt vào khái niệm “trạng thái” để mỗi trạng thái xác định duy nhất những điều sau đây. Tuy nhiên, có những trường hợp trạng thái phải được “phân tách” Bài toán 6. Chứng minh rằng nếu, khi chuyển đổi một phân số chung P Q (P Q ) thành số thập phân, một trong các số dư không đầy đủ khi chia P cho Q bằng Q P. Các chữ số của khai triển thập phân của nó khác nhau bởi một nửa chu kỳ, bằng 9. Phác thảo bằng chứng. Hãy gọi trạng thái của quá trình chia không phải là phần còn lại không đầy đủ, mà là phần còn lại theo dấu, tức là chu kỳ của chuỗi các trạng thái bằng nửa chu kỳ của phân số ban đầu (tại sao?) và Q P Q bằng 9. Quá trình chia phân số Q P Q bắt đầu với phần còn lại không đầy đủ Q P, nghĩa là nó thu được từ quá trình chia phân số ban đầu P Q cho nửa chu kỳ. cùng một lý do có thể xuất hiện trong các “đóng gói” khác nhau. Ví dụ: lý do 2 có thể trông như thế này: Một số điểm được kết nối bằng các mũi tên và một mũi tên xuất phát từ mỗi điểm và sau đó tất cả các mũi tên (và các điểm) tạo thành một số chu kỳ.

Bài tập 3. Xây dựng suy luận 1 theo dấu chấm và mũi tên.

Ý tưởng về tính chu kỳ có thể được chính thức hóa không chỉ bằng ngôn ngữ của dấu chấm và mũi tên. Một cách khác là bằng ngôn ngữ của hàm. Định lý tuần hoàn. Cho M là một tập hữu hạn (tập hợp các trạng thái

40

KVAN T 2024/№2

37* (A. Kanel). Cho một từ vô hạn z (trong bảng chữ cái tiếng Nga), u và v là các từ phụ khác nhau của nó. Chứng minh rằng có thể tìm được các từ s và t sao cho svt là từ con của z và trong từ z có các từ con tuần hoàn dài tùy ý (độ dài dấu chấm không lớn hơn max u, v) hoặc các từ con dài tùy ý không xuất hiện sut. 38 (TG, 1987 88). Một chuỗi các từ bao gồm các chữ cái “A” và “B” được xem xét. Từ đầu tiên là “A”, từ thứ hai là “B”, từ thứ k có được bằng cách thêm k từ đầu tiên vào k từ thứ 2 ở bên phải (vì vậy phần đầu của chuỗi trông giống như “A”, “B”, “AB”, “BAB”, “ABBAB”, …). Liệu một từ “định kỳ” có thể xuất hiện trong chuỗi không, tức là một từ bao gồm một số (ít nhất hai) phần giống hệt nhau, nối tiếp nhau và chỉ từ chúng? 39*. Có một chuỗi vô hạn gồm ba chữ cái sao cho không có tổ hợp chữ cái nào được lặp lại hai lần liên tiếp không? 40**. a) Trong ngôn ngữ của tộc MBU-MBA chỉ có 4 âm: M, B, U, Y. Từ đồng nghĩa là hai từ bất kỳ UXXV và UXV, trong đó U, X, V là các chuỗi âm thanh tùy ý. Chứng minh rằng số lượng khái niệm bộ lạc là hữu hạn. b) Nếu chỉ có các từ UXXV và UXV là từ đồng nghĩa thì sao?

Bi-a

41*. a) Một tiếp tuyến được vẽ với hình vuông từ một điểm bên ngoài. Điểm được phản ánh so với điểm tiếp xúc. Một tiếp tuyến khác được vẽ qua nó và quy trình được lặp lại. Một điểm có thể thoát đến vô cùng? b) Từ một điểm nằm ngoài hình ngũ giác đều không nằm trên phần tiếp tuyến của các cạnh, vẽ một tiếp tuyến với nó và điểm đó phản xạ đối xứng với điểm tiếp tuyến. Điều tương tự cũng xảy ra với điểm mới, chỉ có một tiếp tuyến khác được chọn, v.v. Nếu chúng ta đi về phía tiếp tục, quá trình sẽ dừng lại. Chứng minh rằng có vô số điểm thuộc giai đoạn 10. c) Có thể nói gì trong trường hợp tổng quát? 42 (MMO, 1965). Trong một bàn bida hình chữ nhật có kích thước p u 2 q, trong đó p và q là các số nguyên lẻ, có các ô ở mỗi góc và ở giữa mỗi cạnh có chiều dài 2q. Một quả bóng được thả ra từ một góc nghiêng 45° so với mặt bên. Chứng minh rằng quả bóng chắc chắn sẽ rơi vào một trong các túi ở giữa. 43* (LMO). Giáo sư Smith đứng trong một căn phòng hình vuông có tường lắp gương. Anh ấy muốn sắp xếp một số học sinh trong hội trường để từ vị trí của mình anh ấy không thể nhìn thấy hình ảnh phản chiếu của chính mình. Giáo sư có thể làm được điều này không? 44. Những quả bóng giống hệt nhau được xâu thành chuỗi và va chạm đàn hồi tuyệt đối. Chứng minh rằng sự sắp xếp của chúng lặp lại theo chu kỳ.

Khác nhau bài toán

45*. Mỗi thành phố có một số lẻ đường. Một lá cờ đen hoặc trắng được kéo lên ở quảng trường trung tâm thành phố. Mỗi buổi sáng ở mỗi thành phố, màu cờ sẽ thay đổi nếu có thêm nhiều người hàng xóm có lá cờ khác màu. Chứng minh rằng màu sắc của mỗi lá cờ ổn định hoặc nhấp nháy với chu kỳ 2,46* (từ cuốn sách “Bể cá toán học”). Có số lượng xúc xắc đen và trắng không giới hạn. Chúng ta cần xây dựng một tòa tháp hình song song vững chắc từ chúng sao cho mỗi khối đen giáp với một số khối trắng chẵn và mỗi khối trắng giáp một số lẻ khối đen. Đối với bất kỳ lớp hình khối nào cho trước, liệu một tòa tháp như vậy (có chiều cao hữu hạn) có thể được xây dựng không? 47* (p.b), c) – A. Kanel). Một dải giấy ca rô dài vô tận theo cả hai hướng gồm các ô đen và trắng. Mỗi giây, một ô có số hàng xóm đen chẵn sẽ trở thành màu trắng và một ô có số hàng xóm đen lẻ sẽ trở thành màu đen. Chứng minh rằng: a) nếu sau $2^{n}$ giây màu ban đầu được lặp lại thì nó tuần hoàn với chu kỳ 3 $2^{n}$; b) màu ban đầu lặp lại một cách tuần hoàn khi và chỉ nếu bản thân nó là tuần hoàn (tính tuần hoàn theo thời gian tương đương với tính tuần hoàn trong không gian). c) Có thể nói gì về một dải có chiều rộng tùy ý? Hoặc về toàn bộ mặt phẳng ca rô? 48 (A. Kanel, B. Ufnarovsky). Cho một hình chữ nhật có tỷ lệ khung hình là 1991. Một hình vuông được cắt từ nó và quy trình tương tự được thực hiện với hình chữ nhật còn lại. Chứng minh rằng chuỗi các tỉ số cạnh của các hình chữ nhật dựng được là tuần hoàn (bằng cách giải bài toán này, bạn có thể chứng minh rằng mọi vô tỉ bậc hai đều có thể phân tích thành một phân số tuần hoàn liên tục, có thể có dấu chấm trước). Tuyên bố ngược lại cũng đúng: một số có thể phân tách thành một phân số liên tục tuần hoàn là số vô tỉ bậc hai (xem cuốn sách “Các phân số tiếp theo” của A.Ya. Khinchin). 49*. Toàn bộ tác phẩm của một tác phẩm kinh điển vô danh nằm lộn xộn trên giá sách. Thủ thư chọn ngẫu nhiên một tập bị đặt sai vị trí và đặt nó vào vị trí của nó (trong trường hợp này, một số tập đã được di chuyển). Liệu anh ta có thể luôn sắp xếp các tập theo thứ tự trong một số hữu hạn các phép toán không?

(Còn tiếp)