Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán

51

OLIM PIA DY

Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán

Bài toán thế vận hội

lớp 9

1. Oleg có một bộ gồm 2024 hình chữ nhật ca rô khác nhau có kích thước 1 u 1, 1 u 2, 1 u 3, …, 1 u 2024 (một hình chữ nhật cho mỗi kích thước). Liệu anh ta có thể bằng cách chọn một số hình chữ nhật để tạo thành một hình vuông ca rô có diện tích lớn hơn 1 không? O. Podlipsky

2. Một parabol $y x^{2}$ được vẽ trên mặt phẳng tọa độ. Với một số cho trước k! 0, chúng ta xét các hình thang nội tiếp trong parabol này (tức là tất cả các đỉnh của hình thang nằm trên parabol), có đáy song song với trục x và tích độ dài của các đáy bằng k. Chứng minh rằng các đường chéo của tất cả các hình thang đó đều đi qua một điểm. N. Agakhanov

3. Trên đảo có những hiệp sĩ luôn nói sự thật và những kẻ dối trá luôn nói dối. Để chơi bóng bàn, tất cả cư dân trên đảo được chia thành hai đội A và B, và A có nhiều cư dân hơn B. Hai người chơi từ các đội khác nhau bắt đầu trò chơi; Sau mỗi ván đấu, người chơi thua sẽ rời khỏi trò chơi vĩnh viễn và được thay thế bởi một thành viên khác (chưa chơi) trong đội của mình. Đội thua, tất cả các thành viên đều rời khỏi trò chơi. Sau giải đấu, mỗi thành viên của Đội A được hỏi: “Có đúng là bạn đã thua một kẻ nói dối trong trận đấu nào không?”, và mỗi thành viên của Đội B được hỏi: “Có đúng là bạn đã đánh bại ít nhất hai hiệp sĩ không?” Tất cả đáp số hóa ra là khẳng định. Đội nào thắng - A hay B? M. Didin

4. Tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1000 đều được viết một lần liên tiếp theo một thứ tự nào đó. Chứng minh rằng có thể chọn

có bao nhiêu số liên tiếp được viết ra, tổng của chúng lớn hơn 100000 nhưng không vượt quá 100500. S. Berlov

5. Cho tam giác cân ABC (AB BC). Trên phần kéo dài của các cạnh bên AB và BC ngoài điểm B, các điểm D và E lần lượt được đánh dấu và trên đáy AC, điểm F được đánh dấu bằng AC DE và CFE DEF. Chứng minh rằng ABC 2 DFE. A. Kuznetsov

6. Có 7 số khác nhau được viết trên bảng, tổng của chúng là 10. Petya nhân mỗi số đó với tổng của 6 số còn lại và ghi 7 kết quả vào sổ tay của mình. Hóa ra trong cuốn sổ chỉ có bốn con số khác nhau. Tìm một trong các số được viết trên bảng. I. Bogdanov

7. Một điểm được đánh dấu trên một vòng tròn dài 1 mét. Hai con gián đồng thời chạy từ đó theo cùng một hướng với tốc độ không đổi khác nhau. Mỗi khi con gián nhanh đuổi kịp con chậm, con chậm ngay lập tức quay đầu lại mà không thay đổi tốc độ. Mỗi lần chạm mặt nhau, kẻ nhanh chóng lập tức quay đầu lại mà không thay đổi tốc độ. Cuộc gặp gỡ thứ trăm của họ có thể diễn ra ở khoảng cách nào từ điểm được đánh dấu? I. Bogdanov

8. Trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC chọn các điểm P và Q sao cho BP PQ QC. Chọn các điểm X và Y lần lượt trên các đoạn AC và AB sao cho PX A AC và QY A AB. Chứng minh rằng giao điểm các đường trung tuyến của tam giác ABC cách đều hai đường thẳng XQ và YP. A. Matveev

9. Xem bài toán M2788 “Bài toán Kvant”.