Энергия и импульс быстрых частиц

34

Положительная рецензию на книгу обычно пишут так.
Вначале кратко пересказывают содержание произведения,
отмечают его достоинства, некоторые недостатки
и, наконец, рекомендуют прочитать книгу.
Но можно это делать и по-другому.
Перед вами глава из книги Г. И. Копылова
«Всero лишь cinematika».
Мы не будем расхваливать книгу
и советать ее прочитать.
Надеемся, что после ознакомления с приведенным отрывком
вы это сделаете обязате обязатено.

г. И. Копылов

ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ

Излагая новое, надо опираться на
уже известное. Примем, что формулу
E=Mc² читатель знает.

Формулу эту открыл Эйнштейн. Это
ему мы обязаны тем, что знаем теперь,
как надо подсчитывать энергию быстрох части, и знаем, что даже в лежа-
чем камне тягется несметные неостре-
ребованные запасы энергии. Он вы-
вел эту формулу задолго до того, как
она впервые попадилась практически
(задолго до 1919 года, когда впер-
вые было заменено ядерное превращение). Еще в 1905 году Эйнштейн до-
казал, что энергию и импульс очень
быстрого тела нельзя вычислять по
прививным формулам E=mv²/2 или
P=mv. Он доказал и многое другое,
он буквально перевернул наши при-
вычные представления об во всех глав-
ных вецах: движения, пространстве,
времени, свете, массе. Но нам пока
важно только то, что он говорил об
энергии и импульсе.

Суть открытия Эйнштейна можно
изложить примерно так.

35

МАССА И СКОРОСТЬ

Нет ничего в мире быстрее света. И не может один свет быстрее другого. Любой свет (в пустоте) движется всегда одинаково быстро. Поэтому скорость света удобно приять за единицу. Всякое другое движение, например движение какого-нибудь тела, не может произходить быстрее распространения света, то есть скорость любого тела всегда меньше единицы. Но как же тогда быть с телом, которое какая-то сила очень долго разгоняет? Ведь любая сила вызывает ускорение, а ускорение увеличивает скорость, и не наступит ли время, когда скорость ускоряемого тела превышает эту сумму единицу? Но это невозможно; значит, с ростом скорости ускорение должно постепенно уменьшаться — уменшаться настолько быстро, чтобы не успеть довести скорость тела до единицы. Но что значит, что при построению действияшей силы ускорение уменьшается? Как это может быть?

Известно другое свойство движения: ускорение обратно пропорционально массе тела — чем тело тяжелее, тем труднее его той же силой ускорять. Значит, можно сделать вывод, что ускорение уменьшается из-за того, что масса растет. Тогда концы с концами сойдуться: по мере роста скорости тела тяжелее, и прежняя сила уже не может дать ему прежнего ускорения. Ускорение падает, и скорость почти не меняется. Эйшштейн вывед формулу уvelичения массы по мере приближения скорости тела $v$ к единице:

$$M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Через $m$ здесь обозначана масса тела, когда оно неподвижно, то есть когда $v=0$. При скорости $v$, приближаются к единице, заменatel добристановится все меньше, а сама дробь — все больше.

МАССА И ЭНЕРГИЯ

Тепер подойдем к вопросу с другой стороны. Ведь силу-то, столько времени действоватьшую на тело, должен был приложить какой-то человек или какой-то дивгатель. Пусть, например, дивгатель. Он работал сколь-

36

ко-то времени, расходовал на это горючее, тратил энергию. А энергия, как известно, пропасть, исчезнуть бесплатно не может. Она, по-видимому, передается разгоняемому телу, и чем должны действует дивгатель, тем больше тело поглощает энергии. Но куда ее поглощать, если скорость тела все равно не может превысть единиці? Разгадка проста: оченьно, энергия тратиется на рост массы тела. Рост массы — это и есть отражение σταнергии. Опять все сходится: сила производит работу над телом, увечиная его энергию; энергия аккумулируется, накопливается в теле, увечиная его массу. Становится понятным, откуда могла появиться знаменитая формула $E=Mc^2$, которую запишем в виде $E=M$, потому что скорость света $c$ мы приняли за единицу. Не подумайте только, что мы выведили формулу $E=Mc^2$. Она была получена на основе совсемины сообщений, а мы посяили простейшим способом ее смысла.

Подытожим теперь то, что было сказано, но выразим это по-другому. Почему при быстром движении нужны новые формулы для массы и для энергии? Если бы масса тела при разгоне его не росла, то росла бы его скорость, и в конце концов тела обогнал бы свет, а это противоречит опыту. Если бы энергия тела при разгоне его не росла, то куда девалась бы затрачиваемся на разгон работа?

ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ

«Все это хорошо, — скажете вы, — но почему никто никака не замечал, чтобы тела, разгоняясь, тяжелели?».

Это действительное трудно заметить: слищом медленно движется все, что нас окружает. медленно по сравнению со скоростью света, с единицей. Ведь накопление массы в теле становится заметным лишь с приближением скорости тела к предельной, а скорость самой быстрой рабеты меньше 0,0001 — так велика скорость света. Вот если бы скорость света была, скажем, 10 км/сек, то расчетстроителем пришлось бы в своих расчетах пользоваться формулами Эйнштейна, учитывать увечиние инерции рабет с приближением к этой скорости. А стань скорость света еще меньше, например 1 км/сек, то уже немало число явлений в мире потекло бысовем по-иному, и механика Эйнштейна казалась бы нам столже естественной, как сейчас механика Ньютона.

«No тогда, — задайте вы еще вопросы, — не противоречит ли они друг другу при наших мыльях, прививных скоростях?». Нет, не противоречит. Эйнштейн вел свои расчужнения так, чтобы на малых скоростях не потребовить многоократно испытанных законов Ньютона. Если скорость $v$ очень мала, дробь $\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$ с хорошей точностью обращается в $1+\frac{v^2}{2}$ (проверьте, подставив, например, $v=0,0001$), а формула роста массы — в формулу

$$M = m + \frac{1}{2} mv^2.$$

37

Когда пакета летит даже со скоростью 30 км/сек, то это означает, что $v = 0,0001$, то есть масса увеличивается приерно на одну двухсотиллонную. Заметить такое невозможно.

Вместо последней формулы можно написать равноценную ей формулу, если вспомнить, что масса тела и его запас энергии — это одно и то же:

$$E = m + \frac{1}{2} mv^2.$$

Значит, при малых скорости энергия всякого свободного движущегося тела состоит из двух частей: из части $m$, от скорости не зависит, и из части $\frac{mv^2}{2}$, растущей как квадрат скорости… Погодите, но ведь $\frac{mv^2}{2}$ — это кинетическая энергия тела! Значит, Эйнштейн открыл, что кинетическая энергия (которую мы обычно считаем энергей тела, движущаяся свободно, без воздействия каких-либо сил) — это только часть всего запаса энергии, которая есть у тела. И очень небольшая часть. Главная энергия заключена в члене $m$ — в той массе, которая не затронута скоростью и имеет в теле даже тогда, когда оно стоит на месте. Это и есть то, что можно назвать энергий существования.

Если где-то возникла новая крупница вещества, то на ее создание была затрачена какая-то работа, у какого-то другого тела пришлось уравнять или из какого-то источника наедить запас энергии на сооружение этой крупницы вещества, и этот запас уже снитит в ней, даже если крупница не движется. Для обычных, больших, сложенных из атомов тел это звучит неверboseно: ведь их мы создаем всегда из готового стройматериала (атомов) и не траит энергии на создание атомов. Значит, в этом случае энергия существования особой важности не представляется: все, что нужно, существует и так. Там вопрос о сотруднинии вещества просто не возникает.

Иное дело — превращения мелчайших частц. Там действительное создание новые сорта частц из частц прежнего сорта и из накопленной ими энергии, а то и только из одного света. Как уибсеновского пуговичника, в переплавку идет все старь без остатка, и пренебрегать энергий $m$ нам никто не позволит.

КАК НЕ ПРИМЕТИТЬ СЛОНА

Наличие члена $m$ в формуле для энергии стол важно, что стоит по-goоворить о нем подробнее. Почему мы это слагаемое не замечаем? Почему до Эйнштейна никак не заметил таких запасов «под ногами», в миллионы и миллиарды раз превышших все доступные тогда энергии? Не говорит ли это о том, что Эйнштейн неправ? Нет, не говорит. Все дело в том, что мы замечаем не саму энергию, а ее изменения. Перечетчик кинетическая энергия в потенциальную — мы это сразу заметим, потому что скорость упадет. Перейдет в теплую — опять заметим: тело нагреется. А если энергия не меняется, как ее заметить? Скажем, Земля. Ее кинети-

38

ческая энергия огромна; мчится она вокруг Солнца со скоростью 30 км/сек, масса ее 6·10²⁷ e — это потрясающий, превышающий наше воображение запас энергии. Но кто ее заменает? В чем она проявляется? Надо ли ее учитывать и вставлять в баланс превращений, произходящих с земными телами? Конечно, нет: она не меняется при таких превращениях, это мертвой капитал; какой она входит в баланс, такой и выходит.

Такое же положение и с энергийем m; она не меняется в механических, электрических, химических превращениях, она молчально присутствует в обенх частях уравнения баланса энергии, и никакому от нее ни холодно, ни жарко. Вот если бы удалось найти какие-то силы, способные «отшипнуть» от m хоть кусочек, то m сразу дала бы о себе знать. Но сначала о таких силах ничего не знали. Хорошо уже то, что формула

$$E = m + \frac{mv^2}{2}$$

подсказала, что стоит поискать такие силы. И их нашли через много лет, это были ядерные силы. Вatomных электростанциях или судах такие силы занимаются тем, что отплывают от m мелкие части и переводят их в электрическую или механическую энергию.

В превращениях же элементарных частиц ходные по характера, но несравненно большеше по величины силы уже не отплывают от массы покоя m по кусочку. Их деятельности радиально перестраивает один кирпич материи в другие, порой ничем — ни свойствами, ни назначением — не схожие с первыми.

ИМПУЛЬС И СКОРОСТЬ

Но мы отвлеклись от своей прямой цели. Итак, мы знаем, как зависит масса тела от скорости:

$$M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Точно так же зависит от скорости и энергия тела:

$$E = M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Как же быть теперь с величины P=Mv, называемой импульсом тела? может быть, ее тоже нужно чем-то заменить?

Оказывается, нет. Импульс порежиму дается формулой

$$P = Mv,$$

но только M теперь величина, завися от скорости. Значит, импульс, как и масса тела и его энергия, по мере ускорения тела может стать скольгу годно большем. И остается в силу утверждения Ньютона о том, что рост импульса под действием силы пропорционален величины самой силы и длительности ее действия. Если сила будет действовать достаточно долго (и в нужную сторону), то импульс может достичь любои величины.

Столо быть, формулу для импульса можно записать в трех видах:

$$P = Mv, P = Ev, P = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2}},$$

и пользоваться имми на выбор.

Вот в каком преобразованном виде

40

лась 0,94 Гэв. Значит, протон становится за 3 сек (столько длитяускорение) более чем в 10 раз массивнее. Мощность, потребляемая большим электромагнитомускорителя, к концуускорения многократно увеличивается. Если вы хотите убедиться в справедливости формулы Эйнштейна, посмотрите наvatтметры распределенного шита, как возвращает в них реактивная нагрузка.

— Погодите, погодите! — воскликнет бидетельный читатель. — Что же это выходит? На электростанции исчезает электрозерния, вускоритель возникают деревтеро потяжелшие протоны. Значит, по-вашему, энергия превращалась в массу?!

— А почему это вас так волнует?
— Потому, что это ошибочный философский теисс… да вы и сами сказали, что энергия и масса — это просто два разных оттенка одного и того же физического понятия.

— В физике — да. Но в обиходе увеличение энергии не означает увеличение массы. От нагревая чайник не становится тяжелее. Стало быть, в житейском смысле разница между энергий и массой огромна. И когда вдруг вы станете свидетельм того, как питания, поданное на входускорителя, обращается на выходе необычно грузными протонами, вы имеете право удивленно сказать: «Электроэнергия перешла в массу протона!»
— Или в его энергию…
— Или в его энергию, если мы хотим подчернуть не «неуступчивость» протона, а его «запас сил», «творческую потенцию»… Мы обязаны привыкнуть к тому, что «неуступчивость» и «запас творческих сил» частицы — это синонимы. И когда мы к этому привыкнем, то у нас даже появится неистребимое желание изгнать одно из слов — «энергия» или «масса» — и обходится только одним. В сервисных современных книгах по физике так и пытаются делать. Но в нашей книге, где нежватку формул придетя возмещать словесной выразитель-

Дубенский синхрофазотрон.

41

ность, будем употреблять оба си-
нонима: и энергия, и масса.

— А как же философы?
— Философы философам рознь.
Зачем выискивать проблемы там, где их нет, зачем следить за употреблением слов, где истинный смысл не в словах, а в точных соотношениях…
Людей с практическим складом ума волнует другое: верно ли, что энергия, выделяемая в распаде элементарных частиц, намного превосходит ядерную энергию?
Да. Например, один из циклов ядерных реакций, дающих энергию звездам, совпада к превращению четырех протонов в ядро геля. Их масса 0,94·4=3,76 Гэв, а масса геля 3,73 Гэв, следовательно, вывобождается 0,03 Гэв — меньше 1% всей энергии. А в распаде π°-мезона на фотоны в энергию переходит все масса mezона (100%).

— Значит, перед нами источник энергии мощнее термоядерной реакции?

— Отнюдь нет. Помехой служит редкость и неустойчивость таких механизмов. Далее ускорителя их по крайней мере в 10¹⁹ раз меньше, чем протонов. К тому же они мгновенно гибнут; накопить их нельзя. А главное, их надо создать, затратив на это энергию, как раз равную той, что выделится в их распаде; протоны же всегда есть готовые — это ядра водорода. В термоядерной реакции мы трансжирим запасы энергии, накопленные природой; распады π°-мезонов в лучшем случае лишь вернуть нам энергию, затраченную на их создание.

— Тогда какой же от них толк?
— Тolk отmezонов, гиперонов и т.п. в другом: они дают разгадку устройства мира…

ЗАДАЧИ

1. Вычислите импульс протона в Мэв/c, где c — скорость света, если известно, что кинетическая энергия протона равна 500 Мэв.
2. Вычислите ускорение электрона, движущемся в ускоритель водьй линей направленности однородного электрического поля с E=25 кв/см, в тот момент, когда его кинетическая энергия T=0,5 m₀c², где m₀ — масса покоя электрона.
3. Какая масса водорода переводится в энергию при взрыве 20-мегаtonной водородной бомбы? Эквивалент тринитротолуола равен 10³ кал/2.
4. Сколько массы излучает 100-ваттная электрическая лампочка (в виде телла и света) в течение года?
5. Как определить массу покоя системы движущихся частиц? Равна ли она сумме масс покоящся частиц?
6. Сколько времени должен ехать человек на величине, чтобы превращения в энергию? Когда человек изо всех сил крутит педагоги величина, он производит 0,5 лошадной силы полезной мощности (373 бт). К. п. д. человекческого организма около 25%, то есть 75% пищи сгорает, превращаясь в теплоту, и лишь 25% пищи переходит в полезную работу.
7. Сколько массы получает Земля от Солнца в форме света в течение года, если на квадратный метр поверхности, перpendикулярной к направлению солнечных лучей, приходит 1,4 км световой энергии?
8. Чему равен импульс фонана? Покажите, исходя из законов сохранения энергии и импульса, что свободный электрон не может поглотить фонан.