[Два афоризма]

52

ность» к необъчной форме задачи, хотя в последнее время в литературе для школьников таких задачи рассматривается достаточно много.

Вот решение этой задачи: если $x$ удовлетворяет первому неравенству, то $5 < x < \frac{16}{3}$, откуда $\frac{2}{3} < 6 - x < 1$ и, значит, $3 < \frac{3}{6 - x} < \frac{9}{2}$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < 3 < \frac{9}{2} < \frac{3\pi}{2}$, то угол $\frac{3}{6 - x}$ лежит либо во второй, либо в третьей четверти, и, следовательно, его косинус отрицательен.

Итак, мы представили решение наших задачи, в какой-то степени трудных, в какой-то степени легких. Вы можете оценить их трудность, а задно и свою силу, решив задачи из двух нижеследующих вариантов.

Вариants

1. Решить уравнение
   $$\log_{x+3}(3 - \sqrt{1 - 2x + x^2}) = \frac{1}{2}.$$

2. Решить неравенство
   $$6\sin^2\frac{x}{2}\mathrm{ctg}^2x \leqslant 2\cos^2x + 3\mathrm{ctg}^2x.$$

3. В основании примыды $SABC$ лежит $\Delta ABC$ с углом $C=90^\circ$ и острым углом $30^\circ$. Боковые ребра примыды наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$, высота примыды равна $H$. Найти площадь сечения примыды плоскостью, проходящей через точку $C$ паралелно $AB$ и делящей граны $ASB$ на части равной площади.

4. Доказать, что если прямая, соединяющая противоположные вершины вписанного четырехугольника, проходит через точку пересечения касательных, проведенных в двух других его вершинах, то произведение противоположных сторон равны.

5. Доказать, что если $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 11x + 30} < 0$, то sin $x$ и cos $x$ имеют разные значки.
   (MГПИ им. В. Н. Ленина)

6. В правильной треугольной примите со стороны основания, равной $a$, углы между ребрами при ее вершине равны $\alpha$ ($\alpha \leqslant 90^\circ$). Определить площадь сечения, проведенного через стороны основания perpendicularно противоположному боковому ребру.

7. Решить уравнение
   $$\lg^2 x + \lg^2 (x + 10) = 2\lg 11.$$

8. Решить уравнение
   $$\sin 3x \cdot \sin x + 1 = 0.$$

(Ивановский педагогический)

В ЕДИНЕНИИ СИЛА

«Пока алгебра и геометрия развивались каждая своим собственным путем, продвижение их было медленным, а приложения ограничены.

Но когда эти науки обеединились, они энергично поддержали друг друга и быстро зашагали к совершенству».

Лагранж
НЕ ВРАГИ, А ДРУЗья

«Ошибочно думать, что строогость в доказательстве — враг простоты. Например, можно применить подвергеджается, что строогий метод в то же самое время проще, легче и доступней. Всякое усилие в строогу строогости направляется как отысканию простейших методов доказательства».

Гильберт
4, 5 и 6

4 одинаковых мяча можно расположить так, чтобы каждый касался трех остальных.

5 одинаковых мячов можно расположить так, чтобы каждый касался четырех остальных.

Можно ли расположить 6 одинаковых неотточных карандаш так, чтобы каждый касался пятей остальных?